23.1. Постановка задач оптимизации, их классификация

Трудно назвать область деятельности, где не возникали бы задачи оп­тимизационного характера. Это, например, задачи определения наиболее эф­фективного режима работы различных систем, задачи организации производ­ства, дающего наибольшую возможную прибыль при заданных ограничен­ных ресурсах или ограничении на количество товара, которое может погло­тить рынок и т.д.

Постановка каждой задачи оптимизации включает в себя моделирова­ние рассматриваемой ситуации с целью получения математической функции, которую необходимо минимизировать, а также определения ограничений, если таковые существуют и выбора подходящей процедуры для осуществле­ния минимизации функции.

Задача оптимизации заключается в выборе среди элементов множества Х (множества допустимых решений) такого решения, которое было бы с оп­ределенной точки зрения наиболее предпочтительным. В дальнейшем поня­тие решения отождествляется с вектором (точкой) n-мерного евклидова про­странства Rⁿ. В соответствии с этим допустимое множество Х представляет собой некоторое подмножество пространства Rⁿ, т. е. X a Rⁿ, а целевая функция (а также критерий качества или критерий оптимальности) f(x) -это функция n переменных x₁,x₂,...,x_n. Сравнение решений по предпочти­тельности осуществляется с помощью целевой функции f(x), которую фор­мулируют таким образом, чтобы наиболее предпочтительному решению x⁽⁰⁾ соответствовал минимум целевой функции.

f (x⁽⁰⁾) = min f (x) x e X

При этом решение x⁽⁰⁾ называют оптимальным (точнее говоря, мини­мальным) , а значение f (x⁽⁰⁾) - оптимумом ( минимумом). Существует два вида минимумов : локальный и глобальный. Говорят, что точка x⁽⁰⁾ e X дос­тавляет функции f(x) на множестве Х локальный минимум, если существует

такая окрестность U_e( x⁽⁰⁾) (s> 0) точки x⁽⁰⁾, что неравенство f (x⁽⁰⁾) < f (x) справедливо для всех x e X (Г U_£ (x⁽⁰⁾). Глобальный мини­мум функции f(x) доставляет точка x⁽⁰⁾ e X, для которой записанное выше неравенство выполняется при всех x e X. Если множество допустимых значе­ний X = Rⁿ, то говорят о задаче минимизации без ограничений. В этом случае нужно найти такую точку x⁽⁰⁾ , чтобы неравенство f(x⁽⁰⁾)< f(x) выполнялось для всех точек пространства Rⁿ без ограничения. Задачу минимизации без ог­раничений называют также задачей безусловной минимизации. При этом для характеристики точки минимума и самого минимума добавляют прилагатель­ное «безусловный». Если X ф Rⁿ, то имеет место задача минимизации с огра­ничениями. В этом случае также говорят о задаче условной минимизации, о точках условного минимума и об условном минимуме. Если допустимое множество Х задано в виде

X = {x е Rⁿ | gj (x) < °, j = 1,2,...,k; g_}(x) = °, j = k +1,...,m} (23.2)

где все функции g_j(x) определены на Rⁿ , то говорят о задаче

математического программирования. Среди задач этого класса разли­чают задачи с ограничениями типа неравенств - когда множество Х имеет вид (23.2) и m = k; задачи с ограничениями типа равенств - когда в (23.2) неравенства отсутствуют (k = 0), и задачи со смешанными ограничениями -когда в задании множества Х встречаются как равенства, так и неравенства.

Следует отметить, что ограничение типа равенства g ( x ) = ° всегда можно заменить двумя ограничениями типа неравенства g(x) = 0 g(x) < 0, g(x) > 0. С другой стороны, ограничение-неравенство всегда можно заменить эквивалентным ему ограничением-равенством, введя допол­нительную переменную

^Xn+1 ^g(X) < ⁰ "> ^g(X) + ^x2+1 = ^0.