24.3. Многошаговые схемы Адамса

При построении всех предыдущих схем для вычисления интеграла в правой части (24.4) использовались лишь точки в диапазоне одного шага [x_k, x_kПоэтому при реализации таких схем для вычисления следующего

значения y^k+¹ требуется знать только одно предыдущее значение y^k, т.е. ре­куррентная последовательность получается первого порядка. Такие схемы на­зывают одношаговыми. Мы, однако, видели, что для повышения точности при переходе от x_k к x_k+₁ приходилось использовать и значения функции F

внутри интервала [x_k+_1/2, y^k+^1/2]. Схемы, в которых это используется, назы­вают схемами с дробными шагами. В этих схемах повышение точности дос­тигается за счет дополнительных затрат на вычисление функции F(x) в про­межуточных точках интервала [x_k, x_k

y^k, y^{k 1}, y^{k 2}, Заменим в (24.4) F(x) интерполяционным многочленом

Идея методов Адамса заключается в том, чтобы для повышения точно­сти использовать уже вычисленные на предыдущих шагах значения

y^k, y^k-1, y^k-2,

Ньютона вида

F(x) * F(xk) + (x-x_k)^F(xk) _h^F(xk-1) +

h

+(x - x_k)(x - xk-1)^{F (xk) - 2 F} ^ + '^(xk-2) +

2h

После интегрирования на интервале [x_k, x_k+1] получим явную экстра-

поляционную схему Адамса. (Экстраполяцией называется получение значений интерполяционного многочлена в точках x, выходящих за крайние узлы сет­ки). В нашем случае интегрирование производится на интервале [x_k, x_kа

полином строится по узлам x_k, x_k-1, x_k-2 .

Порядок аппроксимации схемы в этом случае определяется количест­вом использованных при построении полинома узлов (например, если ис­пользуются x_k, x_k-1, то схема второго порядка).

Если в (24.4) F(x) заменим многочленом Ньютона вида

F (x) * F (xk+1) + (x - x_k+i)^{F (xk F (xk)} +

h

^{F (x}k+1^{) - 2}Hxk ⁾ + ^{F (x}k-1⁾

2h ²

то после интегрирования получим неявную интерполяционную схему Адамса. Заметим, что неявная интерполяционная схема второго порядка сов­падает со схемой (24.10).

24.3.1. Явная экстраполяционная схема Адамса 2-го порядка

^У , ^У = 1.5■ f(x_k, y^k)-0.5f(x_k__x, V^k-1). (24.13)

h

Схема двухшаговая, поэтому для начала расчетов необходимо найти у¹ по методу (24.11), после чего у , у , ... вычислять по (24.13).

24.3.2. Явная экстраполяционная схема Адамса 3-го порядка

tlht. = 12.f(xk, f)-12f-1, f^-1) +₁⁵₂f(xk-2, f^-2) (24.14) h 12 12 12

Схема трехшаговая, поэтому для начала расчетов необходимо найти у¹, у² по методу (24.12), после чего у³, у⁴, ... вычислить по (24.14).

24.3.3. Неявная схема Адамса 3-го порядка

_{i—=152f(xk+1, yk+1)+182f(xk, yk)-^f(xk-1, Z-1). (24.15)}

h 12 12 12

Так как схема двух шаговая, то для начала расчетов необходимо найти у по методу (24.12), после чего у , у , ... вычислить по (24.15).

Для нахождения у^¹ требуется использовать метод простой итерации:

f+^{1, s} = f + h

^f(xk+1, f+^1,s-1) + £f(xk, f)-f(xk-, f ^-1)

Значение y^k+^1,0 следует рассчитать по формуле (24.13): y^k+^1,0 = y^k + h -Г1.5 ■ f(xk, y^k) - f(xk-1, y^k-1)"

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ПРОЦЕДУРЫ И ФУНКЦИИ ДЛЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРОКОВОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ

Для работы со строками применяются следующие процедуры и функ­ции (в квадратных скобках указываются необязательные параметры).

ffGeneral	Универсальный формат, использующий наиболее удобную для чтения форму представления вещественного числа. Соот­ветствует формату ffFixed, если количество цифр в целой части меньше или равно Precision, а само число - больше или равно 0,00001, в противном случае соответствует формату ffExponent: 3,1416
ffNumber	Отличается от ffFixed использованием символа - разделителя тысяч при выводе больших чисел (для русифицированной версии Windows таким разделителем является пробел)
ffCurrency	Денежный формат. Соответствует ffNumber, но в конце строки ставится символ денежной единицы (для русифицированной версии Windows - символы «р.»). Для Value = п*1000 получим: 3 141,60р

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ

Язык Object Pascal имеет ограниченное количество встроенных матема­тических функций (|x| abs (x), Arctg(x) ArcTan(x), e^x Exp(x), x² — Sqr(x), Ln(x), Cos(x), Sin (x) и др.). Поэтому при необхо­димости использовать другие функции следует применять известные соотно­шения или модуль Math. В таблице приведены выражения наиболее часто встречающихся функций.

Sh( x)	ex - e-x 2	Sinh(x)
Ch( x)	ex + e -x 2	Cosh(x)
Sign( x)	1, если x>0; 0, если x=0; -1, если x<0	Sign( x)

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. ТАБЛИЦЫ СИМВОЛОВ ASCII

Стандартная часть таблицы символов ASCII

КС	С	КС	С	КС	С	КС	С	КС	С	КС	С	КС	С	КС	С
0		16	►	32		48	0	64	@	80	P	96		112	p
1	©	17		33	!	49	1	65	A	81	Q	97	a	113	q
2	Ф	18	г	34		50	2	66	B	82	R	98	b	114	r
3	V	19	м	35		51	3	67	C	83	S	99	c	115	s
4	♦	20	1	36		52	4	68	D	84	T	100	d	116	t
5	*	21	§	37	%	53	5	69	E	85	U	101	e	117	u
6		22	—	38	&	54	6	70	F	86	V	102	f	118	v
7	•	23	г	39		55	7	71	G	87	W	103	g	119	w
8	□	24		40	(	56	8	72	H	88	X	104	h	120	x
9	о	25		41	)	57	9	73	I	89	Y	105	i	121	У
10	ш	26	—	42	*	58		74	J	90	Z	106	j	122	z
11	в	27	—	43	+	59		75	K	91	[	107	k	123	{
12	?	28	|_	44		60	<	76	L	92	\	108	l	124
13	S	29		45	-	61	=	77	M	93	]	109	m	125	}
14		30	▲	46		62	>	78	N	94	л	110	n	126
15		31	▼	47	/	63	?	79	O	95		111	o	127

Некоторые из вышеперечисленных символов имеют особый смысл. Так, например, символ с кодом 9 обозначает символ горизонтальной табу­ляции, символ с кодом 10 - символ перевода строки, символ с кодом 13 -символ возврата каретки.

Дополнительная часть таблицы символов

КС	С	КС	С	КС	С	КС	С	КС	С	КС	С	КС	С	КС	С
128	А	144	Р	160	а	176		192	L	208	JL	224	р	240	Ё
129	Б	145	С	161	б	177		193	±	209	Т	225	с	241	ё
130	В	146	Т	162	в	178	I	194		210	T	226	т	242	е
131	Г	147	У	163	г	179		195	-	211	L	227	у	243	е
132	Д	148	Ф	164	д	180	-	196	—	212	\=	228	ф	244	I
133	Е	149	Х	165	е	181	z	197	--	213	F	229	х	245	i'
134	Ж	150	Ц	166	ж	182	-	198		214		230	ц	246	У
135	З	151	Ч	167	з	183		199	-	215	...	231	ч	247	У
136	И	152	Ш	168	и	184		200		216	= =	232	ш	248	°
137	и	153	Щ	169	й	185		201	If	217		233	щ	249
138	К	154	Ъ	170	к	186		202	JL	218	г	234	ъ	250
139	Л	155	Ы	171	л	187	il	203	if	219		235	ы	251
140	М	156	Ь	172	м	188	JJ	204	L г	220	■	236	ь	252	№
141	Н	157	Э	173	н	189	Л	205		221		237	э	253
142	О	158	Ю	174	о	190	=1	206	JL "ir	222	_1_	238	ю	254	■
143	П	159	Я	175	п	191	1	207	X	223	■	239	я	255

В таблицах обозначение КС означает "код символа", а С - "символ".