19.2. Прямые методы решения слау

19.2.1 Метод Гаусса

Метод основан на приведении с помощью преобразований, не меняю­щих решение, исходной СЛАУ (19.1) с произвольной матрицей к СЛАУ с верхней треугольной матрицей вида

^aU^xi + ^а12 ^x2 + ^... + ^ain^xn = ^b1

^a22 ^x2 + ^... + ^a2n^xn = ^b2

(19.2)

aix

nn n

b'

Этап приведения к системе с треугольной матрицей называется прямым ходом метода Гаусса.

Решение системы с верхней треугольной матрицей (19.2), как легко ви­деть, находится по формулам, называемым обратным ходом метода Гаусса:

a

1

кк

i=к+1

^aki^xi

к

n

1,

n

1.. (19.3)

Прямой ход метода Гаусса осуществляется следующим образом: вы­чтем из каждого /72-го уравнения (m=2..n) первое уравнение, умноженное на a_m1I a₁₁, и вместо m-го уравнения оставим полученное. В результате в матри­це системы исключаются все коэффициенты 1-го столбца ниже диагонально­го. Затем, используя 2-е полученное уравнение, аналогично исключим эле­менты второго столбца (m=3..n) ниже диагонального и т.д. Такое исключение называется циклом метода Гаусса. Проделывая последовательно эту опера­цию с расположенными ниже k-го уравнениями (к=1, 2 n-1), мы приходим

к системе вида (19.2). При указанных операциях решение СЛАУ не изменяет­ся.

На каждом k-м шаге преобразований прямого хода элементы матриц изменяются по формулам прямого хода метода Гаусса:

a

^ami = ^ami ^{- a}ki—^{, k} = ^{1 n - 1 i} = ^{k, n;}

^kk (19.4)

^bm = ^bm ^{- b}h— ^{, m} = ^k + ^{1 n.}

Элементы a_kk называются главными. Заметим, что если в ходе расчетов

по данному алгоритму на главной диагонали окажется нулевой элемент a_kk = 0, то произойдет сбой в ЭВМ. Для того чтобы избежать этого, следует

каждый цикл по k начинать с перестановки строк: среди элементов k-го столбца a_mk, k < m < n находят номер p главного, т.е. наибольшего по моду­лю, и меняют местами строки k и p. Такой выбор главного элемента значи­тельно повышает устойчивость алгоритма к ошибкам округления, т.к. в фор­мулах (19.4) при этом производится умножение на числа a_mk /a_kk меньшие

единицы и ошибка, возникшая ранее, уменьшается.

(19.5)

или коротко эту систему записывают в виде

(19.6)

^pi^Xi-1+^qi^Xi + ^ri^Xi+1=^di

p x 1 + q x = d , 2 < i < n -1.

В этом случае расчетные формулы метода Гаусса значительно упроща­ются. После исключения поддиагональных элементов в результате прямого хода метода Гаусса и последующего деления каждого уравнения на диаго­нальный элемент систему (19.5) можно привести к виду

0 0

1

0

1 -6

0 0

0 1 -6

00 00

0 0

0 0

0 0

1

1 -6-

0

	x1		1
	x2
X		=
	xn-1		nn-1
	x n

(19.7)

При этом формулы прямого хода для вычисления 6,1, как нетрудно получить, имеют вид

⁶ =^-Гг + РЛгli = ^(di ^- Рг1г-1)¹⁽Яг + РЛ-^ ^(19.8)

i = 2,3,..., n -1.

Когда такое преобразование (прямой ход) сделано, формулы обратного хода метода Гаусса получаются в виде

^xn = ^(dn ^{- p}nⁿn-1^)l(qn + ^Pn⁶n-1^);

x =6ix_t+1 + 1i , ^(19.9)

i = n -1, n - 2, 1.

Расчетные формулы (19.8), (19.9) получили название "метод прогонки". Достаточным условием того, что в формулах метода прогонки не произойдет деления на ноль и расчет будет устойчив относительно погрешностей округ­ления, является выполнение неравенства |^|>|p_t\ + (хотя бы для одного i

должно быть строгое неравенство).

19.2.3.Метод квадратного корня

Метод предназначен для решения СЛАУ с симметричной матрицей. Этот метод основан на представлении такой матрицы в виде произведения

трех матриц: A = S ■ D ■ S, где D - диаганальная с элементами d_i=±1; S - верх­няя треугольная (s_ik = 0, если i>k, причем s_ii > 0), S - транспонированная

нижняя треугольная. Матрицу S можно по аналогии с числами трактовать как корень квадратный из матрицы A, отсюда и название метода.

Если S и D известны, то решение исходной системы

A ■ x = S ■ D ■ S ■ x = b сводится к последовательному решению трех систем -двух треуголь ных и одной диагональной:

S^T ■ z = b; Dy = z; Sx = y . (19.10)

Здесь z = DSx, y = Sx .

Решение систем (19.10) ввиду треугольности матрицы S осуществляется по формулам, аналогичным обратному ходу метода Гаусса: i-1

У\ = ^bi ^{1 s}i A^{; y}i = ^(bi ^- Z ^dk^yk^ski^{) 1 s}ii^di^{; i} = 2,3,..., n;

к=1

n

^Xn = ^yn ^{1 S}nn^{; X}i = ^(yi ^- Z Vk^)ISii^{; i} = ^{П - 1 П - 2,...,1.}

к=i +1

Нахождение элементов матрицы S (извлечение корня из А) осуществля­ется по рекуррентным формулам:

к-1 ²

^dk = ^sign(-Z^di\^stk\ ^);

i=1

(19.11)

_k^-1 2

^akk^- Z ^dA^sik\

i=1

_{Z dt\sik}

i=1

к = 1, 2, n;

к-1

^Skj = ^(akj ^- Z ^di^Sik^Sij^)I(Skk^dk ^); i=1

j = к +1, к + 2, n.

В этих формулах сначала полагаем к=1 и последовательно вычисляем

d₁ = sign(a₁₁); s₁₁ = ^|a_n| и все элементы первой строки матрицы S(s₁ j, j > 1),

затем полагаем к=2, вычисляем s₂₂ и вторую строку s₁ j для j>2 и т.д.

Метод квадратного корня почти вдвое эффективнее метода Гаусса, т.к. полезно использует симметричность матрицы.

Функция sign(x) возвращает -1 для всех x<0 и +1 для всех x>0.