2.2. Поняття розширення числа.

Одним з основних понять математики є поняття числа. Спочатку, в процесі рахування предметів, склалося поняття цілого додатного (натурального) числа – це поняття являється відображенням в свідомості людини кількісної сторони кінцевих зібрань (множин) предметів. Але вже найпростіші записи практики вчених, пов’язаних з вимірюваннями, привели до розширення поняття числа. Саме під впливом цих записів поступово склалося поняття додатного раціонального (дробового) числа і ірраціонального числа.

Але по іншому формувалося поняття від’ємного числа. Воно з’явилося під впливом внутрішніх потреб самої математики, в зв’язку з необхідністю зробити рівняння виду: розв’язуючим, навіть тоді, коли

Перші згадування про від’ємні числа і дії над ними зустрічаються у індійських математиків в VII ст. нашої ери. Їм також належить загальне теперішнє пояснення від’ємних і додатних чисел як арифметичних образів протилежно направлених величин. Саме це пояснення особливо сприяло тому, щоб поняття від’ємного числа стало рівноправним з поняттям додатного числа.

Кожне нове розширення поняття числа дозволяло розв’язувати такі задачі, які до цього були нерозв’язними. Так введення дробів дозволило виконати ділення двох чисел у всіх випадках, коли дільник не дорівнює нулю; введення від’ємних чисел дозволило проводити у всіх випадках віднімання; введення ірраціональних чисел дозволило виразити числом довжину відрізка, яка є несумірною з даною одиницею довжини.

Із курсу алгебри відомо, що числа цілі і дробові, як додатні так і від’ємні, і нуль називаються раціональними числами.

Нескінченні і періодичні десяткові дроби називаються ірраціональними числами.

Множина раціональних і ірраціональних чисел утворює множину дійсних чисел.

Поняття числа пройшло довгий шлях історичного розвитку. Однією з найпростіших числових множин є множина натуральних чисел: 1, 2, 3…. В ній завжди виконуються дві алгебраїчні дії: додавання і множення. Це означає, що, які б не були числа іїх сумаі добутокнеодмінно є натуральними числами. При чому справджуються такі п’ять законів:

1. комутативний закон додавання – ;

2. асоціативний закон додавання – ;

3. комутативний закон множення – ;

4. асоціативний закон множення – ;

5. дистрибутивний закон множення відносно додавання – .

Що ж до віднімання і ділення, то ці дві дії в множині натуральних чисел здійснюється не завжди. Так жодну з різниць або, або жодну з частокініяк не можна назвати натуральним числом.

Щоб віднімання завжди виконувалося, множину натуральних чисел потрібно було доповнити множину всіх від’ємних цілих чисел з нулем. В результаті такого доповнення або розширення ми переходимо до множини цілих чисел: .

Числова множина, в якій завжди здійснені операції додавання і множення, що підлягають вказаним вище п’ятьом законам, а також віднімання, називаються кільцем. Таким чином, множина всіх цілих чисел утворює кільце.

Розширивши множину всіх натуральних чисел, ми показали, з підручників, що дія віднімання може здійснюватися завжди. Але ділення так і залишилося невизначеним. Щоб усунути цю прогалину, треба розширити і множину цілих чисел. Зробити це можливо лише за допомогою приєднання множини звичайних дробів, тобто , деі- довільні цілі числа, і. В результаті такого розширення ми отримуємо множину раціональних чисел. В цій множині завжди виконуються усі чотири дії: додавання, віднімання, множення і ділення.

Множина чисел, в якій завжди здійснені дії додавання і множення, що підлягають п’ятьом основним законам, а також дії віднімання і ділення (крім ділення на нуль) називається полем. Множина раціональних чисел є найпростішим числовим полем.

Зауважимо, що множина ірраціональних чисел не є полем. Будь – яка з чотирьох дій над ірраціональними числами може привести до раціонального числа. Наприклад:

У множині дійсних чисел завжди можливі всі шість алгебраїчних операцій: додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня і добування кореня парного степеня з додатного числа.