- •Раздел II практическая реализация системы м. Монтессори
- •Глава 3
- •3.1. Общие методические рекомендации
- •3.2. Средства воспитания и обучения. «подготовленная среда»
- •4 Сорокова
- •Глава 4 содержание обучения в системе м. Монтессори: общая характеристика
- •4.1. Основные учебные разделы в системе монтессори
- •4.2. Значение упражнений по овладению навыками практической повседневной деятельности
- •4.3. Оборудование «практической зоны»
- •4.4. Значение сенсорного воспитания в системе монтессори
- •..... ______ *
- •4.5. Подготовка к изучению математики в системе м. Монтессори
- •4.6. Развитие элементарных математических представлений через различение, составление пар и сериацию
- •5 Сорокова
- •4.9. Характеристика содержания математического раздела в детском саду и школе монтессори
- •4.10. Развитие речи в системе монтессори
- •4.11. Трехступенчатый урок
5 Сорокова
129
риации) с последующей их модификацией и использованием их отдельных звеньев в дальнейших упражнениях с дидактическими материалами и в реальной жизни.
Так, например, существует множество способов завязывания бантов, в результате применения которых бант может по-разному располагаться, а узел его может выглядеть различным образом. Монтессори-педагог, зная разные способы, поначалу показывает каждому ребенку один и тот же, с тем чтобы детям было проще освоить его, а также чтобы другие дети могли показать учащемуся ребенку тот же способ. При этом он демонстрирует последовательные шаги, из которых состоит подобная деятельность. Свою роль играет также материал — рамки, а не какие-либо предметы одежды. С их помощью процессы развязывания—завязывания, расстегивания—застегивания и т.д. приобретают более отвлеченный характер: это уже, если так можно выразиться, «завязывание вообще» или «застегивание вообще», а не завязывание конкретного банта или застегивание данной пуговицы на данном платье или пальто.
Добавим, что уже на упражнениях в практической жизни происходит опосредованная подготовка к арифметическим операциям. Если ребенок насыпает крупу в несколько чашек, перекладывая поочередно по одной ложке в каждую чашку, затем еще по одной и т.д., он, по сути, осуществляет процесс деления. То же можно сказать о разливании воды в несколько сосудов одинакового объема. Когда крупу или воду из разных сосудов снова помещают в один сосуд, то совершаемые при этом действия можно интерпретировать как сложение или же, учитывая равенство количеств крупы или объемов жидкости, как умножение.
4.9. Характеристика содержания математического раздела в детском саду и школе монтессори
Математические материалы Монтессори предназначены для детей в возрасте от 4 до 12 лет. Изучение математики начинается со знакомства при помощи конкретного материала со счетом до 10, с цифрами 0—9 и числом 10. Особое внимание уделяется прояснению смысла нуля как символа, обозначающего отсутствие чего-либо, «ничего», «пустое место». Ребенок делает также ряд упражнений, опосредованно подготавливающих его к последующему усвоению понятий «четное» и «нечетное число» и выполнению операций сложения и вычитания, однако сами операции на этом этапе не вводятся.
Особый интерес, по нашему мнению, представляет собой дальнейший ход мысли автора. Именно он отражает одну из важнейших особенностей подхода Монтессори к обучению детей математике.
С первых шагов в обучении математике Монтессори стремится донести до ребенка ключевую концепцию десятичной системы счисления, «которая основана на переходе от одного десятка к другому, от девяти к десяти. После десяти мост рушится; начинается новый десяток» [97, S. 39]. Знания и умения, приобретенные ребенком в процессе работы с материалами первой группы, составляют необходимый инструментарий для дальнейшего исследования десятичной системы. Как полагает Монтессори, «последовательный счет интересен только тому, кто понял ведущий принцип групп десятичных разрядов» [97, S. 41].
Уже на материалах второй группы ребенок знакомится с количествами, представляющими единицы разных разрядов чисел: с отдельными золотыми бусинами-единицами; стержнями-десятками, на которых нанизано по 10 бусин-единиц; квадратами-сотнями, состоящими из 10 стержней-десятков; кубами-тысячами, образованными 10 квадратами-сотнями. Соответствующие им символы — сначала 1, 10, 100 и 1000, а затем и 20, 30, 90; 200, 300, 900 и 2000, 3000, 9000 (числа 2, 3, 9 ребенку уже известны) вводятся посредством набора карт. С их помощью осуществляется построение десятичной системы счисления, так что становится действительно очевидно, что каждый разряд содержит не более 9 единиц.
При последующем построении многозначных чисел преследуется цель продемонстрировать ребенку их общую структуру, посредством материала из золотых бусин показать, из единиц каких разрядов состоит число. При этом начинают непосредственно с четырехзначных чисел. Важно отметить, что на данной стадии ребенку не обязательно сразу же запоминать правильные названия чисел (обычно это происходит немного позднее в процессе работы с материалами третьей группы). Ему нужно прежде всего ясно понимать, сколько единиц каждого разряда содержит число, и уметь называть их. Так, например, число 5678 он может прочесть следующим образом: «Пять тысяч, шесть сотен, семь десятков, восемь единиц». Вот как комментирует данный материал Мария Монтессори: «Второе упражнение состоит в построении больших чисел. С этой целью предложено представить материал в такой форме, которая отражает идею десятичной системы, а не ассоциацию чисел с соответствующими предметами...» [97, S. 34].
Непосредственно после введения многозначных чисел переходят к четырем арифметическим действиям с ними: сложению, вычитанию, умножению и делению. Здесь снова ставится цель — показать общий алгоритм, раскрыть смысл этих операций, а поэтому, вообще говоря, не играет существенной роли, на примере каких чисел это происходит. Золотой материал позволяет представлять с помощью бусин числа, состоящие не более чем из четырех цифр, поэтому арифметические операции демонстрируют с использованием трех- или четырехзначных чисел, читать которые можно, как и прежде, называя разряды. Основное значение придается процессу, ходу действия, а не его результату.
Суть операции сложения состоит в образовании из нескольких «маленьких» множеств (множеств с меньшим количеством элементов) одного «большого» (множества с ббльшим количеством элементов). Действие вычитания выступает как процесс «отнятия» от «большого» множества «меньшего», т. е. разделения исходного множества на две, вообще говоря, неравные части. Операция умножения предстает как повторение, сложение нескольких равных множеств, а операция деления — как разделения исходного множества на несколько равных частей. «Операции состоят в том, чтобы сложить вместе равные или неравные количества, или от целого отнять некоторую его часть, или разделить его на равные части. Это операции. То что происходит внутри чисел, относится к десятичной системе, а не к операциям. А что же происходит тогда в десятичной системе? Это очень просто: собрание более десяти граждан запрещено. Если приходит десятый, возникает новая личность. Это переход от девяти к десяти» [97, S. 53—54].
Итак, ключевая концепция десятичной системы и общий алгоритм четырех арифметических действий с многозначными числами являются базисом для дальнейшего путешествия ребенка в полном удивительных загадок и неожиданных открытий мире математики. Они образуют «ствол древа» математических знаний, и если ребенок познакомился с ними, можно перейти к дифференциации. «Четыре операции с большими числами, — пишет Монтессори, — ясное понимание десятичной системы и решение практических проблем, возникающих в повседневной жизни, заставляют думать, по выражению одного ребенка, который убежденно сказал: "Я знаю все". Прогресс происходит теперь только в деталях посредством анализа того, что уже имеется и может пробудить интерес. Значение теперь придается детали, так как она дает возможность прорыва в рассмотренное извне целое... и тогда движутся от целого к деталям, от большого к малому, от сложного к простому» [97, S. 72].
Каким же образом происходит дифференциация? В каком направлении растут «ветви», берущие начало на «стволе»? Мы укажем лишь самые «толстые» из них, несущие на себе всю «крону».
Один из основных путей дальнейшего движения — последовательный счет и запоминание общепринятых названий чисел сначала до 20, затем до 100 и до 1000. Это осуществляется при помощи досок Сегена и набора цепочек из цветных или золотых бусин, составляющих единый цикл. Продолжение этого пути — систематическое решение многочисленных примеров с помощью целой серии материалов и постепенное запоминание таблиц сложения, вычитания умножения и деления.
Другой основной путь — достаточно длинный и требующий терпения, но приводящий к ясному пониманию смысла общепринятого способа вычислений на бумаге — путь дальнейшего исследования каждой из четырех арифметических операций. Перечислим лишь некоторые из используемых с этой целью материалов: игры с марками, «большие» и «малые счеты», «шахматная доска» для умножения многозначных чисел на многозначные, материал для большого деления, т.е. деления многозначных чисел на многозначные. Исследование завершается переходом к выполнению всех действий в абстрактной форме, т. е. на бумаге, на письме, без помощи материала.
Освоив операции с целыми числами и познакомившись с понятиями наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя, можно переходить к действиям с обыкновенными дробями, а затем и с десятичными.
Еще одно направление движения — введение новых операций, а именно, операций возведения в степень и извлечения корня. Особенно подробно в системе Монтессори рассматриваются операции возведения чисел в квадрат и в куб и обратные им операции извлечения квадратных и кубических корней. Посредством таких материалов, как биномиальный куб, триномиальный и арифметико-триномиальный кубы, здесь снова выясняется суть алгоритма извлечения квадратного и кубического корня из многозначных чисел.
Наконец, последняя «толстая ветвь», берущая начало от «ствола», — геометрия. Ребенок знакомится с понятиями конгруэнтности, подобия и равновеликое™, узнает основные свойства плоских геометрических фигур и пространственных тел, учится измерять площади и объемы. Этой цели служит ряд материалов, в частности серия металлических фигур-вкладышей.
По нашему мнению, наряду с указанными достоинствами содержание математического раздела имеет также ряд недостатков. Во-первых, много времени посвящается вычислительным операциям, но очень мало внимания уделяется задачам, тогда как именно решение задач способствует развитию логического мышления. Во-вторых, материалы иллюстрируют достаточно большой, но все же ограниченный круг понятий. Область их применения можно расширить [55], но не очень далеко. Например, их нельзя применить для решения квадратных уравнений. В-третьих, опыт показывает, что дети школьного возраста, быстро поняв смысл операций, к материалам больше не возвращаются. Они предпочитают выполнять задания в рабочих тетрадях, которых в системе Монтессори не предполагается. Тем не менее мы считаем, что математические Монтессори-материалы благодаря их конкретности и наглядности могут быть применены в «традиционных» отечественных детских садах и начальных школах. Их можно использовать как дидактический раздаточный материал.
В соответствии с содержанием материалы принято подразделять на семь групп. Материалы первой, третьей и четвертой групп, а также материалы второй группы, предшествующие малым счетам, предназначены для Монтессори-детского сада, остальные — для школы. Отметим, однако, что это указание не является жестким ограничением, особенно если речь идет об использовании в детских садах и школах лишь некоторых элементов системы Монтессори. Так, например, если некоторая программа предусматривает знакомство с операциями сложения и вычитания многозначных чисел «в столбик» во II или в III классе, то золотой материал может быть с успехом применен именно в этот период.