28. Ряды

28.1. Числовые ряды. Знакоположительные ряды

Понятие числового ряда

Числовым рядомназывается выражение вида

(28.1)

где – последовательность чисел,–n-й член ряда. Аналитическое выражениеn-го члена в виде формулы называетсяобщим членом ряда.

Ряд (28.1) называется знакопостоянным, если все его члены имеют одинаковый знак;знакопеременным– если члены ряда имеют различные знаки;знакоположительным– если все члены ряда положительны.

Сумма первых nчленов ряда

(28.2)

называется его n-й частичной суммой.

Ряд называется сходящимся, если последовательностьего частичных сумм имеет предел:

Значение Sназываетсясуммой ряда, что записывают

Если для последовательности предел прине существует или он бесконечно большой, то ряд (28.1) называетсярасходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет.

Ряд

(28.3)

который получается из исходного (28.1) отбрасыванием первых nпоследовательных членов, называетсяn-м остатком ряда.

Если ряд сходится (расходится), то и любой его остаток сходится (расходится).

Если ряды исходятся к суммамсоответственно, то рядсходится к суммегде

Необходимое условие сходимости.Если ряд (28.1) сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастанииn:

С л е д с т в и е. Если общий член ряда не стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т. е. то ряд расходится.

Исследование ряда на сходимость целесообразно начинать с необходимого условия сходимости. В случае его выполнения исследование продолжается с помощью достаточных признаков сходимости.

Достаточные признаки сходимости

знакоположительных рядов

Признак сравнения.Пусть заданы два знакоположительных ряда

(28.4)

и

(28.5)

для которых, начиная с некоторого n выполняется условие

(28.6)

Тогда:

1) из сходимости ряда (28.5) следует сходимость ряда (28.4);

2) из расходимости ряда (28.4) следует расходимость ряда (28.5).

Если выполняется условие (28.6), то ряд (28.5) называется мажорантойдля ряда (28.4).

Предельный признак сравнения.Если для знакоположительных рядов (28.4) и (28.5) существует конечный, отличный от нуля пределто эти ряды одновременно сходятся или одновременно расходятся. Еслито из сходимости ряда (28.5) следует сходимость ряда (28.4).

Сравнение исследуемых рядов производится обычно с рядом, представляющим сумму членов геометрической прогрессии

который при сходится, а прирасходится, а также рядом Дирихле

который при сходится, а прирасходится. В частном случае приполучаетсягармонический ряд

который расходится.

Признак Д’Аламбера. Если для знакоположительного ряда (28.4), начиная с некоторого номера n справедлива оценка

то ряд (28.4) сходится, если же справедливо условие

то ряд расходится.

Предельный признак Д’Аламбера.Пусть для знакоположительного ряда (28.4) существует

(28.7)

Тогда:

1) при ряд сходится;

2) при ряд расходится.

Признак Коши.Если для знакоположительного ряда (28.4), начиная с некоторого номераnсправедлива оценка

то ряд сходится, если же выполняется условие

то ряд расходится.

Предельный признак Коши.Пусть для знакоположительного ряда (28.4) существует

(28.8)

Тогда:

1) при ряд сходится;

2) при ряд расходится.

При использовании предельного признака Коши полезна формула

При предельные признаки Д’Аламбера и Коши не дают ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда. В этом случае сходимость ряда исследуют по другим признакам.

Интегральный критерий сходимости.Ряд с положительными монотонно убывающими членамисходится (расходится) тогда и только тогда, когда несобственный интегралсходится (расходится), гдеf(x) – непрерывная убывающая функция.

С л е д с т в и е. Если члены сходящегося знакоположительного ряда (28.4) монотонно убывают, то для n-го остатка ряда справедлива оценка:

Пример 1. Исследовать сходимость ряда и в случае сходимости, найти его сумму:

1) 2)3)4)

Решение. 1) Разложим общий член ряда на простые дроби и приведем их к общему знаменателю:

Числители в левой и правой частях полученного выражения будут тождественно равны. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n в обеих частях числителей тождества, получим систему уравнений

решение которой:

Тогда

Запишем n-ю частичную сумму ряда:

Так как

то данный ряд сходится к сумме

2) Разложим общий член ряда на простые дроби и приведем их к общему знаменателю:

Числители в левой и правой частях полученного выражения будут тождественно равны. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n в обеих частях числителей тождества, получим систему уравнений

решение которой: А = 1, В = –1.

Тогда

Выпишем n первых членов ряда:

Сложив записанные члены ряда, получим:

Данный ряд сходится к сумме

3) Данный ряд представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

со знаменателем Известно, что бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членоми знаменателемq имеет конечную сумму, которую вычисляем по формуле

Значит,

Данный ряд сходится к сумме

4) Преобразуем общий член ряда:

Запишем n-ю частичную сумму ряда:

Так как

то данный ряд суммы не имеет и является расходящимся.

Пример 2. Проверить выполнение необходимого признака сходимости для ряда:

1) 2)

В случае его выполнения продолжить исследование на сходимость.

Решение. Найдем предел общего члена ряда при неограниченном увеличении его номера n:

1) 

2)

Первый ряд расходится, поскольку для него не выполняется необходимый признак сходимости. Для второго ряда необходимый признак сходимости выполняется, поэтому ряд может сходиться, а может и расходиться. Для установления сходимости оценим его n-ю частичную сумму:

Поскольку то второй ряд также расходится.

Пример 3. Исследовать по признакам сравнения сходимость ряда:

1) 2)3)4)

Решение. 1) Сравним заданный ряд со сходящейся геометрической прогрессией гдеЗамечаем, что каждый членданного ряда меньше соответствующего членабесконечно убывающей геометрической прогрессии. Поэтому, согласно признаку сравнения, заданный ряд сходится.

2) Сравним заданный ряд с расходящимся гармоническим рядом гдеЗамечаем, что каждый члензаданного ряда больше соответствующего членарасходящегося гармонического ряда. Поэтому, согласно признаку сравнения, заданный ряд расходится.

3) Сравнив заданный ряд со сходящимся рядом Дирихле гдепо предельному признаку сравнения, имеем:

Получен конечный, отличный от нуля предел. Сравниваемые ряды ведут себя одинаково. Поэтому, согласно предельному признаку сравнения, заданный ряд сходится.

4) Воспользуемся предельным признаком сравнения с гармоническим рядом:

Получен конечный, отличный от нуля предел. Сравниваемые ряды ведут себя одинаково. Поэтому, согласно предельному признаку сравнения, заданный ряд расходится.

Пример 4. Исследовать по признаку Д’Аламбера сходимость ряда:

1) 2) 3)

Решение. Используем предельный признак Д’Аламбера. Заменяем в заданной формуле общего члена ряда номерn на n + 1 и получаем формулу следующего члена ряда Затем находим предел отношения последующего члена рядак предыдущемупри неограниченном увеличении номераn:

1)

Согласно предельному признаку Д’Аламбера, заданный ряд сходится.

2) Поскольку ито

Согласно предельному признаку Д’Аламбера, заданный ряд расходится.

3) По условию иПоэтому

Согласно предельному признаку Д’Аламбера, заданный ряд сходится.

Пример 5. Исследовать по признаку Коши сходимость ряда:

1) 2)3)

Решение. 1) Используем предельный признак Коши.

По условию Поэтому

Согласно предельному признаку Коши, заданный ряд сходится.

2) Поскольку то

Согласно предельному признаку Коши, заданный ряд расходится.

3) Используя то, что вычисляем:

Согласно предельному признаку Коши, заданный ряд сходится.

Пример 6. Исследовать по интегральному критерию сходимость ряда:

1) 2)3)

Решение. 1) Заменяем в заданной формуле общего члена ряда номерn на переменную x. Получаем где Убеждаемся, что полученная функцияf(x) является непрерывной и убывающей на бесконечном интервале изменения x. Затем исследуем на сходимость несобственный интеграл

Поскольку интеграл расходится, то, согласно интегральному критерию, заданный ряд также расходится.

2) Изучим сходимость соответствующего несобственного интеграла:

Несобственный интеграл сходится, а следовательно, сходится и заданный ряд.

3) Исследуем на сходимость соответствующий несобственный интеграл:

Несобственный интеграл расходится, а следовательно, расходится и заданный ряд.

Пример 7. Вычислить приближенное значение суммы ряда с точностью до 0,1.

Решение. Воспользуемся оценкой остатка ряда:

Чтобы обеспечить точность в 0,1, нужно взять 10 членов ряда, так как

Получаем