Задания

I уровень

1.1. Напишите пять первых членов знакопеременного ряда и исследуйте его сходимость (определите, является ли он абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся):

1) 2)3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10)

1.2. Исследуйте сходимость ряда и вычислите приближенное значение его суммы с точностью до 0,01:

1) 2) 3)

4) 5)6)

7) 8) 9)

10)

II уровень

2.1. Исследуйте сходимость знакопеременного ряда (определите, является ли он абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся):

1) 2)3)

4) 5)6)

7) 8)9)

10)

2.2. Исследуйте сходимость ряда и вычислите приближенное значение его суммы с точностью до 0,01:

1) 2)3)

4) 5)6)

7) 8) 9)

10)

III уровень

3.1. Исследуйте сходимость знакопеременного ряда (определите, является ли он абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся):

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

3.2. Исследуйте сходимость ряда и вычислите приближенное значение его суммы с точностью до α:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

28.3. Функциональные ряды

Функциональным рядомназывается выражение вида

(28.13)

где – функции, определенные на числовом множестве–n-й член ряда.

Сумма первых nчленов ряда

(28.14)

называется его n-йчастичной суммой.

Ряд

(28.15)

называется n-мостатком ряда.

При определенном значении xвыражение (28.13) является числовым рядом.

В зависимости от значения x выражение (28.13) становится сходящимся или расходящимся числовым рядом. Совокупность всех тех значений x для которых ряд (28.13) сходится,называется областью сходимости ряда и обозначается D:

Если то можно говорить о сумме ряда (28.13) в точкеx: т. е. значение суммы ряда зависит от аргументаx.

Ряд (28.13) называется абсолютно сходящимся на множестве D, если наDсходится рядсоставленный из абсолютных значений его членов.

Всякий абсолютно сходящийся на множествеDфункциональный ряд сходится.

Признак абсолютной сходимости Д’Аламбера.Пусть для функционального ряда (28.13) существует

(28.16)

Тогда:

1) в тех точках x, для которыхряд (28.13) сходится абсолютно;

2) в тех точках x, для которых ряд (28.13) расходится.

Признак абсолютной сходимости Коши.Пусть для функционального ряда (28.13) существует

(28.17)

Тогда:

1) в тех точках x, для которыхряд (28.13) сходится абсолютно;

2) в тех точках x, для которых ряд (28.13) расходится.

При признаки Д’Аламбера и Коши не дают ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда. В этом случае то значениеx, при которомнеобходимо подставить в заданный функциональный ряд и исследовать полученный числовой ряд на сходимость.

Ряд (28.13) называется условно сходящимся в точке x, если в этой точке ряд сходится, но не абсолютно.

Пример 1. Найти область сходимости функционального ряда

Решение. Данный ряд представляет собой сумму геометрической прогрессии:

.

Он сходится и притом абсолютно, если Из последнего условия получаем

Следовательно, областью сходимости данного ряда является интервал

Пример 2. Найти область сходимости функционального ряда

Решение. Заменяем в заданной формуле общего члена ряда номерn на n+1 и получаем формулу следующего члена ряда Далее, используя признак абсолютной сходимости Д’Аламбера, ищем предел:

Определяем, при каких значениях х этот предел будет меньше единицы, т. е., решаем неравенство:

Поэтому интервал (– 1; 3) является интервалом сходимости данного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах интервала (– 1; 3). При получаем знакочередующийся рядкоторый расходится, поскольку для него не выполняется необходимый признак сходимости:

При получаем знакоположительный рядкоторый также расходится, поскольку для него не выполняется необходимый признак сходимости.

Следовательно, областью сходимости заданного ряда является открытый интервал (–1; 3).

Пример 3. Найти область сходимости функционального ряда

Решение. Используя признак абсолютной сходимости Коши, ищем предел:

Согласно признаку Коши, заданный ряд сходится при любом значении х.

Следовательно, областью сходимости заданного ряда является вся числовая ось:

Пример 4. Найти область сходимости функционального ряда

Решение. Нетрудно видеть, что при ряд сходится. ПустьТогда для любогоимеемИспользуя признак абсолютной сходимости Д’Аламбера, ищем предел:

Следовательно, заданный ряд сходится только при