2.4 Дії над комплексними числами в алгебраїчній формі

2.4.1. Додавання комплексних чисел.

Сумою двох або кількох комплексних чисел називається комплексне число, дійсна частина якого дорівнює сумі дійсних частин доданків, а коефіцієнт уявної частини дорівнює сумі коефіцієнтів уявних частин доданків.

Наприклад:

В області дійсних чисел є число "нуль", додавання якого до будь – якого іншого дійсного числа не змінює його.

В області комплексних чисел аналогічну роль відіграє число . Справді, яким би не було комплексне число,.

З курсу математики ми знаємо, що сума двох дійсних чисел а і –а дорівнює нулю і вони називаються протилежними. Аналогічно з цим, комплексні числа ітакож називаються протилежними:

Наприклад: .

Додавання комплексних чисел підлягає асоціативному і комутативному законам:

1. комутативність: .

.

2. асоціативність .

2.4.2. Віднімання комплексних чисел.

Різницею комплексних чисел є комплексне число, дійсна частина якого дорівнює різниці дійсних частин зменшуваного і від’ємника, а коефіцієнт уявної частини дорівнює різниці коефіцієнтів уявних частин зменшуваного і від’ємника.

Наприклад: .

Тобто від кожного комплексного числа можна відняти будь – яке інше комплексне число. Віднімання – це дія обернена додавання. Можливість такого віднімання і його однозначність потребує доведення.

Доведення. а різницю цих чисел позначимо . Доведемо, що для будь – яких комплексних чиселірізницявизначена і притому однозначно.

Фактично нам потрібно довести, що існує, і при тому тільки єдине, комплексне число , яке в сумі здає:

(3)

За означенням суми комплексних чисел:

.

Тому рівняння (3) можна переписати у вигляді

Два комплексних числа рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх дійсні частини і коефіцієнти при уявних частинах. Тому

Ця система рівнянь завжди має розв’язок і притому єдиний:

Таким чином, існує і при тому єдина пара дійсних чисел (х;у), що задовольняє рівняння (3). Отже, ми довели, що

Щоб від одного комплексного числа відняти друге, досить це віднімання виконати окремо для дійсних частин цих чисел і коефіцієнтів при уявних частинах.

Наприклад:

2.4.3. Множення комплексних чисел.

Два комплексних числа перемножуються за допомогою правил множення многочленів в алгебрі, слід тільки пам’ятати, що Таким чином

Але томуі отже,(4)

Цю формулу (4) й покладено в основу означення добутку двох комплексних чисел.

Добутком двох комплексних чисел іназивається таке комплексне число:

Наприклад:

Висновок: .

Властивості множення комплексних чисел:

1. комутативність

2. асоціативність

3. 

2.4.4. Ділення комплексних чисел.

Часткою від ділення комплексного числа на комплексне числоназивається таке число, яке при множені надає.

Доведемо, що частка визначена і при чому однозначно для всіх комплексних чиселі, якщо.

Нам потрібно довести, що існує і при чому єдина пара дійсних чисел (х;у), що задовольняє рівнянню:

. (5)

По правилу множення комплексних чисел:

Тому рівняння (5) можна переписати у вигляді:

А з умови рівності двох комплексних чисел маємо:

Таким чином,

.

Ця формула має зміст, якщо . Отже ділення комплексних чисел можливе, якщо дільник не дорівнює нулю.

Легко перевірити, що правило ділення комплексних чисел можна одержати, якщо помножити ділене і дільник на число, спряжене з дільником:

Наприклад: