25. Тройные интегралы

25.1. Понятие тройного интеграла, его свойства

и вычисление в декартовой системе координат

Пусть в замкнутой ограниченной пространственной области V, расположенной в декартовой прямоугольной системе координат Oxyz, определена непрерывная функция Разобьем указанную область произвольным образом на элементарные областиобъемы которых будем считать соответственно равнымиВнутри каждой элементарной области выберем произвольную точку

Диаметром области будем называть наибольшее из расстояний между любыми двумя точками границы области. Обозначим через диаметры элементарных областейа через– максимальный диаметр, т. е. Составим интегральную сумму функцииf(x; y; z) в области V:

Устремим так, чтобыЕсли существует предел интегральных сумм, который не зависит ни от способа разбиения областиV на частичные области ни от выбора точек внутри каждой из этих областей, то этот предел называетсятройным интегралом от функции f(x; y; z) по области V:

При этом говорят, что функция f(x; y; z) интегрируема в области V; x, y и z называют переменными интегрирования.

Достаточное условие интегрируемости функции: если определенная в некоторой ограниченной замкнутой области функция непрерывна, то она интегрируема в этой области.

Если функции f(x; y; z), f₁(x; y; z) и f₂(x; y; z) интегрируемы в области V, то имеют место следующие свойства:

1) линейность:

где

2) аддитивность:

где и– области, не имеющие общих внутренних точек;

3) если выполняется неравенство то

4) оценка модуля интеграла:

5) если то

где v – объем области V.

Геометрический смысл тройного интеграла:

(25.1)

где v – объем области V.

Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах основано на понятии правильной пространственной области. Область V называют правильной в направлении оси Oz, если:

1) всякая прямая, проходящая через внутреннюю точку пространственной области V параллельно оси Oz, пересекает только один раз (только одну) «поверхность входа» и только один раз (только одну) «поверхность выхода»;

2) проекция D пространственной области V на плоскость xOy является правильной плоской областью в направлении оси Ox или Oy.

Пусть область V является правильной в направлении оси Oz, ограниченной снизу поверхностью а сверху – поверхностью(рис. 25.1). Пусть она проектируется на областьэлементарную в направлении осиOy, и снизу ее ограничивает кривая а сверху – кривая(рис. 25.2).

Рис. 25.1

Рис. 25.2

Тогда справедлива следующая формула:

(25.2)

причем интеграл в правой части равенства называется повторным интегралом от функции f(x; y; z) по области V с внешним интегрированием по x, а –внутренним интегралом по переменной z.

Аналогично рассматривают пространственные области, правильные в направлении оси Ox или Oy, и применяют соответствующие формулы перехода к повторным интегралам.

Если область интегрирования V не подпадает под эти случаи, необходимо произвести разбиение этой области V на конечное число правильных областей и воспользоваться свойством аддитивности.

Пример 1. Вычислить тройной интеграл по области, ограниченной указанными поверхностями:

1)

2)

3)

Решение. 1) Изобразим область интегрирования V (рис. 25.3).

Рис. 25.3

Замечаем, что она является правильной в направлении оси Oz: снизу ее ограничивает плоскость а сверху – поверхность эллиптического параболоидаК тому же, областьV проектируется на область плоскости xOy, которая является правильной областью в направлении оси Oy: Вычислим заданный интеграл, перейдя к повторному интегралу по формуле (25.2):

2) Нарисуем область интегрирования V (рис. 25.4).

Рис. 25.4

Расставим пределы интегрирования в декартовой системе координат, учитывая то, что она является правильной в направлении оси Oz:

Вычислим данный интеграл, перейдя к повторному интегралу по формуле (25.2):

3) Изобразим область интегрирования V (рис. 25.5).

Рис. 25.5

Она является правильной в направлении оси Oz:

Перейдем к повторному интегралу по формуле (25.2) и вычислим данный интеграл:

Задания