Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции по курсу.docx
Скачиваний:
59
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
2.8 Mб
Скачать

19.3. Итерационные методы решения слау

19.3.1. Метод простой итерации

В соответствии с общей идеей итерационных методов исходная систе- ма (19.1) должна быть приведена к виду, разрешенному относительно x: x = Gx + c = (p( x), (19.12)

где G - матрица; c - столбец свободных членов. При этом решение (19.12) должно совпадать с решением (19.1). Затем строится рекуррентная по­следовательность первого порядка в виде

xk =((xk-1) = Gxk-1 + c, к = 1,2,....

Для начала вычислений задается некоторое начальное приближение x0 (например, x0 = 1, xn = 1), для окончания - некоторое малое s.

Получаемая последовательность будет сходиться к точному решению, если норма матрицы ||G|| < 1.

Привести исходную систему к виду (19.12) можно различными спосо­бами, например,

x = x + a( Ax - b) = (E + a A) x -ab = Gx + c;

Здесь E - единичная матрица; a - некоторый параметр, подбирая кото­рый, можно добиться, чтобы ||G|| = | E + aA|| < 1.

В частном случае, если исходная матрица A имеет преобладающую

n

главную диагональ, т.е. \au\ > S\aik\, то преобразование (19.1) к (19.12) можно

к =1 к *i

aHxk- -b jj

осуществить просто, решая каждое i-е уравнение относительно xt. В резуль­тате получим следующую рекуррентную формулу:

aii

j=1

J *i

= tgyxk- + С. (19.13)

j=1

gij =-aij I aii; gii =0; ci =bi I aii.

19.3.2. Метод Зейделя Метод Зейделя является модификацией метода простой итерации. Суть его состоит в том, что при вычислении очередного приближения xk (2 < i < n)

в формуле (19.13) используются вместо xf-1,..., x^-1 уже вычисленные ранее

x\x^, т.е. (19.13) преобразуется к виду

xk gjxf +^tgjxfl+c. (19.14)

j=1 J=i+1

Такое усовершенствование позволяет ускорить сходимость итераций почти в два раза. Кроме того, данный метод может быть реализован на ЭВМ

без привлечения дополнительного массива, так как полученное новое xk сра­зу засылается на место старого.

19.3.3. Понятие релаксации Методы простой итерации и Зейделя сходятся примерно так же, как геометрическая прогрессия со знаменателем ||G||. Если норма матрицы G

близка к 1, то сходимость очень медленная. Для ускорения сходимости ис­пользуется метод релаксации. Суть его в том, что полученное по методу про­стой итерации или Зейделя очередное значение xk пересчитывается по фор­муле

xk =coxk + (1 -(d) xk-1. (19.15)

Здесь 0< со <2 - параметр релаксации.

Если с < 1 - нижняя релаксация, если с>1 - верхняя релаксация. Па­раметр со подбирают так, чтобы сходимость метода достигалась за минималь­ное число итераций.

ЛЕКЦИЯ 20. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ

20.1. Зачем нужна аппроксимация функций?

В окружающем нас мире все взаимосвязано, поэтому одной из наиболее часто встречающихся задач является установление характера зависимости между различными величинами, что позволяет по значению одной величины определить значение другой. Математической моделью зависимости одной величины от другой является понятие функции y=f(x) .

В практике расчетов, связанных с обработкой экспериментальных дан­ных, вычислением f(x), разработкой вычислительных методов встречаются следующие две ситуации:

1. Как установить вид функции y=f(x), если она неизвестна? Предпола- гается при этом, что задана таблица ее значений { (xt, yi), i = 1, m } , которая

получена либо из экспериментальных измерений, либо из сложных расчетов.

2. Как упростить вычисление известной функции f(x) или же ее характе- ристик (f'(x), max f (x)), если f(x) слишком сложная?

Ответы на эти вопросы даются теорией аппроксимации функций, ос­новная задача которой состоит в нахождении функции y=((x), близкой (т.е. аппроксимирующей) в некотором нормированном пространстве к исходной функции y=f(x). Функцию (p(x) при этом выбирают такой, чтобы она была максимально удобной для последующих расчетов.

Основной подход к решению этой задачи заключается в том, что (p(x) в ыбирается зависящей от нескольких свободных параметров с = 1, с2, cn), т.е. y = ((x) = ((x, с1, cn) = ((x, с), значения которых

подбираются из некоторого условия близости f(x) и <p(x).

Обоснование способов нахождения удачного вида функциональной за­висимости ((x, с) и подбора параметров с составляет задачу теории ап­проксимации функций.

В зависимости от способа подбора параметров с получают различные методы аппроксимации, среди которых наибольшее распространение полу­чили интерполяция и среднеквадратичное приближение, частным случаем которого является метод наименьших квадратов.

Наиболее простой, хорошо изученной и нашедшей широкое примене­ние в настоящее время является линейная аппроксимация, при которой вы­бирают функцию ((x, с), линейно зависящую от параметров с, т.е. в виде обобщенного многочлена:

p(x, с) = (х) +... + спп (х) = £ скк (х) .(20.1)

k=1

Здесь {p1(k), pn(х)} - известная система линейно независимых (ба­зисных) функций. В качестве {pk (х)} в принципе могут быть выбраны любые

элементарные функции. Например: тригонометрические, экспоненты, лога­рифмические или комбинации таких функций. Важно, чтобы система базис­ных функций была полной, т.е. обеспечивающей аппроксимацию /(х) много­членом (20.1) с заданной точностью при п—о.

Приведем хорошо известные и часто используемые системы. При ин­терполяции обычно используется система линейно независимых функций

pk (х) = хк-1} . Для среднеквадратичной аппроксимации удобнее в качестве pk (х) брать ортогональные на интервале [-1, 1] многочлены Лежандра:

{p1 (х) =1; p2(х) = х; pk+1 (х) = [( +1)хрк(х)~kpk-1 (х)], к = 2А п}

1

|pk~)-Pi}с1х = 0; k фl.

-1

Заметим, что если функция /(х) задана на отрезке [a, b], то при ис­пользовании этой системы необходимо предварительно осуществить преоб-

х

приводящее интервал a < х < b к

b + a

2

2

разование координат х

У 2 J b - a интервалу -1 < х' < 1.

Для аппроксимации периодических функций используют ортогональ-

pk ) = cos(2k;r ),

b - a

х a I

y/k ) = sin(2k;r ) \. В этом случае обобщенный многочлен (3.1) записы-

b - a I

вается в виде: у = ^ Ckpk(х) + dk\f/k(х).

k=1

<pOO

20.2. Что такое интерполяция? Интерполяция является одним из способов аппроксимации функций. Суть ее состоит в следующем. В области значений x, представляющей неко- торый интервал [a, b], где функции f и должны быть близки, выбирают упорядоченную систему точек (узлов) x1 < x2 < ... < xn, (обозначим

X = (xx, xn)), число которых равно количеству искомых параметров с1, с2, ...,сп . Далее, параметры с подбирают такими, чтобы функция <р(x, с) совпадала с f(x) в этих узлах,

<<(xt, с) = f (x), i = 1... п (см.

рис. 20.1), для чего решают получен­ную систему из n алгебраических, в общем случае нелинейных, уравне­ний.

В случае линейной аппроксимации (20.1) система для нахождения ко­эффициентов с линейна и имеет следующий вид:

Ё (xi) = Уг; i = 1,2,..^ П Уг = f (xi X

(20.2)

k=1

Система базисных функций (x)}, используемых для интерполяции,

должна быть чебышевской, т.е. такой, чтобы определитель матрицы системы (20.2) был отличен от нуля и, следовательно, задача интерполяции имела единственное решение.

Для большинства практически важных приложений при интерполяции наиболее удобны обычные алгебраические многочлены, ибо они легко обра­батываются.

Интерполяционным многочленом называют алгебраический много­член степени п-1, совпадающий с аппроксимируемой функцией в выбранных n точках.

Общий вид алгебраического многочлена

<р(x, с) = Pn-1(x) = с1 + с2x + с3x2 +... + 1 = Ёakx

k 1

(20.3)

k=1

Матрица системы (20.2) в этом случае имеет вид

x

x

п-1

G

x

x

n-1

G

П (

n>k >0

x

x

(20.4)

x

x

n-1