2.4.5. Піднесення до степеня уявної одиниці.

За означенням перша степінь числа і є саме число і.

і т.д. Очевидно, що при будь-якому натуральному числі :

Отже, щоб піднести до степеня число і з натуральним показником , потрібно показник степеня розділити на 4 і піднести до степеня, показник якого дорівнює залишку від ділення.

Наприклад:

2.4.6. Квадратний корінь з комплексного числа.

Число називається квадратним коренем із комплексного числа, якщо його квадрат дорівнює:

Квадратний корінь позначають .

Наприклад: .

Якщо раніше, розглядаючи квадратні рівняння з від’ємним дискримінантом, ми говорили, що такі рівняння не мають кореня, то тепер є. Квадратні рівняння з від’ємним дискримінантом мають комплексні корені. Ці корені дістаємо за відомими нам формулами.

Нехай, наприклад, дано рівняння:

тоді

Отже, дане рівняння має корені:

Ці корені є взаємно спряженими. Цікаво, що сума їх дорівнює -2, а добуток 5, так що справджується теорема Вієта.

Отже, ми можемо зробити висновок, що числа в області комплексних чисел також має місце теорема Вієта.

2.4.7. Властивості спряжених комплексних чисел.

Спряженими числами  називаються два комплексні числа, які мають таку саму дійсну частину та протилежні за знаком уявні частини. Наприклад, спряженими є числа 3 + 4i та 3 − 4i. Число спряжене до числа  позначається . У загальному випадку, спряженим до числа є

Властивості:

• 

• 

Наприклад:

.

2.5 Теорія комплексних чисел як упорядкованих пар дійсних чисел.

Розглянемо множину впорядкованих пар , деa і b – дійсні числа. Дві пари івважаться рівними, якщоі, і записують.

Сумою пар іназивають пару. Кажуть, що парудістали внаслідок додавання паріі записують.

Добутком пар іназивають пару. Кажуть, що парудістали внаслідок множення паріі записують.

Нульовою парою називають пару , яка задовольняє умову, де- довільна пара. З означення операції додавання і рівності пар, випливає, що пара- нульова.

Одиничною парою називають пару , яка задовольняє умову, де- довільна пара. З означення операції множення і рівності пар, випливає, що пара- одинична.

У множині впорядкованих пар операції додавання і множення пар мають обернені операції – віднімання і ділення. Різницю і частку пар іобчислюють відповідно за формулами:,

(для частки вважається, що пара - не нульова).

Ототожнюють пару вигляду з дійсним числома. Неважко перевірити, що при такому ототожнені сумою і добутком пар іє пари, які за прийнятою умовою ототожнюються з числамиівідповідно.

Аналогічно можна показати, що різниця і частка пар і- пари з нульовими другими елементами, тобто дійсні числа (для частки вважається, що).

Візьмемо тепер пару і за правилом множення пар помножимо її саму на себе:(6) в результаті множення дістали пару, яка відповідає дійсному числу -1. Ввівши для париспеціальне позначення, рівність (6) можна записати у виглядіабо.

Проста перевірка показує, що будь – яку пару дійсних чисел можна записати у виглядіабо за прийнятою умовою про ототожнення множини всіх парі множини всіх дійсних чисела і прийнятого позначення для пари , у вигляді. (7)

Введено операції додавання і множення впорядкованих пар дійсних чисел і показано, що будь – яке комплексне число можна записати у вигляді комбінації впорядкованих пар дійсних чисел (7).