29. Теория функций комплексной

ПЕРЕМЕННОЙ

29.1. Основные понятия теории функций

комплексной переменной

Множество всех комплексных чисел обозначают С. Между множествомСи множеством точек (x, y) плоскостиxOyсуществует взаимно однозначное соответствие. ПлоскостьxOyназываюткомплексной плоскостью (плоскостью C).

Множество Cпополняют элементомкоторый называетсябесконечностьюилибесконечно удаленной точкой.Комплексная плоскость, которую пополнили бесконечностью, называется расширенной комплексной плоскостью и обозначается Ĉ.

Множество точек которые лежат внутри кругарадиуса с центром в точкеназывается-окрестностью точки z₀, т. е.

Проколотой -окрестностью точки z₀ называется ее -окрестностьбез центраz₀.

Для бесконечной точки из расширенной плоскостиĈ понятие -окрестности определяется как множество точек, которые находятся вне круга радиуса  с центром в начале системы координат, т. е. это множество точек z, для которых

Множество Dназываютограниченным, если существует круг конечного радиуса с центром в начале системы координат, который содержит это множество.

Точка называетсявнутреннейдля множестваD, если существует окрестность этой точки, целиком содержащаяся внутри множестваD. МножествоD, которое содержит только внутренние точки, называетсяоткрытым множеством.

Связнымназывается множество, любые две точки которого можно соединить непрерывной линией, целиком принадлежащей множеству. МножествоDточек комплексной плоскости называютобластью, если оно является открытым и связным.

Граничной точкойобластиDназывается такая точка, которая сама не принадлежитD, но в любой ее окрестности есть точки областиD. Совокупность всех граничных точек областиDназывается ееграницей. ОбластьDс присоединенной к ней границейГназываетсязамкнутой областью

Точки комплексной плоскости, которые не принадлежат называютсявнешнимидля областиD.

Предел последовательности комплексных чисел

Последовательность комплексных чисел определяется как функция натурального аргумента, которая каждому значениюставит в соответствие единственное комплексное число

Число называетсяпределомпоследовательностиесли для любогосуществует числотакое, что для любого номеравыполняется:

Факт, что последовательность имеет пределs, записывают так:

(или ).

Последовательность имеющая предел, называетсясходящейся.

Используя понятие -окрестности, предел последовательности определяют и так: числоназывается пределом последовательностиесли для любогосуществует такой номерчто, начиная с него, все элементы последовательности находятся в-окрестности точки.

Свойства предела последовательности комплексных чисел

1.Для того, чтобы выполнялось равенство

(29.1)

необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства:

(29.2)

2.Из того, чтоследует

3.Еслито

а)

б)

в)

Последовательность называетсясходящейся к, если для любогосуществует номертакой, что для любого номеравыполняется неравенство

Другими словами, сходимость последовательности к бесконечности означает, что для любого сколь угодно большого числа можно найти такой номер, начиная с которого все элементы последовательности находятся в-окрестности точкиСимволически это записывают так:

Свойства последовательности, сходящейся к

1.тогда и только тогда, когда

2. тогда и только тогда, когда

Пример 1. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

Решение. Зададим произвольное малое число и рассмотрим-окрестность точки Покажем, что существует такое натуральное числочто для любоговсе точки рассматриваемой последовательности будут находиться в-окрестности точки s. Это значит, что должно выполняться неравенство

Поскольку

то последнее неравенство принимает вид Решаем его относительнои полагаемПосколькунайдено, то тем самым доказано, что предел рассматриваемой последовательности равен

Пример 2. Найти если последовательностьзадается формулой:

1) 2)

Решение. 1) Найдем отдельно пределы действительной и мнимой частей данной последовательности, что мы можем сделать, используя свойство 1) предела последовательности. По формулам (29.1) и (29.2) получаем:

Получили, что

2) Запишем сначала элементы последовательности (комплексные числа) в алгебраической форме:

Легко убедиться, что

Пример 3. Найти если последовательностьзадается формулой:

Решение. В наших обозначениях Значит,

Рассмотрим различные случаи.

1. Допустим, что В этом случаеДругими словами, для произвольногосуществует номерчто для любогосправедливоТак кактоОтсюда следует, чтот. е.

2. Пусть Тогда

Рассмотрим далее четыре случая коэффициентов b, c.

Если то находим:

и

Если то

Если то

Так как то

Если то

Задания