Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

FOKOEP_-_CHastina_1

.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
23.02.2016
Размер:
1.88 Mб
Скачать

У спектрометрі зі зменшенням ширини щілини збільшується шум (зменшується співвідношення сигнал-шум). Кількість спектральної інформації (кількість зареєстрованих спектрів) визначається виразом

1

R( )

 

2 1

 

H

d

. Для збільшення значення Н необхідно

 

 

1

 

 

 

 

 

 

зменшення величини , що пов’язано зі збільшенням шумів. Слід відмітити, що значення не може бути нескінченно малим.

Відповідь на поставлене питання може бути отримана, якщо скористатись методом дискретизації заданого інтервалу, що ґрунтується на використанні теореми Котєльнікова. Відомо, що функція g(x) , задана на інтервалі x , спектр Фур’є якої

G(i2f x ) не містить частот, більших ніж f xm , повністю визначається

послідовністю значень g(xk ) g(k / 2 f xm ) g(k x) у

точках,

рознесених одна від одної на відстань x 1/ 2 fxm (див. рис.

27).

Рис. 27. Представлення функції окремими вибірками

Сама неперервна функція g(x) (являє собою часткову реалізацію стаціонарного випадкового процесу) визначається у всіх точках х, у тому числі і в середині інтервалу x нескінченним рядом:

- 81 -

k

 

 

 

 

g(x) g(k x)Sa 2f xm (x k x) ,

 

(164)

k

sin 2f xm (x k x)

 

 

де Sa 2f xm (x k x)

- функція відліків.

 

2f xm (x k x)

 

 

 

 

 

При обмеженні функції заданим інтервалом спектр відновлюється

наближено та навпаки.

 

 

 

 

Коли функція g(x)

задана на кінцевому інтервалі 0 X

і має

спектр Фур’є, практично обмежений верхньою частотою fxm ,

то її

значення на цьому інтервалі визначається кінцевим рядом і кількістю

членів m

X

1 n 1, ( n 2 f

 

X )

 

 

xm

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

g(x) g(k x)Sa 2f xm (x k x) .

(165)

k 0

Рис. 28. Наближений вибір максимальної частоти fxm і вибірки функції g(x)

Умова практичного вибору частоти полягає в нехтуванні «енергією» спектра за межами частоти fxm у порівнянні зі значенням всієї енергії, що задається формулою Парсеваля. В цьому випадку,

- 82 -

коли функція g(x) характеризує випадковий стаціонарний процес із відомою автокореляційною функцією K g ( ) , то максимальна частота

fxm для її розкладу рядом Котєльнікова вибирається за спектром потужності Sg (2f xm ) .

Нехай в кожній точці відліку на інтервалі 0 X густина розподілу ймовірності функції g(x) дорівнює g(x) , а кореляція між

значеннями g(xk ) та g(xi ) на осі х інтервалу X xk xk

відсутня.

Тоді у кожній точці відліку ентропія визначиться виразом:

 

 

 

I (xk ) H (xk ) (g(xk ))log2 g (xk ) (g(xk )) dgk ,

(166)

а самих відліків буде N (2 f xm X 1) .

Оскільки відліки статистично незалежні, то можна використати формулу (163).

Кількість інформації, яка міститься у всій сукупності відліків визначається сумою:

n

g (xk ) (g(xk )) dgk ,

 

I H (g(xk ))log 2

(167)

k 0

n 2 f xm X .

Так само відліки можна вважати незалежними параметрами (див.

(163)).

 

 

 

 

 

 

Якщо мати на увазі, що випадковий параметр

g(x) характеризує

стаціонарний

випадковий

процес,

то

густина

ймовірності

g(xk )

g(xi ) g

однакова

у

всіх

точках.

Тоді при

відсутності статистчного зв’язку між відліками значення буде таким:

 

g (g) dg.

 

I H (2 f xm X 1) (g) log 2

(168)

 

 

 

Відліки можна вважати статистично незалежними на

відстані

X 1/ 2 f xm .

Визначимо кількість інформації, коли густина ймовірності (g) описується нормальним законом:

- 83 -

(g)

 

1

 

 

exp(

g 2

 

) .

 

 

 

 

2

2

2

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

Згідно з (156) з (168), отримаємо:

I H (2 f xm X 1)H1 log 2 (2he)1/ 2

 

g

 

 

 

(2 f xm X 1),

(169)

g2

 

 

 

 

 

 

 

log 2

 

1/ 2 g

 

де H1

(2he)

 

 

- ентропія в одній точці відліку вздовж

 

g2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

координати х.

Представлення неперевних процесів у вигляді дискретних розподілів дозволило Шенону отримати формулу, що визначає максимальну корисну інформацію, яка міститься у суміші корисного сигналу та завади, кожна компонента з яких є нормальним білим шумом:

I Hс.ш. Нш .

(170)

1.5.4. Білий шум (поняття та умови)

При дослідженні сигналів на фоні завад, що практично має місце при будь-якому експерименті, часто доводиться користуватись

поняттям білого шуму. Нехай gш (x) g(x) випадковий сигнал, що

асоціюється з шумом (рис. 29). Тоді вважаючи його стаціонарним, введемо статистичні характеристики:

 

 

 

g 2 - дисперсія;

g2 (g g )2 (g)dg g 2

 

 

 

 

K ( )

0

K(0) g 2 - потужність сигналу;

 

 

 

 

 

 

 

g 2 S( f x )df x 2 S( f x )df x ,

 

 

 

0

 

S( fx ) - спектр потужності сигналу;

 

 

 

S( f x )

K ( ) exp(2if x )d .

 

- 84 -

Смисл спектра потужності:

 

 

 

g 2

 

 

 

 

 

S( f

 

) lim

fx f x

, або dg 2

S( f

 

)df

 

. Фактично

x

 

x

x

 

fx

f x

dfx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S( fx ) являє собою добуток миттєвого значення квадрата сигналу з наступним усередненням на інтервалі f x , де спектральна густина потужності S( fx ) залишається постійною. Таким чином, уведення

спектра потужності відбувається на основі дискретизації інформації по шкалі частот.

У пристрої дискретизація по частоті здійснюється завжди за рахунок кінцевого значення реальної роздільної здатності (наприклад, спектральної).

Як правило, шум характеризується сигналом, в якому відсутня постійна складова g 2 .

Рис. 29. Шумовий сигнал із g 0

Це досягається за рахунок подання опорної напруги, підключення входу підсилювача через ємність або шляхом зміщення системи

координат при відрахунку сигналу. Коли g 0 , значення дисперсії

- 85 -

виявляється

максимальним

 

та

2 g 2

. Спектр

потужності при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

цьому зображається так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g2 f

 

dg 2

 

 

 

 

 

S( f

 

)

x

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

x

df x

df x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а величина

2

S( f

x

)df

x

характеризує середню потужність, що

 

 

 

g f x

 

 

 

 

 

 

 

 

несе інформацію

в

інтервалі

частот

dfx , де

величина S( fx )

залишається постійною. Частіше за все густина ймовірності шуму описується нормальним законом:

(g)

 

1

 

 

exp(

g 2

 

) .

 

 

 

 

2

2

2

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

Рис. 30. Нормальний розподіл шумового сигналу, коли g 0

Підкреслимо, що нормальний закон може бути застосовний як для центрально симетричних і до несиметричних подій. Для центрально

симетричних подій g 0 .

Якщо SШ ( f x ) - спектральна густина шуму, то вся потужність

шуму:

ш2 2 S( f x )df x .

0

Введемо нормування спектра шуму:

- 86 -

 

S( f

x

) S( f * )s( f

x

) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

де

S( f * )

- значення спектральної густини для фіксованого значення

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f *

,

 

 

s( f

x

)

 

-

відносний

 

спектр.

Тоді

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ш2

2S( f x* ) s( f x )df x 2S( f x* ) f x та

f x

s( f x )df x

являє

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

собою ефективну смугу частот шуму. Випадковий сигнал зі

спектральною густиною S( f x ) у смузі частот

f x

0 f xm

 

 

S( f * )

 

2

 

 

еквівалентний білому шуму зі спектральною густиною

 

ш

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2f x

 

 

 

 

 

 

 

(рис. 31).

Рис. 31. Спектр шуму та його представлення білим шумом

Проходження шумового сигналу через елемент ОЕС характеризується шумовою смугою пропускання. Обчислимо її значення. Потужність шуму на виході можна визначити, використовуючи амплітудочастотно фазову передаточну функцію

W (if x ) , записавши

Sш.вих W (if x ) 2 Sш ( fx ).

При цьому дисперсія шуму на виході така:

- 87 -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ш2

.вих

2 Sвих ( f x )df x

2

W (if x )

2 Sш ( f x* )s( f x )df x

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

(171)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2Sш ( f x* )

 

W

 

2 s( f x )df x

2Sш ( f x* ) f хп ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 s( f x )df x

 

 

 

 

де f хп

 

W (if x )

- ефектина частотна смуга пропускання

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

шуму.

Такий шум для приймальної системи в частотному діапазоні fхп

еквівалентний білому шуму. Для білого шуму з s( fx ) =1 шумова смуга пропускання буде:

f хп біл W (if x ) 2 df x .

0

Шум для даної системи сможна вважати білим, якщо його ефективна шумова полоса f х f хn

1.5.5. Розрахунок інформаційного змісту сигналу на фоні випадкових завад

Нехай маємо адитивну суміш випадкового сигналу g(x) і завади gш (x) , кожна з яких представляється нормальним законом розподілу. В літературі часто використовується таке поняття, як «нормальний

білий шум». Значення їх

дисперсії буде відповідно 2

та 2 на всій

 

c

ш

протяжності осі х - [ 0 X ] в межах кожного відліку. Кількість таких

відліків N 2 f xm X 1,

fxm - максимальна частота

у спектрі, що

визначає крок X

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 f xm .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для всієї сукупності точок відліків N, згідно з (169), будемо мати:

H

с.ш.

(2 f

xm

X 1) log

2

2e( 2

2 ) 1/ 2 /

g

,

 

 

 

 

 

 

 

с

ш

 

 

.

H

ш.

(2 f

xm

X 1) log

2

2e 2 1/ 2

/

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ш

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 88 -

 

 

 

 

 

Максимальна корисна інформація

I Hс.ш. Hш.

після

відповідних перетворень визначається так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

I (2 f

 

X 1)

1

log

 

1

c

.

 

 

 

(171а)

xm

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ш

 

 

 

 

 

 

 

Враховуючи,

що

 

кількість

відліків в

експерименті

велика

( 2 f xm X 1 ), отримуємо:

 

 

 

 

 

 

 

 

I f

 

 

X log

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xm

 

1

 

 

c

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ш

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Відношення

 

c

 

 

при однаковій кількості відліків N сигналу та

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ш

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

P

шуму дорівнює відношенню потужності сигналу та завади

 

c

c

.

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ш

 

ш

Отже,

максимальна

 

кількість

інформації

в заданому

інтервалі

0 X суміші корисного сигналу та завади визначається рівністю:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I f

 

 

X log

1

 

 

c

 

.

 

 

 

 

 

 

(172)

xm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pш

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад: Якщо розгляданий процес є функцією часу та триває

впродовж інтервалу

0 T , а

f xm m , являє собою верхню частоту

функції g(t) чи верхню частоту фільтра, то кількість максимально

можливої переданої інформації канала зв’язку, що передана без суттєвих викревлень, буде така:

 

 

 

 

 

 

P

 

I T

 

log

 

1

 

c

.

m

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pш

У відповідності до (172), введемо поняття густини інформації, що припадає на одиницю довжини координати х:

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

I

 

f

 

log

 

1

 

c

.

(173)

1

xm

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pш

 

Вираз (173) можна записати через спектральні густини сигналу та шуму, використовуючи дискретизацію інформації за шкалою частот:

- 89 -

 

 

 

 

 

P

 

 

fxm

 

 

 

c fxm

 

I1 fxm

log

2 1

 

.

 

 

 

 

 

Pш fxm

Тоді

густина інформації

I1 визначиться сумою I1 I1 fxm і

після переходу від інтеграла до суми отримаємо:

fxm

I1

0

log 1

2

 

S

c

( f

x

)

 

 

 

 

 

 

 

df

.

(174)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

Sш ( fx )

 

 

 

Вираз (174) визначає густину інформації на одиниці довжини осі х, що лежить в інтервалі частот fxm fx fxm , коли спектральні

густина сигналу та шуму мають довільну форму.

Розрахуємо кількість інформації (ентропію) для випадкового сигналу g(x) із нормальним законом густини ймовірності, що

припадає на один степінь вільності (один відлік) у спектральному представленні.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

Згідно з (169) величина I

 

log

 

 

2e

g

 

являє собою середнє

 

 

 

 

0

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

значення інформації на один відлік. Дискретизуючи цю величину по інтервалу частот f x та розділивши ще на кількість інтервалів спектра

 

f xm

, отримаємо середнє

 

значення інформації одного відліку в

 

 

 

 

f x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

спектральному інтервалі f

 

:

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

f xm

 

 

 

I

 

 

log

2e

g f

 

/

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 f

 

2

 

 

2

 

 

 

f x

 

 

 

 

 

 

 

g f

 

 

 

Переходячи від суми до інтегралу, отримаємо:

 

 

1

fxm

 

1

fxm

 

 

 

2

 

I0 H0

 

 

I0 f df

 

 

 

 

2e

 

g f

 

 

 

log

 

2

df x .

 

 

f xm 0

 

2 f xm 0

 

 

g f

 

де 2

2S

g

( f

x

) f

x

- середня потужність процесу g(x) ,

що несе

g f

 

 

 

 

 

 

інформацію

в

інтервалі частот f x ,

в межах якого

значення

спектральної густини потужності Sg ( fx )

залишається постійною.

 

 

 

 

 

 

 

- 90 -

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]