2.7.2. Модуль комплексного числа.

Модулем комплексного числа , деназивається числотобто.

Властивості:

1. Якщо , де то

Доведення цієї властивості випливає з означення модуля комплексного числа.

Таким чином, поняття модуля комплексного числа є розвитком і узагальненням поняття модуля дійсного числа.

2. Модуль комплексного числа дорівнює модулю протилежного і спряженого цього числа чисел.

Доведення. Розглянемо комплексне число , де , а також протилежне і спряженейому числа. Знайдемо їх модулі:

Властивість доведено.

3. Число дорівнює модулю (довжині) вектора, тобто.

Наприклад:

1. Знайдіть . Так як 5 – дійсне число, то з властивості 1 отримуємо

2. Знайдіть . Запишемо числоі в алгебраїчній формі - . Тоді з означення модуля комплексного числа, отримаємо:.

3. Знайдіть . Це число представлене в алгебраїчній формі. З означення модуля комплексного числа отримаємо:.

4. Покажіть на комплексній площині всі комплексні числа з модулем, рівним . Всі комплексні числа з модулемзображуються точками комплексної площини, які є кінцями радіус – векторів довжини. Множиною таких точок є коло з центром у початку координат і радіусу(мал.10)

мал.10

Не порушуючи спільності міркувань, можна зробити наступний висновок.

Зображення множини комплексних чисел з модулем на комплексній площині є коло з центром на початку координат і радіусом.

Доказ цього твердження полягає в послідовному застосуванні визначення модуля комплексного числа і визначення кола з центром на початку координат і радіусом .

Наприклад:

1. Зобразіть на комплексній площині всі комплексні числа з модулем, меншим або рівним 2.

Всі комплексні числа з модулем, меншим або рівним 2, зображуються точками комплексної площині, які є кінцями радіус-векторів довжини, менше рівної 2. Безліч таких точок є коло з центром на початку координат і радіусом 2. (мал.11)

мал.11

2. Зобразіть на комплексній площині всі комплексні числа, що задовольняють умові:

У цьому завданні розглядаються всі точки площини, крім точок, розташованих між концентричними колами і на меншому колі. Центри кіл - початок координат, радіуси рівні 2 і 4. (мал.12)

мал.12

3. Аргумент комплексного числа

Радіус – вектор точки комплексної площини задається двома числами:-довжина (модуль) вектора, - кут між вектором і додатним направленням вісіОх.

Якщо - аргумент комплексного числа, то будь – яке число виду, де, також є аргументом даного числа. Вірно і зворотне твердження: якщо числоє аргументом даного комплексного числа, то воно можна подати у вигляді, де- деяке ціле число. Обидва твердження очевидним чином випливають з властивостей періодичності тригонометричних функцій.

Два ненульових комплексних числа рівні тоді і тільки тоді, коли їх модулі рівні, а аргументи відрізняються на , де.

Наприклад:

1. Зобразіть на комплексній площині всі комплексні числа з аргументом

Усі комплексні числа з аргументом зображуються точками комплексної площини, які є кінцями ненульових радіус – векторів, утворюють з додатним направленням вісі абсцис кутМножиною таких точок являється промінь, який утворює з додатним направленням вісі абсцис кутЗауважимо, що при цьому мається на увазі промінь без початкової точки (мал.13).

мал.13

2. Зобразіть на комплексній площині всі комплексні числа з аргументом

Всі комплексні числа з аргументом зображуються точками комплексної площини, які є кінцями ненульових радіус – векторів, утворюють з додатним направленням вісі абсцис кут. Множиною таких точок являється промінь, який утворює з додатним направленням вісі абсцис кут. (мал.14)

мал.14

3. Зобразіть на комплексній площині всі комплексні числа з аргументами такими, що

Всі комплексні числа з вказаними аргументами зображується точками комплексної площини, розташованими нижче промінів і. Цей кут без однієї з сторін та вершини (мал.15) .

мал.15

3. Тригонометрична форма комплексного числа.

Розглянемо на комплексній площині числа з модулем 1. Зображенням множини таких чисел являється коло з центром у початку координат та радіусом 1 (мал.16).

мал. 16

Нехай т.- точка перетину кола з позитивним напрямом осі абсцис. Розглянемо точкуР кола, що зображує деякий комплексне число . ТочкаР є образом точки при повороті з центромО на кут , причому кут визначений з точністю доТоді абсцисах точки Р дорівнює , а ординатау дорівнює . Тому комплексне числозадається формулою

Зараз розглянемо довільне, відмінне від нуля, комплексне число з модулем,. Тоді- комплексне число, модуль якого дорівнює 1. Тому існує числотаке, щотобто

Запис приназивається тригонометричною формою комплексного числа.

Числа іназиваютьсямодулем і аргументом комплексного числа . Для модуля та аргументу використовуються також позначення:Зазвичай вибирають значення, визначене нерівністю.

28