и ее определитель (это определитель Вандермонда) отличен от нуля, если точки x_i разные. Поэтому задача (20.2) имеет единственное решение, т.е. для заданной системы различных точек существует единственный интерпо­ляционный многочлен.

Погрешность аппроксимации функции f(x) интерполяционным много­членом степени n-1, построенным по n точкам, можно оценить, если известна ее производная порядка n, по формуле

dⁿf (x)

(h/2)ⁿ, h = max | x_i - x_i-11. (20.5)

i

С

<

Из (20.5) следует, что при h—0 порядок погрешностиp при интерполя­ции алгебраическим многочленом равен количеству выбранных узлов p=n. Величина s может быть сделана малой как за счет увеличения n, так и умень­шения h. В практических расчетах используют, как правило, многочлены не­высокого порядка (n < 6), в связи с тем что с ростом n резко возрастает по­грешность вычисления самого многочлена из-за погрешностей округления.

20.3. Какие бывают многочлены и способы интерполяции?

Один и тот же многочлен можно записать по-разному, например,

2 2

1 - 2x + x = (x -1) . Поэтому в зависимости от решаемых задач применяют

различные виды представления интерполяционного многочлена и способы интерполяции.

Наряду с общим представлением (20.3) наиболее часто в приложениях используют интерполяционные многочлены в форме Лагранжа и Ньютона. Их особенность в том, что не надо находить параметры с , так как многочле­ны в этой форме прямо записаны через значения таблицы

{^(xi^, Уг^{) j} = ^{1 ... n}} ^.

20.3.1. Интерполяционный многочлен Ньютона

n-1

^Nn-i^(xt ⁾ = ^y1 + X ^(xT ^{- x}1^)(xT ^{- x}2^)...(xT ^{- x}k^)Ak ^(20.6)

k=1

Здесь x_T - текущая точка, в которой надо вычислить значение много­члена, Ak - разделенные разности порядка k, которые вычисляются по сле­дующим рекуррентным формулам:

Ay(x,x,+1) = ;A2y(x,x_l+1x_l+2) = ^Ay(xixi+^1]"^{A1 y(xi}+^1xi+²² .

^xi ^xi+1 ^xi ^xi+2

20.3.2. Линейная и квадратичная интерполяция

Вычисления по интерполяционной формуле (20.6) для n>3 используют редко. Обычно при интерполяции по заданной таблице из m>3 точек приме­няют квадратичную n=3 или линейную n=2 интерполяцию. В этом случае для приближенного вычисления значения функции f в точке x находят в таблице

HI _{f (X) - Pn-\(X}

С

(n - 1)n

dXⁿ

ближайший к этой точке /-узел из общей таблицы, строят интерполяционный многочлен Ньютона первой или второй степени по формулам

Щx_T⁾ = y_M + (x_T _ x_i__l)^y ^^; x_M < x_T < x_i^;

(20.7)

^Xi ^xi_1

^;xi_1^<xT^<xi+1,

N₂ ^(xt ⁾ = ^Ni^(xt ⁾ +^(xt _ ^xi_i^)(xt _ ^xi⁾

I yi _1	_yi		f _ yL	_ yi+1 I
	_xi	J	V xi	_xi+1J
	xi	_1_	~ xi +1

и за значение f(x) принимают N₁(x) (линейная интерполяция) или N₂(x) (квадратичная интерполяция)

20.3.3. Интерполяционный многочлен Лагранжа L_n_1(xt) = ty_ke_k(xt); e_k(xt) = f[-^xT_^ . (20.8)

i *k

Многочлены e1_¹(xj) выбраны так, что во всех узлах, кроме k-го, они обращаются в нуль, в k-ом узле они равны единице:

„ ! Г1, при j = k

eⁿ_k_¹(x_i) = \

\0, при j фk.

^{Поэтому из выражения (20.8) видно, что Ln_1( xt) = yt.}

20.3.4. Интерполяция общего вида, использующая прямое решение сис­темы (20.2) методом Гаусса

Следует отметить, что ввиду громоздкости многочлены Ньютона и Ла­гранжа уступают по эффективности расчета многочлену общего вида (20.3), если предварительно найдены коэффициенты с .

Поэтому, когда требуется производить много вычислений многочлена, построенного по одной таблице, оказывается выгодно вначале один раз найти коэффициенты с и затем использовать формулу (20.3). Коэффициенты с на­ходят прямым решением системы (20.2) c матрицей (20.4), затем вычисляют его значения по экономно программируемой формуле (алгоритм Горнера)

_{^n_1 (x) = С1 + x(c2 + ... x(cn_2 + x(cn_1 + xcn) ...). (20.9)}

20.3.5. Интерполяция общего вида, использующая расчет коэффициен­тов многочлена (20.3) через многочлен Лагранжа

^Находить коэффициенты с многочлена (20.3) можно не решая прямо систему (20.2), а используя разложение коэффициентов Лагранжа (20.8): ^{e"-\x) = a^1 + a& ■ x + ... + cfc1 ■ xn-1, ct = £Ук ■ (20-10)}

k=1

Рекуррентные формулы для нахождения коэффициентов akj^-1:

^{оя = т-1 -xm . ат = ат-1 1 . (90 11)}

^xk^-xm ^xk^-xm

_a^m-1 _{- a}^m-1 _ _x

a^m =^ ^J- ;1 < j <m; m = 2,..., n-1

^xk^{- x}m

получаются из вида многочленов ek. ¹ (x), если использовать очевидное представление

e^m(x) = еГ^х ■ ^{Х -x}"^-m ; e⁰ = = 1; m = 1,2,..., n; m * k.

^xk ^xn+m