Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
диплом.ч.docx
Скачиваний:
117
Добавлен:
22.02.2016
Размер:
1.32 Mб
Скачать

Іі. Теоретична частина

2.1 Особливості формування і засвоєння основних понять теорії комплексних чисел.

На сучасному етапі комплексні числа внесено до програми поглибленого вивчення математики учнями загальноосвітніх та програм курсів за вибором для профільного чи академічного рівнів. Тому постає питання про розгляд способів введення поняття комплексного числа та вибору з них найбільш доцільного.

Формування поняття числа – одне з найважливіших завдань методики і один з методологічних аспектів філософських проблем математики: розвитку математичного пізнання. На прикладі формування поняття числа можна простежити процес виникнення і розвитку наукових понять.

У процесі розвитку математичні знання старшокласників поповнюються такими новими поняттями, абстрактний характер яких значно підсилюється. При засвоєнні цих понять чуттєво-предметна діяльність учнів звужується до мінімуму, але при цьому однозначно зростає роль інтелектуальної діяльності.

Методика вивчення цих понять має базуватися на використанні історичних і конкретно-практичних даних про їх введення, а це дає змогу обґрунтувати питання зв’язку математики з практикою, що й показується наприкінці вивчення конкретної теми. При цьому потрібно звернути особливу увагу на розкриття логіко-математичних зв’язків нових абстракцій з уже відомими учням математичними поняттями.

Під час формування основних понять теорії комплексних чисел, які належать до понять високого рівня абстракції, важливі такі моменти:

  • цілеспрямоване формування головного образу певного поняття – образу, який має міцну опору в досвіді учня;

  • варіативність образу, яка включає: зміну "первинного образу" в процесі розкриття змісту поняття; використання різних форм представлення нового математичного поняття;

  • тісний взаємозв’язок з раніше вивченим за рахунок того, що первинний образ будується на попередньому знанні і його використанні в новій ситуації;

  • схематизація: використання різних форм подання математичних фактів створює можливості для виявлення зв’язків усередині цієї теми, зв’язків нових знань з попередніми; результатом виявлення цих зв’язків і структурування вивченого стає побудова схеми, що відображає суть поняття і фіксує її за допомогою знакових засобів. Ці засоби виступають у ролі опорного сигналу, який допомагає учням у подальшому "розгорнути" вивчене поняття, дію в повному обсязі;

  • розкриття можливостей застосування поняття під час розв’язування прикладних задач із міжпредметними та внутрішньо предметними зв’язками.

Основні поняття теорії комплексних чисел:

комплексне число, модуль комплексного числа, аргумент комплексного числа, алгебраїчна форма комплексного числа, тригонометрична форма комплексного числа, протилежні комплексні числа тощо.

Як відомо, багатьом основним поняттям теорії комплексних чисел взаємно – однозначно відповідає визначений геометричний образ. Це й історично стало поштовхом до виникнення різних підходів до побудови теорії комплексних чисел. Аналіз наукової і методичної літератури допоміг виявити існування різних підходів до введення поняття комплексного числа та виділити основні з них.

І спосіб. Комплексне число z вводиться як упорядкована пара (a;b) дійсних чисел. Множину таких упорядкованих пар позначають символом С. На цій множині визначається відношення рівності і дві бінарні алгебраїчні операції – додавання і множення – таким чином: тоді і тільки тоді, коли;;.

Показується, що алгебраїчна система утворює поле. Одиницею даного поля є пара(1;0), а нулем – пара (0;0). Далі розглядається рівність і отримують, що в поліС пара (0;1) є розв’язком рівняння

(1)

Позначивши отримують алгебраїчну форму запису комплексного числа(a;b): при чому

Потім доводиться, що поле С є мінімальним полем, яке містить поле дійсних чисел і в якому має розв’язок рівняння (1), а також, що таке поле єдине з точністю до ізоморфізму.

Далі пояснюється, що дії над комплексними числами в алгебраїчній формі виконується, як над многочленами, і чому саме вибрано на початку саме такі означення дій над комплексними числами.

Такий спосіб побудови комплексних чисел є певною мірою формальним та вказує на "тонкі" моменти теоретичного характеру.

ІІ спосіб. Встановлюються взаємно-однозначні відповідності між дійсними числами, точками координатної прямої і векторами, початок яких збігається з початком координат. При цьому додатному числу х ставлять у відповідність вектор, довжина якого х, а напрям збігається з напрямом координатної прямої, від’ємному числу х – вектор, модуль якого дорівнює х, а напрям – протилежний до напряму координатної прямої, тобто кут між напрямом вектора і напрямом координатної прямої дорівнює .(мал.1) Нулю відповідає нульовий вектор, модуль якого дорівнює нулю і якому не приписують ніякого напряму.

При такій (векторній) інтерпретації дійсних чисел дії додавання і віднімання між ними можна інтерпретувати як паралельне перенесення. Так, перетворення зсуває кожну точкух прямої на а одиниць право, якщо а додатне, і на а одиниць вліво, якщо а від’ємне. Таким чином, додаванню дійсних чисел відповідає додавання векторів і навпаки, тобто

Множення і ділення дійсних чисел подається як перетворення гомотетії відносно початку координат. При перетворенні , якщото маємо або розтяг вектораприабо стиск його приі якщото відповідно розтяг або стиск із зміною напряму (центральну симетрію відносно точки 0). При такій інтерпретації множення на число задає відображення множини дійсних чисел на себе.

Позначають один із коренів рівняння черезі, тоді за означенням кореня рівняння Відтак множення дійсного числа наі2, яке є рівносильним множенню на -1, можна тлумачити як двократне множення на і. Інакше кажучи, двократне множення дійсного числа на і означає поворот навколо початку координат на кут . Тому, правомірно вважати, що множення наі означає поворот навколо початку координат на кут .

Застосування множення на і одиничного вектора дає вектор, перпендикулярний до нього:Проведемо нову вісь координатТоді вектору(мал.1). Аналогічні міркування, коли довжина вектора відмінна від одиничної.

Таким чином, кожному вектору осівідповідає дійсне числоа, кожному вектору осі Оу – число . Тоді сумі векторіввідповідає число(мал.2).

Отже, між точками координатної площини, упорядкованими парами (a;b) дійсних чисел, які є координатами точок площини, векторами, початок яких збігається з початком координат, і виразами виду можна встановити взаємно – однозначну відповідність.

Оскільки іто.

Означення. Комплексним числом називається сума виду , деa i b – дійсні числа, 1 і і – одиниці, взяті відповідно на осях Ох і Оу.

Далі означається рівність комплексних чисел. Оскільки дві координатної площини збігаються тоді і тільки тоді, коли їх відповідні координати рівні, то правомірним є таке означення рівності комплексних чисел.

Означення. Комплексне число дорівнює комплексному числутоді і тільки тоді, коли рівні відповідні їх дійсні й уявні частини, або, що те саме, коли векторидеі. В іншому випадку комплексні числа називаються нерівними.

На користь цього методу можна навести такий аргумент: досить наочно проходять означення дій над комплексними числами, проте важко дається учням розуміння, як вектор на декартовій площині стає числом.

ІІІ спосіб. Поле комплексних чисел будують як просте алгебраїчне розширення поля дійсних чисел. Суть цього методу з наукового погляду полягає в такому. В алгебрі многочленів показують, що коли многочлен степенянезвідний над числовим полемР (тобто не має коренів у цьому полі), а – число, корінь цього многочлена, то кожен елемент b поля Р(а), утвореного в результаті приєднання елемента а до поля Р, можна однозначно подати у вигляді:

(2)

Нехай і розглянемо многочленякий не має дійсних коренів. Позначимо число, щ є розв’язком рівняннячерезі і назвемо його числом нової природи. Отримаємо, що просте алгебраїчне розширення і є полем комплексних чиселС. Справді, зі співвідношення (2) випливає, що кожен елемент з матиме вигляд, де

Для учнів усі ці викладки теорії не наводяться. З метою універсальності розв’язності квадратних рівнянь множину дійсних чисел розширюють за допомогою приєднання до неї числа і, для якого За цих умов многочлени першого степеня відносно уявної одиниціі, тобто вирази виду , дех і у – дійсні числа, називають комплексними числами. Даний підхід носить назву генетичного, оскільки базується на історичному розширенні поняття числа і потребах науки, які приводять до цього розширення.

На користь цього методу говорить те,що він досить доступний учням, за його допомогою скорочується обсяг теоретичних викладок (без втрати відомостей) і уможливлює швидше перейти від теорії до практики обчислень і застосувань. Зв'язок нових чисел із реальною дійсністю є таким моментом, який у рамках шкільного курсу не може бути повністю висвітленим, тому при вивченні основ теорії комплексних чисел доцільно це враховувати і не допускати до того, щоб у свідомості учнів цей розділ запам’ятався як формально-логічна гра, що не має ніякого відношення до реального світу.

IV спосіб. Розглядається множина С формальних виразів виду , десимволі – просто деякий знак, а символи "+" і позначають відповідно алгебраїчні операції додавання і множення в множиніС.

Означаються відношення рівності й алгебраїчні операції в С:

  1. тоді і тільки тоді, коли і;

  2. ;

  3. .

Алгебраїчну систему називають системою комплексних чисел, а її елементи – комплексними числами. З властивостей 1-3 безпосередньою перевіркою отримують комутативний, асоціативний і дистрибутивний закони додавання і множення, а також те, що символі є коренем незвідного над полем рівнянняСправді, з рівностіпримаємоТоді приотримуємо, щотобтоі є коренем рівняння Потім на основі введених операцій додавання і множення показується, що алгебраїчна системаС утворює поле, яке є розширенням поля дійсних чисел.

Позитивним моментом цього способу введення є строгий науковий підхід до викладу теорії, проте він може виявитися надто формальним і нецікавим для учнів середньої школи, що не сприятиме формуванню стійкого інтересу до математики.

Вищенаведені підходи відрізняються, але не суперечать один одному. В методичній літературі, зокрема підручниках, посібниках для середньої школи, найчастіше зустрічаються такі способи введення: перший та третій, які названі формальним та генетичним відповідно.

Нам ближче подання матеріалу теми генетично-геометричним способом, який ґрунтується на історичному розвитку поняття комплексного числа і на здоровому глузді та сприймається учнями природно і зрозуміло, не викликає у них психологічного протесту. Крім того, математичний розвиток старшокласників дає змогу розглядати внутрішні вимоги самої математики щодо виконуваності обернених операцій і універсальної розв’язності деяких найпростіших рівнянь як побічний вияв вимог практики. Введення операції не знаходить суперечностей і нагадує звичайні дії з дужками, що завжди подобається навіть несильним учням.

Саме цього способу я буду дотримуватися у своїй роботі.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]