- •І.Вступ
- •Історичні відомості
- •Іі. Теоретична частина
- •2.1 Особливості формування і засвоєння основних понять теорії комплексних чисел.
- •Основні поняття теорії комплексних чисел:
- •2.2. Поняття розширення числа.
- •2.3. Розширення множини дійсних чисел. Поняття комплексного числа.
- •2.4 Дії над комплексними числами в алгебраїчній формі
- •2.4.1. Додавання комплексних чисел.
- •2.4.2. Віднімання комплексних чисел.
- •2.4.3. Множення комплексних чисел.
- •2.4.4. Ділення комплексних чисел.
- •2.4.5. Піднесення до степеня уявної одиниці.
- •2.4.6. Квадратний корінь з комплексного числа.
- •2.4.7. Властивості спряжених комплексних чисел.
- •2.5 Теорія комплексних чисел як упорядкованих пар дійсних чисел.
- •2.6 Геометрична інтерпретація комплексних чисел.
- •2.6.1. Зображення комплексних чисел точками на площині
- •2.6.2. Векторна інтерпретація операцій з комплексними числами
- •2.7. Тригонометрична форма комплексного числа. Модуль і аргумент комплексного числа
- •2.7.1. Полярні координати точки і її радіус-вектора
- •2.7.2. Модуль комплексного числа.
2.4 Дії над комплексними числами в алгебраїчній формі
2.4.1. Додавання комплексних чисел.
Сумою двох або кількох комплексних чисел називається комплексне число, дійсна частина якого дорівнює сумі дійсних частин доданків, а коефіцієнт уявної частини дорівнює сумі коефіцієнтів уявних частин доданків.
Наприклад:
В області дійсних чисел є число "нуль", додавання якого до будь – якого іншого дійсного числа не змінює його.
В області комплексних чисел аналогічну роль відіграє число . Справді, яким би не було комплексне число,.
З курсу математики ми знаємо, що сума двох дійсних чисел а і –а дорівнює нулю і вони називаються протилежними. Аналогічно з цим, комплексні числа ітакож називаються протилежними:
Наприклад: .
Додавання комплексних чисел підлягає асоціативному і комутативному законам:
комутативність: .
.
асоціативність .
2.4.2. Віднімання комплексних чисел.
Різницею комплексних чисел є комплексне число, дійсна частина якого дорівнює різниці дійсних частин зменшуваного і від’ємника, а коефіцієнт уявної частини дорівнює різниці коефіцієнтів уявних частин зменшуваного і від’ємника.
Наприклад: .
Тобто від кожного комплексного числа можна відняти будь – яке інше комплексне число. Віднімання – це дія обернена додавання. Можливість такого віднімання і його однозначність потребує доведення.
Доведення. а різницю цих чисел позначимо . Доведемо, що для будь – яких комплексних чиселірізницявизначена і притому однозначно.
Фактично нам потрібно довести, що існує, і при тому тільки єдине, комплексне число , яке в сумі здає:
(3)
За означенням суми комплексних чисел:
.
Тому рівняння (3) можна переписати у вигляді
Два комплексних числа рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх дійсні частини і коефіцієнти при уявних частинах. Тому
Ця система рівнянь завжди має розв’язок і притому єдиний:
Таким чином, існує і при тому єдина пара дійсних чисел (х;у), що задовольняє рівняння (3). Отже, ми довели, що
Щоб від одного комплексного числа відняти друге, досить це віднімання виконати окремо для дійсних частин цих чисел і коефіцієнтів при уявних частинах.
Наприклад:
2.4.3. Множення комплексних чисел.
Два комплексних числа перемножуються за допомогою правил множення многочленів в алгебрі, слід тільки пам’ятати, що Таким чином
Але томуі отже,(4)
Цю формулу (4) й покладено в основу означення добутку двох комплексних чисел.
Добутком двох комплексних чисел іназивається таке комплексне число:
Наприклад:
Висновок: .
Властивості множення комплексних чисел:
комутативність
асоціативність
2.4.4. Ділення комплексних чисел.
Часткою від ділення комплексного числа на комплексне числоназивається таке число, яке при множені надає.
Доведемо, що частка визначена і при чому однозначно для всіх комплексних чиселі, якщо.
Нам потрібно довести, що існує і при чому єдина пара дійсних чисел (х;у), що задовольняє рівнянню:
. (5)
По правилу множення комплексних чисел:
Тому рівняння (5) можна переписати у вигляді:
А з умови рівності двох комплексних чисел маємо:
Таким чином,
.
Ця формула має зміст, якщо . Отже ділення комплексних чисел можливе, якщо дільник не дорівнює нулю.
Легко перевірити, що правило ділення комплексних чисел можна одержати, якщо помножити ділене і дільник на число, спряжене з дільником:
Наприклад: