Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

FOKOEP_-_CHastina_1

.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
23.02.2016
Размер:
1.88 Mб
Скачать

називаються прямими перетвореннями Фур’є, а самі функції F (i x ) , F (if x ) - спектральною густиною, спектральною характеристикою, комплексним спектром Фур’є функції (x) .

Вирази

1

(x) 2 F (i x )ei x x d x ;

 

(57)

 

 

(x) F (if x )ei 2 f x x df x .

 

 

 

називаються зворотними перетвореннями Фур’є.

При використанні шкали кругових просторових частот і введенні

 

 

 

 

 

 

 

 

позначень

lim

 

An X

F (i x ) , множник

1

з’являться у виразі для

 

4

2

 

 

 

 

 

прямого перетворення Фур’є. У книзі М.М. Мірошникова «Теоретичні основи оптико електронних пристроїв» робиться висновок, що «тільки

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

так буде правильно: (x)

1

 

F (i

 

)ei x x d

 

й інші автори

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

роблять помилку». Проте ніякої помилки тут немає: непорозуміння виникає через масштаб задання функції.

Звернемо увагу на розмірність функцій

F (i x ) та (x) . Якщо

розмірність

 

(x) - В, то, згідно з (57),

розмірність F (i x ) -

B[x]

B

 

. Із вигляду прямого Фур’є-перетворення Re[F(i x )] -

 

 

[x 1

 

 

]

 

завжди парна функція, Im[F(i x )] - непарна (рис. 17).

- 31 -

Рис. 17. Re[F(i x )] - завжди парна функція, Im[F(i x )] - непарна

Якщо (x) - парна функція, то (x) (x) , тоді F (i x ) -

парна, дійсна функція.

F (i x ) 2 (x) cos x xdx .

0

Якщо (x) - непарна функція, тобто (x) (x) , то

 

 

F (i x ) (x) cos x xdx i (x) sin x xdx

 

 

 

 

i (x) sin x xdx i2 (x) sin x xdx

 

0

 

 

- суто комплексна непарна функція, а Im[F (i x )] 2 (x)sin x xdx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

Для функції залежної від п-аргументів, пара перетворень Фур’є

визначається згідно формул:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x)

 

 

 

F (i

x

)ei x x d

x

;

 

 

 

 

(2 )n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(58)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (i x ) (x)e i x x dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x2 ... x

 

 

 

 

Тут

x x x

x1

 

xn -

скалярний добуток

п-

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{x1 , x2 ,..., xn } та

 

вимірних

веторів

 

у

просторі координат

x

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 32 -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{x

,x

,...,x

};

 

dx1dx2 ...dxn ;

просторі

частот

x

dx

 

 

 

 

 

1

2

 

n

 

 

d x

d x

...d x

 

 

 

 

 

 

 

d x

- елементарні об’єми у використовуваних п-

 

1

 

2

n

 

 

 

 

 

 

вимірних просторах.

1.3.Властивості спектрів

1.3.1.Теорема про спектр суми

Нехай функції 1 (x) та 2 (x) мають спектри F1 (i x ) та F2 (i x ) . Унаслідок лінійності перетворення Фур’є отримаємо, що спектр суми двох функцій дорівнює сумі спектрів цих функцій:

 

 

F (i x ) F1 (i x ) F2 (i x ) [1 (x) 2 (x)]e i x x dx.

(59)

1.3.2. Теорема про парність і непарність функцій

Коли функція (x) - парна функція (тобто (x) (x) ), то парною буде також її спектральна густина:

 

 

 

 

F (i x ) (x)e i x x dx (x) cos x xdx ,

 

 

 

 

 

 

F(i x ) F(i x ) F(x ) - тільки дійсна функція.

 

Якщо функція

(x) - непарна (тобто (x) (x) ),

то її

спектральна густина також непарна та суто уявна:

 

 

 

 

 

 

F (i x ) (x)e i x x dx i (x)sin x xdx .

При

цьому

 

 

 

 

F(i x ) F(x ) .

 

 

1.3.3. Теорема про комплексно спряжене

 

Нехай (x) -

комплексний сигнал, F (i x )

- його спектральна

густина. Визначимо спектральну густину сигналу, що спряжений із(x) , тобто (x) .

Маємо:

- 33 -

(x) (x) i m (x),

 

(x)

 

(x) i

m

(x).

 

 

 

 

 

Позначимо

через

Fc (i x )

шукану спектральну густину

спряженого сигналу.

 

 

 

 

 

 

 

 

Fc (i x )

(x)e i x x dx (x)e i x x dx i m (x)e i x x dx

 

 

 

 

 

Проте

F (i x )

Відповідно

(x)e i x x dx i m (x)e i x x dx .

F (i x )

(x)ei x x dx i m (x)ei x x dx .

Порівнюючи Fc (i x ) та F (i x ) , бачимо: спектральна густина сигналу, комплексно спряжена із заданими, визначається шляхом заміни знака в аргументі та спряження, тобто Fc (i x ) = F (i x ) .

1.3.4.Теореми зміщення та запізнення

Упрактиці дуже часто доводиться зміщувати шкали частот, часу на постійну величину. Теорема зміщення встановлює зв’язок між

функціями зі зміщеними шкалами. Нехай F (i x ) - спектральна густина функції (x) . У загальному випадку (x) - комплексна

величина (використані позначення Порфир’єва).

(x) (x) ei arg ( x) .

Змістимо частоту x на величину x0 . Отримаємо спектральну густину F(i x x0 ) . Визначимо сигнал см (x) , що відповідає спектральній густині. Зі зворотного перетворення Фур’є отримаємо:

(x) 1 F[(i )]ei x x d .

см 2 x x0 x

- 34 -

 

Домножимо останній вираз на e i x 0 x ,

 

ei x 0 x , вводячи нову змінну

'

 

x

 

x0

, отримаємо:

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x)

 

1

 

F[(i ' )]ei x' x d ' x ei x 0 .

 

 

 

 

см

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На основі останньої рівності отримаємо:

 

 

 

 

(x) (x)ei x 0 x

 

(x)

 

 

 

 

 

 

см

 

 

e

 

i[ x 0 x arg ( x)]

 

.

(60)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зміщення

 

 

спектральної густини

на x0

приводить до

модульованого сигналу з несучою частотою 0 x . Якщо уявити, що(x) - керуючий сигнал, то сигнал см (x) виявляється модульованим за амплітудою та фазою.

Змістимо сигнал (x) по часу на x0 . Це

зумовить нову

спектральну густини

 

 

 

Fсм (i x ) (x x0 )e i x x dx e i x x0 F (i x ) .

(61)

 

 

якщо ввести заміну x' x x .

 

0

 

Вираз (61) називають теоремою запізнення. При зміщенні функції (сигналу) в часі відбувається модуляція спектральної потужності.

Оскільки модуль нової функції Fсм (i x ) не змінюється, то ширина

спектра зміщеної та незміщеної функції однакова.

 

Змінюється

тільки

аргумент

спектральної

потужності,

Fсм (i x ) F(i x ) . А Fсм (i x ) arg F(i x ) x x0 .

1.3.5. Зв’язок між скалярним добутком функцій та їх спектрами. Рівність Парсеваля

Важливі співвідношення для функцій, що задовольняють перетворенням Фур’є, випливають з формули, вперше отриманої Релеєм.

Нехай 1 (x) та 2 (x) - дійсні чи комплексні сигнали та F1 (i x ) , F2 (i x ) - відповідні їм спектральні густини.

- 35 -

Скалярний добуток функцій 1

 

і 2 , F1 і F2 визначається такими

рівностями:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 2 )

 

 

1 (x) 2 (x)dx ,

 

(F1 F2 )

 

F1 (i x )F2 (i x )d x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула Релея встановлює такий зв’язок між скалярним добутком

функцій та їх спектрів:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x)

 

(x)dx

 

 

 

 

F (i )F

(i )d

 

 

 

 

 

 

 

 

(62)

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

x

 

 

2

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

або

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

)

1

 

 

 

(F F ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доведення (62):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x)

1

 

 

 

F (i )ei x x d , (x)

 

 

1

F (i )ei x x d .

 

 

2

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Згідно з визначенням,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (i

 

 

)e i x x d

 

 

(x)dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Змінюючи порядок інтегрування отримаємо:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

)

 

 

1

 

 

 

 

 

F

 

(i

 

)

 

 

 

e i x x d

dxd

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

F

(i

 

)F (i

 

)d

 

 

 

1

(F F ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При 1 (x) = 2 (x) = (x) отримаємо

 

 

рівність,

що

називається

формулою Парсеваля:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x)

 

2 dx

 

 

 

1

 

 

 

 

F (i )

 

2 d .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(63)

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ця рівність

виражає

 

закон збереження

енергії. Якщо

 

(x)

 

2

 

 

 

виражає

густину енергії

 

на

 

одиничний

 

 

інтервал

х,

 

F (i

x

)

 

2

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 36 -

відповідно енергію, що припадає на одиничний інтервал шкали x , то

повна енергія, згідно з (63), при переході від однієї шкали до іншої, повинна зберігатись однією і тією ж. Зауважимо, що при використанні

1

шкали частот, множник 2 у виразах (62), (63) відсутній.

1.3.6. Скалярний добуток функцій зі зміщеними шкалами

Якщо у функцій 1

та 2

шкали зміщені на величину , то їх

 

скалярний добуток буде називатись функцією взаємної кореляції

 

функцій 1 і 2 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K12 ( ) 1 (x) 2 (x )dx .

 

 

(64)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На основі формули Релея і теореми зміщення отримаємо

 

K ( )

1

 

F (i )F

(i )ei x d .

(65)

2

12

 

1

x 2

 

x

x

 

 

 

 

 

 

З останньої рівності випливає, що функція взаємної кореляції K12 ( ) являє собою зворотне перетворення Фур’є від добутку функції

F1 (i x ) F1 (i x ) .

Якщо 1 (x) 2 (x) (x) , то функцію (66) називають функцією автокореляції:

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2 ei x d

 

 

 

K ( )

 

(x) (x )dx

 

 

F (i

x

)

 

x

.

(66)

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функції

 

K12 ( ) та K ( )

посідають важливе

 

місце

в теорії

когерентності, аналізі шумів ОЕС, Фур’є-спектроскопії та взагалі при вивченні різноманітних випадкових процесів.

- 37 -

1.3.7. Згортка функцій

 

 

Згорткою функцій 1 (x)

 

 

та

2 (x)

називається інтеграл вигляду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 (x x' ) 2 (x' )dx' . Згортка позначається так: 1 2 . Для згортки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

характерна комутативність 1 2

2 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доведемо таку теорему: спектральна густина згортки функцій 1

 

та 2

дорівнює добутку їх спектральних густин, тобто:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x)

 

1 (x x' ) 2

(x' )dx'

 

 

 

F1 (i x )F2

(i x )ei x x d x

.

(67)

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доведення (67) випливає із формули Релея та властивостей Фур’є-

 

перетворення.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функція

 

 

(x' ) має

спектральну

густину

 

F (i

x

) . Функція

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x' ) повинна мати

 

спектральну

густину

 

F

(i

x

) . Візьмемо

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

функцію

 

(x'

x)

 

(x'

) , для якої спектральна густина на сонові

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

теореми про запізнення буде F (i

x

)e i x x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Згідно з формулою Релея, скалярний добуток функцій

3

(x' ) та

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

(x'

) буде дорівнювати:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x'

) (x' )dx'

 

 

[F (i )e i x x ]F (i )d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

x

 

 

 

2

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

або остаточно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x x' ) (x' )dx'

 

F (i )F (i )ei x x d .

 

 

2

 

 

1

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

x

 

 

2

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знайдемо Фур’є-перетворення від згортки:

(x) 1 (x' ) 2 (x x' )dx' ,

- 38 -

 

 

 

 

 

F (i x ) (x)e i x x dx 1 (x' )dx' 2 (x x' )e i x x dx .

 

 

 

 

 

 

Уводячи змінну y x x' , маємо:

 

 

 

 

 

 

 

' ' i x x'

 

i x y

 

(67а)

F (i x ) 1 (x )dx e

2 ( y)e

 

dy F1 (i x )F2 (i x )

 

 

 

 

 

 

 

Відповідно Фур’є-перетворення згортки двох функцій дорівнює добутку їх спектральних густин:

1 2 F1 F2 .

Якщо функції 1 (x) та 2 (x) дійсні, парні, то відповідно до

властивостей парності функцій, що задовольняють Фур’є- перетворенням, будемо мати:

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x x' )

 

(x' )dx'

1

 

F (i

)F

(i

) cos

xd

.

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1 x

2

x

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Із визначення згортки слідує також наступна властивість: спектральна густина F(i x ) відповідає Фур’є перетворенню від

добутку сигналів 1 (x) 2 (x) , тобто:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (i x )

1 (x) 2 (x)e i x x dx , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (i )

1

 

F [i(

 

' )]F

(i ' )]d '.

(68)

2

 

 

 

 

 

x

 

 

 

1

 

 

 

x

x

21

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула Релея:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

(x)

(x)dx

 

 

 

F (i )F (i )d .

 

2

 

 

 

1

 

3

 

 

 

 

 

1

x

3 x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Позначимо

(x)

(x)e i x' x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Функції 3 (x) відповідає спектральна густина

F3 (i x ) , функції

2 (x) - спектральна густина F2

(i x ) .

 

 

- 39 -

Спектральна густина сигналу 3 (x) буде F3 (i x ) , а сигналу

2 (x)e i x' x відповідно до теореми запізнення - F2 (i x i x ' ) .

Маємо:

F3 (i x ) F2 (i x i x ' ) F3 (i x ) F2 (i x i x ' ) .

Підставляючи значення 3 (x) , F3 (i x ) у формулу Релея, отримаємо:

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

(x) (x)e i x'

x dx

 

F (i )F [i('

)]d ,

2

 

1

2

 

1 x 2

x

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

що відповідає (68) при перепозначенні x' x , x x' .

Вираз (68) свідчить про те, що спектральна густина добутку двох функцій дорівнює згортці їх спектральних густин, поділеній на 2 , тобто

F (i x ) 21 F1 F2 .

1.3.8. Теорема про спектр похідної

Нехай спектр функції (x)

дорівнює F(i x ) . Визначимо спектр

F1 (i x ) , що відповідає

похідній від заданого сигналу

' (x)

d (x)

. Згідно із Фур’є-перетворенням маємо:

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

F1 (i x ) ' (x)e i x x dx

e i x x d (x).

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

b

Інтегруючи частинами udv uv

 

ba vdu , знайдемо

 

 

 

 

a

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

F1 (i x ) (x)e i x x

(x)(i x )e i x x dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 40 -

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]