Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

FOKOEP_-_CHastina_1

.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
23.02.2016
Размер:
1.88 Mб
Скачать

Отриманий вираз і є аналітичним представлення теореми Котєльнікова. Його ще називають рядом Котєльнікова. Задана неперервна функція (x) подається дискретними значеннями, що

знаходяться один від одного на відстані x

1

. Ці значення

 

2 fxm

називаються вибірками сигналу. Принцип дискретизації сигналу знаходить дедалі більше застосування в оптичному приладобудуванні (наприклад, у Фур’є-спектрометрах).

Рис. 20. Принцип дискретизації сигналу

При вимірах кількість вибірок – завжди скінчене число. Тому при вимірах сигналів скінченної протяжності існує можливість точного їх вимірювання на осі х, та насправді це не так. Обмеження в просторі (в часі) сигналу призводить до уширення спектра, що приводить до зменшення кроку дискретизації. Проте в реальному спектрі завжди

можна вказати значення частоти fxm , за межами якої інтенсивність спектра майже відсутня та відповідно до якої вибраний крок

x 1 .

2 fxm

Спектральна роздільна здатність відновленого спектра частот F (if x ) на основі вимірів сигналу (x) виявляється залежною від

- 51 -

кількості вибірок N та пов’язана із на півшириною Sa функції віліків та в цілому визначається інтервалом Х.

КількістьЧисло вибірок на інтервалі Х така:

 

 

N

 

 

X

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Одна «лінійна» вибірка з’являється за рахунок границь сигналу.

Оскільки

N 1, то N

X

X 2 f

 

. У Фур’є-спектроскопії буде

 

xm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

доведено,

 

 

що

 

 

 

точність

 

відновленого

спектра

f

 

 

1

 

 

1

 

 

fxm

.

 

 

 

 

 

x

 

2N X

 

 

 

 

 

 

 

 

2X

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3.14. Перетворення Фур’є деяких функцій

Розрахунки проводяться на семінарах.

1.4. Випадкові сигнали та їх проходження крізь лінійні системи

Проходження сигналу через елементи ОЕС описується у більшості випадків випадковими функціями та є випадковим процесом.

Якщо випадковий процес залежить тільки від одного аргументу (координати) x , то найбільш повне його представлення дає нескінченно великий набір випадкових функцій (x) , що отримується в результаті багатократного вимірювання та запису контрольованої величини (x) з допомогою ідеального

вимірювального пристрою, що не вносить власних спотворень у результати вимірювань.

Проте для інженерних розрахунків при такому представленні випадкової величини неможливо передбачити, яка саме з реалізацій випадкової величини діє в конкретному випадку.

Тому на практиці розрахунок систем, які знаходяться під дією випадкових факторів (випадкових сигналів), здійснюється з використанням усереднених характеристик і параметрів, отриманих у результаті статистичної обробки часткових реалізацій випадкових процесів.

- 52 -

1.4.1. Статистичний опис випадкових сигналів.

Нехай здійснюється багатократне вимірювання деякої випадкової величини , яка залежить від аргументу x , причому вимірювана

величина може приймати довільні значення:

(x) при

кожному заданому значення xi . Оскільки

є випадковою

величиною, то за результатами багаторазового її вимірювання в усіх

точках

аргументу x

можна отримати ряд випадкових функцій

k (x)

(k 1,2,...) ,

що називаються частковими реалізаціями. Як

приклад можна навести вимірювання неперервного спектра на Фур’є-

спектрометрі, де

частковою

реалізацією

є одне

сканування

Bi ( ) i (x) .

Графічне

зображення

часткових

реалізацій

випадкового процесу наведеніена рис. 21.

 

 

Рис. 21. Графіки часткових реалізацій випадкового процесу

Здійснюючи статистичну обробку отриманих значень k (x) , для кожного значення аргументу xi можна знайти функцію густини ймовірності (xi ) , яка, згідно з правилами нормування, повинна задовольняти рівність:

- 53 -

 

(xi ) d 1

 

 

(88)

 

 

 

Зміст функції густини ймовірності полягає ось у чому: при

заданому

аргументі xi

значення функції знаходиться в інтервалі

(x) із ймовірністю, що дорівнює одиниці, а в інтервалі від

(xi ) до (xi ) d i - із ймовірністю (xi ) d i .

Для випадкової функції (x)

характерне середнє значення

математичного очікування (xi )

та

дисперсія

D[(xi )] ,

що

визначаться згідно з формулами:

 

 

 

 

 

(xi ) d i ,

 

 

 

 

(xi ) (xi )

 

 

 

(89)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D[(xi )] 2 (xi ) [(xi ) (xi ) ]2 (xi ) d i .

(90)

 

 

 

 

 

 

Знайдені в такий спосіб середнє значення та дисперсія в усіх

точках аргументу x

дадуть значення

функцій

(xi )

та

D[(xi )] 2 (xi ) і будуть характеризувати їх виміри вздовж осі x .

Введені величини ще називаються моментами першого та другого порядків.

Для характеристики випадкової величини виявляється недостатнім знання вказаних моментів і доводиться вводити моменти більш високих порядків.

Наприклад, при дослідженні динаміки систем необхідно знати не тільки самі значення (xi ) та 2 (xi ) у кожній точці на осі x , а й як швидко змінюється випадкова функція (x) уздовж цієї осі.

Швидкість зміни випадкової функції (x) можна оцінити, якщо

буде знайдений середньостатистичний зв’язок між значеннями цієї функції у двох точках аргументу.

Кількісну міру, що характеризує середньостатистичний зв’язок між значеннями (xi ) та (xk ) випадкової функції (x) у точках xi

- 54 -

та xk , що рознесені на інтервал x xk xi , прийнято визначати автокореляційною функцією

K (xi , xk ) (xi ) (xk )

 

 

 

 

(91)

(xi ) (xk ) (xi ),(xk ), xi , xk d i d k ,

 

 

 

 

 

 

де (xi ), (xk ), xi , xk -

двовимірна густина ймовірності, яка

показує, що, якщо в точці xi

випадкова величина (x) має значення в

інтервалі від

(xi ) до (xi ) d i ,

то в точці xk

її значення буде

знаходитись

в інтервалі від

(xk )

до (xk ) d k

із ймовірністю

(xi ), (xk ), xi , xk d i d k .

 

 

Процеси, що швидко та повільно змінюються, ілюструються графіком на рис. 22.

Рис. 22. Графіки реалізацій швидко та повільно змінних випадкових процесів (1 - повільно змінний процес, 2 - швидко змінний процес)

При швидко змінних процесах імовірність правильного визначення випадкової величини в точці xk , яка знаходиться на

інтервалі x від точки xi , в якій відомі значення функції (xi ) , практично дорівнює нулю.

- 55 -

У залежності від характеру

зміни

вздовж

x

уведених

середньостатистичних характеристик

(x ) ,

2

(x ) ,

K (x , x )

 

i

 

 

 

i

 

i k

випадкові процеси поділяються на стаціонарні та нестаціонарні.

Стаціонарний випадковий процес буде у тому випадку, коли вигляд густини ймовірності та моментів будь-якого порядку не залежить від початку відліку на осі аргументу.

Із даного вище визначення для стаціонарного процесу маємо:

а) одновимірна густина ймовірності одна й та ж для будь-якого значення xi та не залежить від самого аргументу, тобто залежить

тільки від самого значення сигналу:

 

(xi ) (xk )

( ).

(92)

б) двовимірна густина ймовірності повинна залежати тільки від

значення функції (x)

та інтервалу xk xi

вздовж значення осі

аргументу x :

 

 

(xi ), (xk ), xi , xk

(x), (x ), .

(93)

На основі (92) та (93) отримаємо:

 

 

 

 

(x) (x) ()d , для всіх х

(94)

 

 

 

 

 

 

D (x) 2 (x) [ (x) ]2 ( )d

 

 

 

(95)

[ 2 (x) 2 (x) 2 ] ( )d 2 2 2 .

K (xi , xk ) (x) (x ) (x), (x ), d (x)d (x ) K ( ). (96)

Із (96) випливає, що для стаціонарних процесів АКФ залежить тільки від інтервалу .

Для стаціонарних випадкових процесів характерна ергодичність. Вона полягає в тому, що для стаціонарних процесів середні значення, які отримані по набору випадкових реалізацій, дорівнюють середнім значенням, одержаним у результаті однієї реалізації функції (x)

достатньо великої протяжності (тобто усереднення функції (x) ).

- 56 -

Для математичного очікування (x) та АКФ K ( )

стаціонарного випадковавого процесу, відповідно до властивостей ергодичності, отримаємо:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

X

 

 

 

(x)

(x) ()d lim

 

(x)d .

(97)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X 2X

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

X

 

 

 

 

 

 

 

 

K

 

( ) lim

 

 

 

(x) (x )dx.

 

 

 

 

(98)

 

 

2X

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

Враховуючи,

 

 

що

(98)

можна

 

записати

у

вигляді

 

 

 

1

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K ( ) lim

 

 

 

(x) (x )dx , АКФ

приблизно

обчислюється,

 

 

 

 

X 2X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

розбивши інтервал 0 X на п частин із кроком X

X

, вважаючи,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

що x m ,

 

m -

кількість

відрізків x , що вкладаються на

інтервалі кореляції, та замінивши інтеграл сумою значень, що відповідають величинам на відрізках розбиття:

 

 

 

 

1

imax ( x ) / n

 

 

K ( )

 

(xi

) (xi

) x

 

 

x

 

 

 

i 1

 

(99)

 

 

 

 

 

 

 

1

n m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(xi ) (xi ).

 

 

 

 

 

 

n m

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

Зазвичай

підбирають так, щоб воно дорівнювало цілому числу

та, як правило, вважають таким, що дорівнює x , тобто т=1 .

1.4.2. Властивості кореляційної функції

АКФ (у теорії оптичних пристроїв її називають для спрощення кореляційною функцією)

Кореляційна функція K ( ) одновимірного випадкового

стаціонарного процесу володіє рядом важливих властивостей, які широко використовуються в практичних розрахунках. До таких властивостей належать:

1. Автокореляційна функція є парною:

K ( ) K ( ) .

(100)

 

- 57 -

Властивість парності випливає із спектрального представлення кореляційної функції (див. (66)), а також із визначення (98), де усереднення проводиться по нескінченно великому інтервалу шкали х, а тому не повинна простежуватись залежність від в той чи інший

бік від довільного початку координат.

 

2. Значення

АКФ при

=0 дорівнює середній квадратичній

величині випадкової функції:

 

 

K

 

( ) K

 

(0) 2 (x)

(101)

 

 

 

 

 

 

 

 

Властивість випливає з (98).

 

3.

 

При

АКФ

набирає значення

квадрата середньої

величини випадкової функції:

 

 

K ( )

 

K ( ) ( (x) )2 .

(102)

 

 

 

 

 

 

 

Властивість

випливає із

(98). Позначимо

(x) (x) ,

(x ) (x ) . Тоді:

K

 

( ) lim

1

 

 

 

2 X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

X

 

 

 

lim

[

2 X

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 lim

1

 

2 X

 

 

 

 

 

X

[ (x)][ (x )]dx

X

2 (x ) (x) (x) (x )]dx

X

(x) (x )dx.

X

 

 

(x) (x)

-

випадкова величина, що характеризує

відхилення (x) від середнього значення.

 

 

 

 

 

 

1

X

 

 

1

X

 

 

 

 

lim

(x)dx 0 ;

lim

(x )dx 0 ;

 

 

 

2X

2X

 

 

 

 

 

X

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

(x) (x )dx 0

при

.

Оскільки

при

 

2X

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нескінченності величини

(x) та

(x ) не

скорельовані

й, за

- 58 -

 

 

 

2X

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

аналогією

аналогією

lim

1

 

(x) (x )dx K

 

( ) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

K ( ) (

2 ) 0 .

 

 

 

 

 

 

4. Із ростом кореляційна функція зменшується, допускається

осциляція. Зменшення її пов’язано з послабленням статистичного зв’язку функцій (x) і (x ) . Саме тому K (0) K ( ) 0 .

Типовий хід кореляційної функції наведено на рис. 23.

Рис. 23. Типовий хід кореляційної функції

Отримані результати свідчать про те, що кореляційна функції є універсальною характеристикою стаціонарного випадкового процесу та дозволяє визначити всі його числові параметри:

-математичне очікування

(x) [K ( )]1/ 2 ;

-середньоквадратичне відхилення

2 (x) K (0);

-дисперсію

D[ (x)] 2

K

(0) K ( ).

 

 

 

- 59 -

1.4.3. Спектральне представлення А.К.Ф. Спектр потужності.

До випадкової функції (x)

 

 

також

 

можна

застосувати

перетворення Фур’є. Враховуючи, що

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 exp(i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x) (x )dx

 

 

 

 

 

F (i

x

)

 

 

x

)d

x

 

 

 

 

(див. 66)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

автокореляційна функція K ( ) можна представити так

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

 

( ) lim

 

 

 

(x) (x )dX

 

S(

 

) exp(i

)d

. (106)

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

X

2X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (i x )

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S(

x

) lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

(x) exp(i

x

x)dx

 

.

(107)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

2X

 

 

 

 

 

X 2X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функція S(x )

- спектральна густина потужності стаціонарного

випадкового процесу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Із властивостей автокореляційної функції, а також безпосередньо з

(66) випливає, що S(x ) буде

 

парною,

дійсною

та

 

 

додатною

функцією.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тому для стаціонарного випадкового процесу дійсна пара

спряжених Фур’є-перетворень:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S (x ) K ( ) exp(i x )d ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(108)

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K ( )

1

 

 

 

( ) exp(i )d .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4.4. Проходження випадкових сигналів через лінійні системи

Припустимо, що на вхід лінійної системи із функцією ваги (x) подається часткова реалізація випадкового сигналу із функцією g(x) .

Тоді вихідний сигнал також буде випадковим і визначатиметься інтегралом згортки:

- 60 -

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]