I уровень

1.1.Вычислите интегралпо прямолинейному отрезку, соединяющему точкииесли:

1) 2)

3) 4)

5)

1.2.Вычислите интегралесли Г представляет собой ломануюABC, состоящую из двух прямолинейных отрезковABиBC:

1)

2)

3)

4)

II уровень

2.1.Вычислите интегралесли путь Г представляет собой ломануюABC, состоящую из двух прямолинейных отрезковABиBC:

1)

2)

3)

4)

5)

2.2.Вычислите интегралгде Г – дуга указанной кривой от точкидо точки

1)

2)

3) Г – парабола с вершиной в точке (1; 0), проходящая через точку

4)

5)

2.3.Вычислите интегралпо указанной замкнутой кривой

1) 2)

3) 4)

5)

III уровень

3.1.Вычислите интегралпо указанной замкнутой кривой Г (числоm– целое, т. е.…):

1)

2) 

3)

4)

29.7. Ряды на комплексной плоскости

Пусть – последовательность комплексных чисел,

Выражение вида

называется числовым рядом, числа–элементами ряда, сумма–n-йчастичной суммой ряда.

Если последовательность частичных сумм сходится, то ряд называетсясходящимся, ее пределназываетсясуммой ряда, что записывают

Если последовательность расходится, то ряд называетсярасходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет.

Величина

называется остатком сходящегося ряда. Из сходимости ряда следует равенство

Если ряды

и

сходятся и имеют суммы соответственно SиS, то рядсходится к сумме

Ряд называетсядействительной частью рядаа ряд–мнимой частью ряда

Ряд с комплексными элементами сходится тогда и только тогда, когда сходятся его действительная и мнимая части, причем в случае сходимости

Необходимый признак сходимости: если ряд с комплексными элементами сходится, то

Достаточный признак расходимости: если(или не существует), то ряд расходится.

Ряд называетсяабсолютно сходящимся, если сходится рядкоторый является рядом с действительными неотрицательными элементами.

Справедливы утверждения

1.ПустьЕслито рядсходится абсолютно, если– ряд расходится.

2.ПустьЕслито рядсходится абсолютно, если– ряд расходится.

3.Если рядсходится абсолютно, то он сходится.

З а м е ч а н и е. Из сходимости ряда не следует его абсолютная сходимость.

Абсолютная сходимость ряда с комплексными элементами равнозначна абсолютной сходимости его действительной и мнимой частей.

Ряд вида

(29.24)

где – коэффициенты ряда,

называется степенным рядом.

Теорема Абеля. Если степенной рядсходится в некоторой точкето он сходится, причем абсолютно, в любой точкеz, которая удовлетворяет условию

Если этот ряд расходится в некоторой точке то он расходится во всех точкахz, для которых

Пусть ряд сходится более чем в одной точке, но не на всей комплексной плоскости. Тогда существует действительное числоrтакое, что этот ряд абсолютно сходится для всехz, для которыхи расходится для техz, для которыхПри этом кругназываетсякругом сходимости, числоr–радиусом сходимостистепенного ряда.

Пусть функция f(z) является аналитической в круге Тогда внутри этого круга функцияf(z) разлагается в степенной ряд по степеням Такое разложение единственно.

Признаки Д’Aламбера и Коши. Если существует

(29.25)

или соответственно

(29.26)

то ряд (29.24) сходится абсолютно во всех точках z, для которыхи расходится, если

Степенной ряд вида

(29.27)

называется рядом Тейлорафункцииf(z),в окрестности точкиa.

Функция f(z), аналитическая в кругеразлагается в этом круге в ряд Тейлора:

(29.28)

С учетом формулы (29.22), равенство (29.28) можно записать в виде

где – окружность– круг аналитичностиf(z).

Ряд Тейлора (29.28), у которого называетсярядом Маклорена.

Общий вид ряда Маклорена:

Разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций:

(29.29)

(29.30)

–геометрический ряд. (29.31)

Ряд вида

(29.32)

называется рядом Лорана, причемназываетсяглавной частью ряда Лорана, а–правильной частью ряда Лорана.

Функция f(z), аналитическая в кольцеразлагается в этом кольце в абсолютно сходящийся ряд Лорана

(29.33)

где коэффициенты определяются формулами:

–окружность

Разложение (29.33) в кольце является единственным.

Заметим, что формулы для нахождения коэффициентов иможно объединить в одну:

Пример 1. Исследовать сходимость ряда:

1) 2)

Решение. 1) Рассмотрим рядыиРядсходится, так как это обобщенный гармонический рядсРядрасходится (это гармонический ряд). Значит,гдеТак както

Отсюда следует, что ряд расходится, и, значит, исходный рядрасходится.

2) Ряд исследуем на абсолютную сходимость, для чего рассмотрим

Последний ряд сходится (сходящаяся геометрическая прогрессия с ). Значит, рядсходится абсолютно.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд:

1) 2)

Решение. 1) Рассмотрим ряд из модулей его элементов:

Для выяснения вопроса сходимости полученного знакоположительного ряда используем признак Коши:

Это значит, что данный ряд сходится абсолютно, а поэтому сходится.

2) Исследование на сходимость ряда из модулей

проведем на основе признака Д’Aламбера:

Последнее означает абсолютную сходимость данного ряда, чем гарантируется его сходимость.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Функции-слагаемые данного ряда определены на всей плоскостиC. Его n-я частичная сумма есть

Методом математической индукции нетрудно убедиться в том, что

Тогда

или, то же самое,

Если – произвольное комплексное число, то данный функциональный ряд преобразуется в числовой с частичной суммой

Поэтому,

откуда

Из последнего отношения видно, что только для того числа для котороговыполняется условие

когда

Это означает, что

если

Произвольность числа приводит к заключению, что внутри кругаряд сходится к сумме

Если то общий элементданного ряда не стремится к нулю с ростомn (необходимый признак сходимости не выполняется), а потому ряд расходится.

Таким образом, получена формула

где

В заключение заметим, что полученный результат полностью соответствует действительному случаю, где для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеем если

Пример 4. Найти множество абсолютной сходимости ряда

пользуясь признаком Д’Aламбера.

Решение. Используя формулу (29.25), получим:

Если то ряд является абсолютно сходящимся. Очевидно, что это имеет место внутри кругаОдновременно с этим признак Д’Aламбера утверждает, что вне круга (т. е. при ) ряд расходится, однако он не достаточно «сильный», чтобы дать ответ о сходимости в точках окружности

Пример 5. Найти круг и радиус сходимости степенного ряда

Решение. Используем признак Д'Аламбера и рассмотрим предел т. е.

По признаку Д'Аламбера ряд сходится, если

или

Значит, круг сходимости есть радиус сходимости

Пример 6. Разложить в ряд Тейлора по степеням функцию:

1) 2)

Найти область сходимости полученного ряда.

Решение. 1) Решим задачу двумя способами.

1-й способ. Используем формулу (29.28) для Для этого найдем производные функции и их значения в точке

………………………… ……………………

………………………… ……………………

Тогда получаем

Радиус сходимости полученного ряда найдем согласно формуле

т. е.

Значит, ряд сходится внутри круга

2-й способ. Запишем выражение, которое задает функцию f(z), в другом виде:

Полученную дробь рассмотрим как сумму геометрической прогрессии со знаменателем

Если то

Поэтому заданная функция раскладывается в ряд того же вида, который мы получили первым способом.

2) Для того чтобы получить разложение функции

в ряд Тейлора на основе формулы (29.28), вычислим значения ее производных в точке Сразу заметим, что данная функция есть многочлен 4-й степени, а поэтому все производные, начиная с пятой, будут равны нулю. Получаем

Тогда

Логично, что для многочлена 4-й степени ряд Тейлора приобретает вид тоже многочлена 4-й степени. И это равенство справедливо на всей комплексной плоскости.

Пример 7. Найти круг сходимости ряда и исследовать его сходимость в точках

Решение. Рассмотрим ряд из модулей членов, т. е. и вычислим предел

Значит, по признаку Д’Aламбера, круг сходимости определяется неравенством т. е.

Для имеемт. е. точка лежит внутри круга сходимости, значит, исходный ряд в этой точке сходится абсолютно.

Для получаем

Точка лежит на границе круга сходимости. Из общей теории необходимо сделать вывод о сходимости ряда в этой точке. Исследуем числовой ряд, который получается из исходного степенного ряда при значенииИмеем ряд

Ряд расходится (как ряд Дирихле с). Применяя предельный признак сравнения, делаем вывод, что рядрасходится. Исходный ряд в точкерасходится.

Для имеем

Точка лежит на окружности, ограничивающей круг сходимости. Приисходный ряд имеет вид

Этот ряд не сходится абсолютно (как было показано выше), но он является знакочередующимся и для него выполняются оба условия теоремы Лейбница. По признаку Лейбница этот ряд сходится условно. Исходный ряд в точке сходится.

Для выполняетсяЗначит, точкалежит вне круга сходимости, и поэтому исходный ряд в этой точке расходится.

Пример 8. Разложить в ряд Маклорена функцию:

1) 2)

Решение. 1) Используем формулу (29.31), заменяя в ней переменную z на Тогда ряд Маклорена примет вид

Он сходится при условии т. е. внутри круга

2) Сначала понизим степень косинуса:

Далее, используя разложение (29.30), получим:

Приводя подобные, приходим к ответу

что ряд сходится на всей плоскости C.

Пример 9. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки функцию

Решение. Этот пример можно решить согласно общему подходу, основываясь на формуле (29.28). Мы же используем ряд Маклорена (29.29). Для этого сделаем следующие преобразования:

Тогда

Ряд сходится на всей комплексной плоскости.

Пример 10. Найти область сходимости ряда

Решение. Данный ряд есть сумма рядов по положительным и отрицательным степеням разности Для первого ряда (как для степенного) используем признак Коши:

Ряд сходится, если или, то же самое,

Значит, первый ряд сходится внутри круга:

Для второго ряда применим признак Д’Aламбера:

Ряд сходится, если

или т. е.

Полученные множества сходимости пересекаются, в результате чего мы имеем область сходимости данного ряда – кольцо

Пример 11. Разложить в ряд Лорана функцию

по степеням z.

Решение. Нетрудно увидеть, что – особые точки данной функции. Это означает, что существуют три области, внутри которых функция аналитична:(область);(область);(область) (рис. 29.3).

Рис. 29.3

В каждой из трех областей функция f(z) будет представляться своим рядом Лорана. Запишем функцию сначала в виде

Рассмотрим область Представим функцию

как сумму соответствующих геометрических прогрессий (имеем право сделать это, так как в области выполняетсяи). Тогда по формуле суммы (см. формулу (29.31)) получаем следующее представление функции рядом Лорана

Видим, что ряд Лорана в области содержит только правильную часть, т. е. имеет вид степенного. Это не случайно, так как мы рассматриваем разложение в кругев котором функция аналитична.

Рассмотрим область Тогда имеет смысл записать функцию в виде

Так как в области выполняетсяипоэтому, по формуле суммы геометрического ряда, имеем разложение

Полученный ряд Лорана содержит и правильную, и главную части.

Рассмотрим область Функциюf(z) запишем в виде Поскольку в областивыполняетсяито на основе формулы суммы геометрического ряда получаем следующее разложение:

Замечаем, что полученный ряд Лорана содержит только главную часть.

Пример 12. Разложить функцию в ряд Лорана по степеням

Решение. Точка – единственная (на плоскостиC) особая точка данной функции. Это означает, что можно построить кольцо в котором функция является аналитической. Преобразуем выражение:

Далее используем разложения в ряд Маклорена (29.29) и (29.30), в которых вместо z возьмем Тогда

Видим, что полученный ряд Лорана данной функции содержит только два слагаемых правильной части и бесконечное множество слагаемых главной части.

Задания