I уровень

1.1.Найдитеесли последовательностьзадается формулой:

1)

2)

3)

4)

1.2.Пользуясь определением предела последовательностидокажите, что:

1)

2)

II уровень

2.1.Найдитеесли последовательностьзадается формулой:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

2.2.Пользуясь определением предела, докажите, что:

1) 2)

III уровень

3.1.Найдитеесли последовательностьзадается формулой:

1)

2)

3)

4) гдеа последовательностьзадается рекуррентно:

(a– действительное число,).

3.2.Пользуясь определением предела, докажите, что

(необходимо найти ).

3.3.Дана последовательностьгде

1) Найдите две пары значений итаких, что при этих значенияхсуществует, и вычислитеприи при

2) укажите пару значений при которойне существует, и докажите этот факт.

29.2. Функция комплексной переменной,

ее предел и непрерывность

Пусть D– некоторое множество комплексных чисел. Если каждомупо некоторому правилу функцииfставится в соответствие одно или несколько комплексных чиселw, то говорят, что на множествеDзаданафункция комплексной переменной zсо значениямиw, и пишут:

Если каждому значению zсоответствует единственное значениеw, то функция называетсяоднозначной. Если существуют такиекоторым соответствуют несколько значенийw, то функция называетсямногозначной (могут бытьn-значные,и бесконечнозначные функции).

Так как числа zиwимеют действительные и мнимые части, то пишут

при этом говорят, что аргумент zфункцииfлежит в комплексной плоскостиа значениеw– в комплексной плоскости(функцияfоднозначная).

Далее считаем, что функция f(z) однозначна и определена в некоторой проколотой окрестности точкиz₀.

Комплексное число S называется пределом функции f(z) в точке z₀, если для любого существует действительное числочто для любогоz такого, что выполняется(определениепредела по Коши).

Комплексное число Sназываетсяпределом функции f(z) в точке z₀, если для любой последовательности аргументовсоответствующая последовательностьзначений функции сходится к числуS, т. е.(определениепо Гейне).

Наличие предела функцииf(z) в точкезаписывают так:(или). Используя понятие окрестности, предел функции определяют и так: комплексное числоSназывается пределом функцииf(z) в точкеесли для любой-окрестности точкиSсуществует проколотая-окрест­ность точкичто для каждой ее точкиzсоответствующее значение функцииf(z) лежит в-окрестности точкиS.

Свойства предела функции

1. Еслитотогда и только тогда, когда

2.

3.

4.

Функция f(z) имеет конечный пределSв точкетогда и только тогда, когда существует точкапритакая, что

Могут рассматриваться также пределы:

Пусть функция f(z) задана на C и принимает значения из множества C. Функция f(z) называется непрерывной в точке если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности и

Если то

тогда и только тогда, когда

Свойства функций, непрерывных в точке и на множестве

1.Еслиf(z) иg(z) – непрерывные функции в точкето непрерывными в этой точке являются также функции:

2.Пусть есть непрерывная функция на множествеDи она имеет множество значений G, на котором определена непрерывная функция g(w). Тогда сложная функцияесть непрерывная функция на множествеD.

3.Пусть множествоDявляется ограниченным и замкнутым, а функцияf(z) – непрерывной наD. Тогдаf(z) является функцией, ограниченной на множествеD, т. е.и ее модуль достигает на этом множестве своих точных нижней и верхней граней.

Пример 1. Найти действительную и мнимую части функции

Решение. В формулу, которая задает функцию, вместо w подставим а вместоz – и получим:

В результате находим

Пример 2. Выразить функцию в виде зависимости от аргументаz, где

Решение. Функция w записана в виде Очевидно, что

Используя понятие сопряженного комплексного числа, приходим к ответу

Пример 3. Дано отображение Найти образ линии:

1) 2)

Решение. 1) Выделим действительную и мнимую части функции

Для прямой рассмотрим систему уравнений

из которой находим т. е.

Значит, образом прямой является прямая

2) Для заданной окружности рассмотрим систему уравнений:

из которой получаем

Тогда

Следовательно, образом заданной окружности радиуса 2 с центром в точке является окружность радиуса 4 с центром в точке

Пример 4. Найти образ прямой при отображении

Решение. Выделим действительную и мнимую части функции и решим полученную систему уравнений для прямой Тогда

Находим:

Тогда

Таким образом, прямая при отображениипереходит в параболу

Пример 5. Найти образ множества точек, ограниченных прямыми (образ полосы), при отображении

Решение. Изобразим заданную полосу (рис. 29.1, а). Выясним, на какую линию отображается функцией границаПараметрические уравнения этой прямой

где y – параметр. Тогда в комплексном виде линия задается уравнением Посколькуто, используя параметрические уравнения заданной прямой линии, имеемт. е.

Рис. 29.1

Из последней системы получаем Таким образом, приходим к уравнению параболыАналогично можно убедиться в том, что прямаяотображается функциейна параболуЕсли взять произвольную прямую(которая параллельна границам и лежит внутри полосы), то ее образ при отображенииесть параболакоторая лежит между параболамии

Значит, полоса с плоскости ограниченная прямымииотображается на полосу, ограниченную названными параболами в плоскости(рис. 29.1, б).

Пример 6. Выяснить, имеет ли функция предел в точке

Решение. Для ответа на поставленный вопрос воспользуемся определением предела по Гейне. Рассмотрим сначала последовательность точек Очевидно, чтоеслиПосколькутоЗначит,

Возьмем теперь последовательность точек Для нее тоже выполняетсяеслиОднакоа поэтомуЗначит,

Мы получили, что для двух последовательностей аргументов итаких, чтоиприпоследовательности соответствующих значений функции сходятся к разным числам. Поэтому заданная функция не имеет предела в точке

Пример 7. Вычислить предел функции:

1) 2) 3)

Решение. 1) Перейдем к функции двух переменных под знаком предела. Тогда

2) Непосредственный переход к частному пределов приводит к неопределенности типа Поэтому сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, а затем вычислим предел:

3) После деления на старшую степень числителя и знаменателя дроби (как это делается для действительных функций) получим

Пример 8. Найти пределесли:

1) 2) 3)

Решение. Заметим, что и, значит,

1) Рассмотрим

Имеем Тогда

Так как то

2) В этом случае

Покажем, что, несмотря на существование предела не существует предел

Запишем

Используем определение предела по Гейне. Сначала рассмотрим последовательность

Затем рассмотрим последовательность

Таким образом, указаны две последовательностиитакие, что

но

Значит, не существует.

3) При имеем

и

Отсюда следует, что

Пример 9. Исследовать на непрерывность функцию:

1) 2)

Решение. 1) Очевидно, что функция определена на всей плоскости Ĉ. Непрерывной она является во всех ее точках, кроме тех, где знаменатель равен нулю, т. е. Иначе говоря, множество точек разрыва функции лежит на окружности радиусас центром в точке(в этих точках функция принимает значение

2) Для исследования данной функции на непрерывность отделим ее действительную и мнимую части:

Обе функции иявляются непрерывными для всехЗначит, данная функция непрерывна на всей плоскостиC.

Пример 10. Доказать, что функция является непрерывной внутри единичного круга

Решение. Пусть – произвольная точка, лежащая внутри кругаОбозначими заметим, что для всехz, удовлетворяющих условию выполняется неравенство

Преобразуем разность

Возьмем произвольное обозначими положимТогда для любогоz, такого, что будет

т. е.

Непрерывность функции в точке доказана, а поскольку– произвольная точка кругато доказана непрерывностьf(z) внутри круга

Пример 11. Записать уравнение линии в комплексной форме:

1) 2)

Решение. 1) Это параметрические уравнения окружности радиусом, равным 2, с центром Посколькуто уравнение данной линии можно записать в виде

Воспользуемся формулами Эйлера:

откуда

Из последней записи видно, какой центр имеет окружность и каков ее радиус.

2) Если обе части заданного уравнения поделить почленно на 36, придем к уравнению эллипса

который имеет центр в точке (0; 0). Его параметрические уравнения:

Значит, в комплексной форме это уравнение принимает вид

Пример 12. Определить, какую линию на плоскости задает уравнение:

1) 2)

Решение. 1) Сначала запишем уравнение линии в параметрическом виде:

Из первого равенства выразим t через x и подставим в другое:

т. е. Как известно, это есть уравнение параболы.

2) Переходим к параметрическому заданию линии:

Сложив эти равенства, получим что есть уравнение прямой. (Для строгости рассуждений и в первом, и во втором случаях убедитесь в обратном: каждая точка параболыи каждая точка прямойзадается соответствующей системой с параметром).

Задания