Задания

I уровень

1.1. Разложите в ряд Фурье периодическую функцию (с периодом 2). Запишите первые три его слагаемых. Исследуйте ряд на сходимость. Постройте графики данной функции и суммы ряда:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

1.2.Разложите в ряд Фурье функцию, заданную на промежуткекак на полупериоде:

а) по синусам; б) по косинусам.

Запишите первые три члена полученного ряда. Исследуйте ряд на сходимость. Постройте графики данной функции и суммы ряда:

1) 2)3)

4) 5)6)

7) 8)

II уровень

2.1. Разложите в ряд Фурье периодическую функцию (с периодом 2). Запишите первые три его слагаемых. Исследуйте ряд на сходимость. Постройте графики данной функции и суммы ряда:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

2.2.Разложите в ряд Фурье функцию, заданную на промежутке [0; l], как на полупериоде:

а) по синусам; б) по косинусам.

Запишите первые три члена полученного ряда. Исследуйте ряд на сходимость. Постройте графики данной функции и суммы ряда:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

2.3.Разложите в ряд Фурье 2l-периодическую функцию. Исследуйте ряд на сходимость. Постройте графики данной функции и суммы ряда.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

2.4. Разложите в ряд Фурье функцию, заданную на промежутке, как на полупериоде, продолжив ее четным и нечетным образом. Исследуйте ряд на сходимость. Постройте графики данной функции и суммы ряда:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

III уровень

3.1. Разложите в ряд Фурье функцию, заданную на указанном промежутке, как на полупериоде:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7)

3.2. Разложите в ряд Фурье периодическую функцию (с периодом 2). Запишите первые три его слагаемых. Исследуйте ряд на сходимость. Постройте графики данной функции и суммы ряда:

1) 2)

3) 4)

4) 5)

6)

3.3.Разложите в ряд Фурье 2l-периодическую функцию. Исследуйте ряд на сходимость:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

3.4. Разложите в ряд Фурье функцию, заданную на промежутке, как на полупериоде, продолжив ее четным и нечетным образом. Исследуйте ряд на сходимость. Постройте графики данной функции и суммы ряда:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

28.6. Интеграл Фурье

Если функция f(x) определена на всей числовой оси, абсолютно интегрируема на бесконечном промежутке, и удовлетворяет условиям теоремы Дирихле в любом конечном промежутке, то справедливо следующее интегральное представление функции f(x):

(28.34)

где

которое называется интегралом Фурье для функции f(x).

Интеграл Фурье для функцииf(x)сходится к самой функции в точках непрерывности. В каждой точке разрывафункции ее интеграл Фурье сходится к полусумме односторонних пределов функции при стремленииxкслева и справа, т. е. дает значение, равное

Комплексная форма интеграла Фурье:

(28.35)

где

Частные случаи представления функции f(x) интегралом Фурье

1. Если функцияf(x)являетсячетнойто ееинтеграл Фурье содержит только косинусы:

(28.36)

2. Если функцияf(x)являетсянечетнойто ееинтеграл Фурье содержит только синусы:

(28.37)

3. Если функция f(x) задана на промежутке то ее интеграл Фурье может быть получен следующими двумя способами:

а) по формуле (28.36) при четном продолжении функции на промежутке (график данной функции продолжается на промежуткесимметрично относительно оси ординат, рис. 28.14),

Рис. 28.14

б) по формуле (28.37) при нечетном продолжении функции на промежутке (график данной функции продолжается на промежуткесимметрично относительно начала координат, рис. 28.15).

Рис. 28.15

Пример 1. Заданную функцию представить в виде интеграла Фурье.

1) 2)

Решение. 1) Заданная функция нечетная (рис. 28.16)

Рис. 28.16

Поэтому, согласно формуле (28.37),

Вычисляем:

Тогда

На всей числовой оси, кроме точки интегралФурье сходится к функции f(x), а в точке интегралФурье равен

2) Заданная функция f(x) определена только на промежутке поэтому ее можно представить интегралом Фурье двумя способами:

1-й способ. При четном продолжении заданной функции f(x) на промежутке (рис. 28.17), согласно формуле (28.35), получим:

Рис. 28.17

2-й способ. При нечетном продолжении заданной функции f(x) на промежутке (рис. 28.18), согласно формуле (28.36), получим:

Рис. 28.18

Оба полученных интеграла Фурье представляют заданную функцию во всей области ее определения, включая и точку в которой функция имеет разрыв, поскольку в этой точке значение каждого из полученных интегралов равно: