2.6 Геометрична інтерпретація комплексних чисел.

2.6.1. Зображення комплексних чисел точками на площині

Розглянемо площину з введеною на ній прямокутною декартовою системою координат. Поставимо у відповідність кожному комплексному числу (х і у – дійсні числа) у відповідність точку координатної площини. Зауважимо, що встановлену відповідність між безліччю комплексних чисел і множиною точок координатної площини взаємно однозначно. Зауважимо також, що кожній точцікоординатної площини поставлений у відповідність радіус – вектор(мал.3), координати якого співпадають з координатами точкиZ.

мал.3

Площина, на якій зображуються у вигляді точок комплексні числа, називається комплексною площиною.

Будь-якому дійсному числу відповідає точка а будь-якому суто уявному числу відповідає точка. Тому всі дійсні числа зображуються точками осі абсцис, яка називаєтьсядійсною віссю, а все чисто уявні числа зображуються точками осі ординат, яка називається уявною віссю.

Наприклад:

1. Зобразіть на комплексній площині число .

Цьому числу відповідає точка комплексної площини з координатами (3;-2), мал.4.

мал.4

2. Зобразіть на комплексній площині всі комплексні числа z, для яких вірно рівність .

Це всі числа, які знаходяться на прямій, заданій наступною умовою х=-1, мал.5.

мал.5

2.6.2. Векторна інтерпретація операцій з комплексними числами

Проілюструємо операції додавання і віднімання комплексних чисел на комплексній площині.

Нехай дані комплексні числа і. Як відомо, їх сума теж комплексне число:Розглянемо відповідні числам,ірадіус – векториі Тоді . Нехай вектори,не колінеарні. Так як вони мають спільний початок – початок координат т.О, то їх суму – векторможна побудувати за допомогою правила паралелограма (мал.6). Кінець цього вектору – точка- зображення комплексного числа

мал.6

_{Розглянемо віднімання комплексних чисел} і. Вона дорівнює комплексному числу Розглянемо відповідні числам ,ірадіус – векториі Тоді . Векториімають спільний початок – початок координат т.О. Побудуємо їх різницю – вектор- і відкладемо його від початку координат (мал. 7). Кінець цього вектора – точкаZ – зображення числа

_{мал. 7}

2.7. Тригонометрична форма комплексного числа. Модуль і аргумент комплексного числа

2.7.1. Полярні координати точки і її радіус-вектора

Кожному комплексному числу може бути поставлена у співвідношення точкуна комплексній площині, а кожній точці – радіус – вектор.

Точку Z можна задати також іншою парою чисел - полярними координатами: - відстань від початку координат (т.О) та кутомміж променемOZ та додатним направленням вісі абсцис (мал. 8).

мал.8

Відповідно радіус – вектор точки Z задається тими ж числами, тобто , деr – довжина (модуль) вектора, - кут між вектором і віссю ОХ.

Для подальшого вивчення комплексних чисел нам необхідно згадати деякі властивості векторів:

1. Модуль (довжина) вектора дорівнює.

2. Кут між радіус-вектором і додатним напрямком осі абсцис - це кут повороту, при якому додатний напрям осі абсцис переходить в промінь, що задає напрямок даного вектора, при цьому початок променя є початок координат. Кут вважається додатним при повороті проти годинникової стрілки і від’ємним при повороті за годинниковою стрілкою.

Наприклад: В координатній площині задані вектори і(мал. 9). Знайдіть їх модулі (довжини). Які кути вони утворюють з додатним направленням вісі абсцис?

Так як ,, то,. Проміньє образом променяОх при повороті на кут, який дорівнює , а також при повороті на кут, абоі так далі.

мал. 9

Тому вірне твердження, що вектор утворює з додатним направленням вісі абсцис кут, де- будь – яке ціле число.

Аналогічним чином визначаємо, що вектор утворює з додатним направленням вісі абсцис кут, або, абоі так далі, тобто.

Відповідь: ,, де- будь – яке ціле число.

3. Нульовий вектор однозначно визначається модулем (довжиною), тобто кут між нульовим вектором і позитивний напрямом осі Ох не розглядається. Модуль нульового вектора дорівнює 0.

4. Нехай вектор у прямокутній декартовій системі координат має координатих і у та утворює з додатним направленням вісі абсцис кут . Тоді

.