Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
105
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
2.69 Mб
Скачать

Задания

I уровень

1.1.Найдите область сходимости степенного ряда:

1) 2)3)

4) 5) 6)

7) 8)

1.2.Найдите первые четыре члена разложения функции в ряд Маклорена и укажите область сходимости полученного ряда к своей сумме:

1) 2)3)4)5)

6) 7) 8)9)10)

1.3.Пользуясь соответствующими рядами, вычислите приближенно с точностью доα:

1) 2) 3)

4) 5)6)

7) 8)

9) 10)

II уровень

2.1.Найдите область сходимости степенного ряда:

1) ; 2);

3) 4)

5) 6)

7) 8)

2.2.Найдите сумму ряда и укажите область сходимости к своей сумме:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

2.3.Найдите первые четыре члена разложения функции в ряд Маклорена и укажите область сходимости полученного ряда к своей сумме:

1) 2)3)4)5)

6) 7) 8) 9)10)

2.4.Пользуясь соответствующими рядами, вычислите приближенно с точностью доα:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

III уровень

3.1.Найдите область сходимости степенного ряда:

1) ;

2) ;

3) 4)

5) 6)

7) 8)

3.2.Найдите сумму ряда и укажите область сходимости к своей сумме:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

3.3.Найдите первые пять членов разложения функции в ряд Тейлора в окрестности указанной точкиaи укажите область сходимости полученного ряда к своей сумме:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)9)

10)

3.4.Пользуясь соответствующими рядами, вычислите приближенно с точностью доα:

1) 2)3)

4) 5)6)

7) 8)

9) 10)

28.5. Ряд Фурье

Рядом Фурье 2π-периодической функции f(x) называется ряд

(28.23)

где

(28.24)

(28.25)

(28.26)

Числа (28.24)–(28.26) называются коэффициентами Фурье.

Это записывается следующим образом:

Сумма такого ряда S(x), если она существует, является периодической функцией отx с периодом 2π.

Достаточные условия сходимости ряда Фурье сформулированы в теореме Дирихле.

Теорема Дирихле.Пусть2π-периодическая функцияf(x) на промежуткеимеет конечное число точек разрыва первого рода(или непрерывна) и конечное число точек экстремума (или кусочно-монотонна). Тогда ее ряд Фурье сходится (т. е. имеет суммуS(x)) во всех точках этого интервала. При этом:

1) в точках непрерывности ряд Фурье сходится к самой функции:

2) в каждой точке разрывафункции ее ряд Фурье сходится к полусумме односторонних пределов функции при стремленииxкслева и справа:

3) в граничных точках промежуткаряд Фурье сходится к полусумме односторонних пределов функции при стремленииxк этим точкам изнутри промежутка:

Частные случаи разложения функции f(x), удовлетворяющей условиям теоремы Дирихле, в ряд Фурье следующие:

  1. Если функция f(x) являетсячетнойто ееряд Фурье содержит только косинусы

(28.27)

где

  1. Если функция f(x) являетсянечетнойто ее ряд Фурье содержит только синусы

(28.28)

где

3. Если функцияf(x) задана на промежуткето ее ряд Фурье может быть получен различными способами, в зависимости от того, как построено продолжение функции на промежуток

При четном продолжении функции на промежуток (график данной функции продолжается на промежуток симметрично относительно оси ординат, рис. 28.1) получают ряд по косинусам (формула (28.27)).

При нечетном продолжении функции на промежуток (график данной функции продолжается на промежуток симметрично относительно начала координат, рис. 28.2) получают ряд по синусам (формула (28.28)).

Рис. 28.1

Рис. 28.2

4. Для функции f(x), заданной на промежутке ее ряд Фурье (28.23), получается при условии, что пределами интегрирования в формулах (28.24)–(28.26) являются 0 и.

5. Если функция f(x) задана несколькими различными формулами на промежутке то при разложении ее в ряд Фурье, при вычислении интегралов в формулах (28.24)–(28.26) для коэффициентов ряда, следует разбить интервал интегрирования точками, в которых меняется аналитическое выражение функции, на части и вычислять интегралы как сумму интегралов по составляющим частям.

6. Если функция f(x) задана на произвольном промежуткето ее ряд Фурье может быть получен двумя способами:

а) если построено продолжение функции на промежуткечетным образом (рис. 28.3), то разложение в ряд Фурье происходит по косинусам (формула (28.27));

Рис. 28.3

б) если построено продолжение функции на промежуткенечетным образом (рис. 28.4), то разложение в ряд Фурье происходит по синусам (формула (28.28)).

Рис. 28.4

7. Для функции f(x), заданной на произвольном промежутке [ab] длины 2π, ее ряд Фурье (28.23) получается при условии, что в формулах коэффициентов (28.24)–(28.26) пределами интегрирования являются числааиb.

Если f(x) – 2l-периодическая функция, то ее ряд Фурье

(28.29)

где (28.30)

(28.31)

(28.32)

Ряд (28.23) является частным случаем ряда (28.29).

Как и в случае -периодической функции четная 2l-пе­риодическая функция разлагается только по косинусам, нечетная – по синусам.

Теорема сходимости Дирихле обобщается на случай 2l-пе­риодической функции.

С помощью формул Эйлера

из формул (28.23)–(28.26) получается удобная своей краткостью комплексная форма ряда Фурье 2l-периодической функции:

(28.33)

где

(28.34)

Пример 1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию (с периодом 2):

Записать первые три члена полученного ряда. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Изобразим график заданной функции (рис. 28.5).

Поскольку функция f(x) не является ни четной, ни нечетной, то вычисляем ее коэффициенты Фурье по общим формулам (28.23)–(28.26):

Рис. 28.5

Пусть тогда

Так как n = 0, 1, 2, …, то

Вычисляем далее:

Таким образом, согласно формуле (28.23), искомый ряд Фурье функции f(x) имеет вид

Полагая последовательно n = 1, 2, 3, получаем:

Заданная функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. В точках ее непрерывности ряд Фурье сходится кf(x). В точках разрыва сумма полученного ряда равна 1. Например, в точкех = 0, имеем

В точках разрыва сумма полученного ряда равна

График суммы S(x) ряда Фурье изображен на рис. 28.6.

Рис. 28.6

Пример 2. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом 4:

Решение. Изобразим график заданной функции (рис. 28.7).

Рис. 28.7

Поскольку функция f(x) не является ни четной, ни нечетной, то вычисляем ее коэффициенты Фурье по общим формулам (28.29)–(28.32), полагая l = 2:

Таким образом, согласно формуле (28.29), искомый ряд Фурье функции f(x) имеет вид

Функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, поэтому в точках ее непрерывности ряд Фурье сходится кf(x), а в точках разрыва сумма полученного ряда равна –0,5:

Пример 3. Разложить в ряд Фурье 2-периодическую функцию

Решение. Изобразим график заданной функции (рис. 28.8)

Рис. 28.8

Поскольку функция f(x) не является ни четной, ни нечетной, то вычисляем ее коэффициенты Фурье по общим формулам (28.29)–(28.32), полагая (с пределами интегралов 0 и 2π), поскольку функция задана в интервале

так как

Таким образом, согласно формуле (28.29), искомый ряд Фурье функции f(x) имеет вид:

Функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, поэтому в точках ее непрерывности ряд Фурье сходится кf(x), а в граничных точках исумма полученного ряда равнатак как

График суммы полученного ряда изображен на рис. 28.9.

Рис. 28.9

Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию считая ее заданной на периоде.

Решение. Изобразим график заданной функции (рис. 28.10).

Рис. 28.10

Поскольку функция f(x) является четной, то вычисляем ее коэффициенты Фурье по формулам (28.29)–(28.32), учитывая, что ее ряд Фурье не содержит синусов Полагаеми берем пределами интегралов 0 и 1, поскольку функция задана на отрезке

Отсюда следует, что при четном n, при нечетном n.

Таким образом, согласно формуле (28.29), искомый ряд Фурье функции f(x) имеет вид

Функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, поэтому в точках ее непрерывности ряд Фурье сходится к f(x) на всей числовой прямой.

Пример 5. Разложить в ряд Фурье функцию заданную на промежутке [0; 1], как на полупериоде:

1) по синусам; 2) по косинусам.

Решение. 1) Продолжим заданную функцию на промежуток [– 1; 0] нечетным образом, т. е. положим

Далее продолжим ее периодически (рис. 28.11).

Рис. 28.11

Поскольку функция f(x) является нечетной, то ее ряд Фурье содержит только синусы Вычисляем его коэффициенты Фурье по формулам (28.28)–(28.31), полагаяПределами интегралов берем 0 и 1, поскольку функция задана на промежутке [0; 1]:

Таким образом, согласно формуле (28.28), искомый ряд Фурье функции f(x) имеет вид

2) Продолжим заданную функцию на промежуток [–1; 0] четным образом, т. е. положим

Затем продолжим его периодически (рис. 28.12).

Рис. 28.12

Поскольку функция f(x) является четной, то ее ряд Фурье содержит только косинусы Вычисляем его коэффициенты Фурье по формулам (28.29)–(28.32), полагаяПределами интегралов берем 0 и 1, поскольку функция задана на промежутке [0; 1]:

Откуда следует, что при четномn, при нечетномn.

Таким образом, согласно формуле (28.29), искомый ряд Фурье функции f(x) имеет вид:

Функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, поэтому во всей области определения ряд Фурье сходится к f(x), а на всей числовой прямой сумма полученного ряда определяет периодическую функцию с периодом 2.

Пример 6. Разложить в ряд Фурье в комплексной форме 2-перио­дическую функцию

Решение. Изобразим график этой функции (рис. 28.13).

Рис. 28.13

По формуле (28.33) вычисляем

По формулам Эйлера

Следовательно,

Таким образом, согласно формуле (28.32), искомый ряд Фурье функции f(x) имеет вид:

Функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, поэтому в интервалах ряд Фурье сходится к функции а в точках его сумма равна