FOKOEP_-_CHastina_1

однозначний зв'язок, що випливає із властивостей лінійності системи:

Рис. 7. Схема, що демонструє реакцію лінійної системи на сходинковий сигнал

1.1.1. Фізичне обґрунтування рівняння згортки

Розглянемо довільний вхідний сигнал g(t) . Ми можемо розкласти довільний вхідний сигнал g(t) у послідовність імпульсів довжиною

t та амплітудою, рівною амплітуді даного сигналу в розглянуті моменти часу.

- 11 -

g - фаза. Оскільки в даному випадку для значення частоти x

амплітуда та фаза можуть мати різні значення, то вхідний гармонійний описується функцією

В теорії сигналів найбільше поширення отримала комплексна форма представлення сигналу, яка значно спрощує проведення підрахунків:

залежить від амплітуди та фази вхідного сигналу. У відповідності до формули Ейлера, комплексна частина сигналу (17) у точності відповідає гармонійному сигналу (16):

gm ( x ) exp{i[( x x g ( x )]}

gm ( x ){cos[( x x g ( x )] i sin[( x x g ( x )]}.

Якщо на вхід лінійної системи подати гармонійний сигнал (16), то після завершення перехідних процесів у встановленому режимі сигнал на виході також буде гармонійним із тою ж частотою, проте з іншими амплітудними та фазовими значеннями:

y(x) ym (x ) sin(x x y (x )) чи в комплексній формі:

Комплексна амплітуда Y (i x ) характеризує одночасно амплітуду та фазу вхідного сигналу.

Рис. 9. Схема, що демонструє реакцію лінійної системи на гармонійний сигнал

- 14 -

Наведена вище схема демонструє реакцію лінійної системи на вхідний гармонійний сигнал. Зміну динамічних характеристик лінійної системи у встановленому режимі при поданні на її вхід

гармонійного сигналу в залежності від частоти x можна визначити

- 15 -

характеристикою лінійної системи. Відповідно до (19) та (23) ці характеристики будуть такими:

властивості лінійної системи. Значення амплітудно-фазової частотної передаточної функції W (i x ) та функції ваги (x) дає можливість

знайти сигнал на виході лінійної системи по вхідному сигналу довільної форми, а не тільки гармонійному. Отримаємо цю

перетворення, воно буде дорівнювати добутку Фур’є-перетворенню цих функцій:

де:

- 16 -

спектр Фур’є функції ваги системи.

Отже, для негармонійного сигналу амплітудо-фазова частотна передаточна функція W (i x ) містить багато спектральних гармонік і являє собою Фур’є-перетворення від функції (x) . Щодо змісту рівняння (27) функція W (i x ) є лінійним фільтром, що пропускає

вхідні сигнали різних частот (спектральних гармонік) і тим самим характеризує динамічні властивості лінійної системи. Якщо знайдений

комплексний спектр Y (i x ) вихідного сигналу згідно з (27) та (28), то перехід до самого сигналу y(x) здійснюється на основі зворотнього Фур’є перетворення.

1.1.2. Сигнали з кількома змінними

При роботі ОЕС вхідні та вихідні сигнали дуже часто залежать від кількох незалежних параметрів. Дослідження динаміки таких лінійних систем здійснюється з допомогою функцій, уведених вище, але залежних від кількох змінних.

Нехай вхідний g та вихідний сигнали є функціями n незалежних змінних x1, x2 ,..., xn . Сукупність таких змінних позначимо вектором

x{x1, x2 ,..., xn}. Відповідні сигнали запишуться у вигляді:

g g(x1, x2 ,...,xn ) g( X ) . (30)

y y(x1, x2 ,...,xn ) y( X )

Уведемо n - вимірну -функцію:

- 17 -

вимірною функцією ваги лінійної системи.

Сигнал на виході такої системи визначається через вхідний сигнал та функцією ваги п-вимірним інтегралом згортки:

n

Частотний зв'язок між п-вимірними спектрами вихідного Y (i x )

та вхідного G(i x ) сигналів визначається виразом:

де x - п-вимірна кругова частота, що вводиться при використанні п-

вимірного перетворення Фур’є. Нехай задана функція f (x) . ЇЇ п- вимірний спектр визначається п-вимірним інтегралом Фур’є:

- 18 -

n

Відповідно до (37), спектри вхідного та вихідного сигналів визначаються так:

(n)

При цьому п-вимірна амплітудо-фазова частотна передаточна функція визначається через функцію ваги:

1.2.Перетворення Фур’є та його основні властивості

Ваналізі та синтезі ОЕС важливе місце посідає математичний апарат перетворення Фур’є. За допомогою такого апарату порівняно легко роз’язуються задачі спектрального аналізу динаміки лінійних систем, при цьому вдасться перейти від схожих інтегральних рівнянь до системи алгебраїчних рівнянь.

1.2.1.Спектри періодичних сигналів

Вабсолютному розумінні періодичних сигналів не існує, оскільки потреб не буде повторення одного і того ж процесу нескінчену кількість разів. Однак поняття періодичного сигналу дуже корисне в розгляді реальних процесів, що займають кінцеві інтервали часу та простору. Тут доцільно згадати роботу дифракційної гратки, випромінювання атомом квазімонохроматичного цугу хвиль і т.д.

-19 -

А) найпростішим періодичним сигналом є гармонійні коливання, що визначаються тригонометричними функціями косинуса та синуса часу чи простору:

f1 - просторова частота; , - початкова та повна фази.

Графічно ці коливання зображені на рис. 10.

Гармонічне коливання можна розглядати у вигляді дійсної частини (або уявної, в різних джерелах береться або дійсна, або уявна) комплексної змінної

(t) Re k (t) A Re ei A Re[cos i sin ] Acos , t .

Комплексне представлення допускає таку інтерпретацію: комплексний вектор k (t) обертається в комплексній площині з

кутовою частотою . Якщо за годинниковою стрілкою – знак «-», якщо проти – знак «+».

Модуль вектора k A . Проекцією k (t) на дійсну вісь і є сама функція (t) .

- 20 -