Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Общие, речь.doc
Скачиваний:
65
Добавлен:
22.02.2016
Размер:
719.87 Кб
Скачать

4.6. Развитие элементарных математических представлений через различение, составление пар и сериацию

Контрасты. Смысл начального этапа работы с материалом со­стоит в том, чтобы получить первое впечатление об исследуемом свойстве, ощутить различие предметов по состоянию этого свой­ства, если различие проявляется в наибольшей степени, допускае­мой данным материалом. Так, например, для первого этапа рабо­ты с геометрическими телами учитель выбирает три тела, наибо­лее контрастирующие по форме, — как правило, куб, шар и ко­нус; а с цветными табличками — ящик с шестью табличками трех чистых цветов спектра: красного, желтого и синего. Знакомство с размерами начинается с предъявления ребенку двух наиболее кон­трастных цилиндров из блока — чаще всего самого толстого и самого тонкого или самого большого и самого маленького. Для различения и составления пар музыкальных тонов первоначально выбираются три пары звоночков: самого низкого, самого высоко­го и одного из промежуточных тонов. Работа с серией материа­лов, предназначенных для знакомства с формой плоских фигур, начинается с обследования формы трех «основных» фигур — квад­рата, круга и треугольника — путем обведения пальцами фигуры-вкладыша и соответствующего ей отверстия, а также сопоставле­ния фигуры с отверстием. «Если хотят установить вес предметов, сначала демонстрируют несколько самых легких и несколько са­мых тяжелых табличек из серии; с шумами предлагают обе край­ности градуированного ряда...» [92, S. 127 — 128].

Составление пар. Первый этап работы неотделим от второго — нахождения пар предметов, одинаковых по состоянию какого-либо свойства — по цвету, вкусу, запаху, звучанию, форме и т.д. «Чтобы дать еще более полное понятие различий, хорошо пере­мешать с наиболее сильными контрастами "идентичности"... для чего берут удвоенную серию предметов. Так, например, в двух одинаковых перемешанных сериях, в которых все предметы нахо­дятся в беспорядке, должны быть найдены одинаковые, которые образуют пару... Упражнение по поиску одинакового среди кон­трастов очень сильно фиксирует различия и делает их через это заметными» [92, S. 128]. На первых двух этапах работы с сенсорны­ми материалами у ребенка начинает формироваться, таким обра­зом, представление о различии и равенстве.

Нахождение пар наряду со сравнением и констатацией того фак­та, что предметы различны или равны по данному свойству, вклю­чает, по существу, установление взаимно-однозначного соответ­ствия между элементами двух множеств, которое, как известно, является одним из случаев функциональной зависимости. Напом­ним в этой связи несколько фундаментальных математических понятий.

Говорят, что имеется функция, определенная на множестве X со значениями в множестве У, если в силу некоторого закона / каждому элементу х, принадлежащему множеству X, соответству­ет элемент у множества У Множество Хъ этом случае называется областью определения функции, символ х, обозначающий его элементы, — аргументом функции или независимой переменной, а величину у = /(х) — зависимой переменной. Множество всех значений функции, которые она принимает на элементах множе­ства X, называют областью значений функции.

В зависимости от природы множеств Хи К наряду с термином «функция» употребляется также его синоним — «отображение». Если f:XУ — отображение, то элемент у = f(x) множества Y называют образом элемента х. Говорят, что отображение сюръек-тивно (или является наложением, отображением Л1- на Y), если f(X) = У; инъективно, если для любых элементов xit х2 множества Хиз того, что /(.Х|) = Дх2), следует, что jc, = х2. Наконец, отобра­жение биективно (или взаимнооднозначно), если оно сюръектив-но и инъективно одновременно.

Вернемся теперь к анализу процедуры нахождения пар и рас­смотрим в качестве примера работу с «геометрическим комодом». Пусть работа производится с ящиком, содержащим 6 правильных многоугольников-вкладышей от пятиугольника до десятиуголь­ника, находящихся в отверстиях рамок. Фигуру-вкладыш, а затем и отверстие обводят кончиками пальцев. Далее среди лежащих в беспорядке фигур-вкладышей выбирают любую и помещают ее в подходящее отверстие. Поиск отверстия ведется не просто меха­нически, методом проб и ошибок, но с активным привлечением зрения. Последнее происходит благодаря показу учителем образца действий — способа поиска «на глаз», а также за счет раскраски материала — фигуры-вкладыши и дно отверстий окрашены ин­тенсивным синим цветом, а фон — желтым. Обозначим теперь через X множество фигур-вкладышей, а через У множество отвер­стий. Множество Л'состоит из элементов хи х2,д%, а множество Y из элементов уи у26, где через х, обозначен пятиугольник-вкладыш, через — отверстие пятиугольной формы, через х6десятиугольник-вкладыш, а через у6 — десятиугольное отверстие. Тогда функция f:X-> У сопоставляет каждой фигуре-вкладышу отверстие такой же формы, или, используя введенные обозначе­ния,/(де,) = у,, /=1,2,6. Областью определения этой функции является множество X всех шести фигур-вкладышей, а областью ее значений — множество У соответствующих им отверстий.

Рассмотрим еще один пример, а именно — нахождение пар одинаково шумящих коробочек, и опишем его в терминах ото­брожений. Имеются 2 ящика — один с красной, другой с синей крышкой, — в каждом из которых находится по 6 цилиндричес­ких коробочек с крышками того же цвета, что и содержащий их ящик. Все шумы коробочек каждой серии различны; для каждой коробочки из одной серии существует коробочка с таким же шу­мом из другой серии. Пусть Х = {*,, хъ *<;}, У = и уъ у6}, где X— множество коробочек с красными, У — с синими крыш­ками, a Xi, х7, Хе и уи уъ у6их элементы, причем буква­ми с одинаковыми индексами обозначены пары коробочек с иден­тичными шумами. Тогда при отображении /: Z -» Укаждый эле­мент у,- является образом элемента х„ і = 1, 2, 6.

Очевидно, что это отображение сюръективно, так как образом множества у_ является все множество У, т.е. для каждой коробочки из синего ящика, как уже было сказано, найдется коробочка из красного ящика с таким же шумом: f(X) = Y. Оно также инъектив-но, что легко показать. Действительно, если двум коробочкам од­ной серии соответствует одна и та же коробочка другой \f{x\) = Л*?)] і то °бе коробочки должны издавать такой же шум, как и третья, а значит, они должны шуметь одинаково (xt = х2). Мы зна­ем, однако, что внутри серии нет коробочек с одинаковыми шу­мами. Таким образом, это отображение биективно, или взаимно­однозначно.

Ясно, что подобные рассуждения можно провести для любого материала, если ход работы с ним предполагает нахождение пар предметов, одинаковых по состоянию некоторого нормативного свойства, поскольку они относятся не к материалу как таковому, а в более формальном виде описывают процесс действия с ним. Действительно, при нахождении пар одинаковых цветов, запа­хов, музыкальных тонов, температур, и т.д. имеется по два мно­жества идентичных или практически идентичных на вид предме­тов, которые сопоставляются друг другу по определенному пра­вилу, являющемуся, по существу, функциональной зависимо­стью. На основе подобного чувственного — пока еще не осознан­ного и не обозначенного вербально — опыта ребенка можно поз­же ввести понятие функции. К сожалению, при наличии объек­тивной базы у Монтессори эта идея не прозвучала и не была реа­лизована.

Обратимся теперь не столько к процессу сравнения и нахожде­ния одинаковых в отношении исследуемого свойства предметов, сколько к его результату. Рассмотрим пример сортировки по весу двух серий табличек. В одной серии содержится 7 одинаковых по весу легких табличек, в другой — 7 тяжелых. Таблички кладут шта­белем, перемешав их в произвольном порядке, а затем сортиру­ют, взвешивая на руках и раскладывая в 2 однородных штабеля. При этом внимание ребенка обращают на то, одинаковы или раз­личны по весу 2 исследуемые им таблички. Если они различны, то каждую из них сравнивают с верхней табличкой в обоих штабе­лях, а если одинаковы, то достаточно сравнить только одну из них.

Сортировка в данном случае включает сравнение и установле­ние равенства или различия предметов по некоторому свойству без построения сериационного ряда по степени проявления этого свойства и может быть отнесена, поэтому, к первым двум указан­ным нами этапам работы с сенсорными материалами. Она пред­полагает, по существу, разбиение всего множества объектов М на множества-классы Мъ М2, Мк, так что

  1. для любого / є {1, 2, к) Mj * 0, т.е. каждый из этих классов непуст;

  2. для любых /, j є {1, 2, к), таких что / *j, М-,п Mj = 0, т.е. классы попарно не пересекаются;

  3. u М, = М, т. е. / множество М является объединением всех этих классов.

Иначе говоря, сортировка представляет собой классификацию предметов на основании какого-либо свойства, в данном случае по весу. При этом каждый объект попадает в какой-нибудь класс, причем только в один, а объекты, попавшие в один и тот же класс, идентичны в отношении какого-либо свойства.

Другой пример классификации (на первых двух этапах) — сор­тировка орехов. Несколько видов орехов, например, грецкие, зем­ляные и каштаны — кладут вперемешку в центральное отделение коробки или плоской корзины, а затем, вынимая по одному оре­ху и ощупывая, раскладывают их в другие, предназначенные для этого отделения, так что разные виды орехов оказываются в раз­ных отделениях, а орехи одного вида — в одном и том же. Класси­фикация производится здесь, очевидно, по форме предметов.

Основной алгоритм работы с цветными табличками из перво­го и второго ящиков предполагает последовательный выбор из разложенных в беспорядке табличек какой-либо одной и подбор к ней парной. Здесь мы снова имеем дело с классификацией, на этот раз по цвету. Каждый класс в этом случае содержит лишь два объекта. Начало работы с конструктивными треугольниками так­же предполагает сортировку находящихся в беспорядке фигур раз­ной формы и цвета. Далее мы встретимся и с другими примерами классификации.

Сериационные ряды. «Заключительное упражнение на диффе­ренциацию, — пишет Монтессори, — состоит в том, чтобы при­вести в правильный порядок градуированный ряд беспорядочно смешанных друг с другом предметов... с систематически разде­ленным по степеням различием» [92, S. 128]. Так, например, розо­вая башня представляет собой набор из 10 кубов, длины ребер которых меняются от 1 до 10 см, а коричневая лестница — набор из 10 призм одинаковой высоты 20 см с квадратным основанием, причем длины сторон квадратов также меняются от 1 до 10 см.

Если речь идет о дифференциации оттенков цвета, для этого предназначен третий ящик цветных табличек с табличками 7 от­тенков 9 разных цветов. Для градации температур, шумов или му­зыкальных тонов берут одну серию бутылочек, коробочек или зво­ночков.

«Геометрический комод» содержит ящик с шестью кругами раз­ного диаметра, а также ящик с прямоугольниками одинаковой длины и переменной ширины, что делает возможным упражне­ния на построение сериационного ряда в зависимости от измене­ния размеров плоских фигур. Блоки с цилиндрами-вкладышами или ящики с цветными цилиндрами, содержащие по 10 цилинд­ров переменной высоты, диаметра или их обоих в прямой и об­ратной зависимости, предполагает то же самое в отношении раз­меров пространственных тел.

Построить сериационный ряд означает установить отношение неравенства на некотором множестве объектов, если у этих объек­тов возможно обнаружить различные степени проявления иссле­дуемого свойства. Отношение неравенства означает [34, с. 651], что две однородных величины а и Ь или совпадают (а = Ь), или первая меньше второй (я < Ь), или же вторая меньше первой < а). Оно обладает свойством транзитивности, т.е. для любых трех ве­личин а, і и с, если а < Ъ, Ъ < с, то а < с. Роль величин в данном случае могут играть размер, цвет, температура, громкость шума, высота звука, и т.д., и сериационный ряд этих величин может служить «чувственным образом», моделью, иллюстрирующей не­которые свойства системы положительных скалярных величин в их современном понимании.

Рассмотрим теперь сам процесс построения сериационного ряда, например, по убыванию исследуемого свойства. Суть его состоит в последовательном выборе из имеющихся, еще не упо­рядоченных предметов такого, который превосходит остальные по степени проявления данного свойства, т. е. предмета, у которо­го этого свойство проявляется в наибольшей степени. Так, при построении розовой башни каждый раз выбирают наибольший куб, коричневой лестницы — самую толстую призму, лестницы из красных штанг — самую длинную штангу, последовательности цветовых оттенков — табличку самого насыщенного тона, ряда шумящих коробочек — коробочку с самым громким шумом, пос­ледовательности шершавых дощечек — дощечку с наиболее грубо обработанной поверхностью и т.д. По существу, мы имеем дело с одним и тем же алгоритмом, если под алгоритмом понимать сово­купность операций, выполняемых в строго установленном поряд­ке для решения однотипных задач.

Алгоритмы в подобном широком смысле слова встречаются, как в науке, так и в реальной жизни, очень часто. Так, например, можно говорить об алгоритмах выполнения четырех основных ариф­метических действий, отыскания корней квадратного уравнения, перехода через улицу и завязывания бантов, приготовления супа и т.д. Умение решать задачу в общем виде предполагает владение алгоритмом ее решения.

Алгоритм имеет оперативно-логическую структуру, что подра­зумевает выявление в сложном действии более простых, пред­ставление его в виде последовательности шагов. Так, в алгоритме построения сериационного ряда можно выделить следующие пред­писания:

  1. привести предметы в беспорядочное состояние;

  2. если есть еще не упорядоченные предметы, то перейти к предписанию 3, иначе — к предписанию 5;

  3. выбрать из них наибольший по степени проявления данно­го свойства;

  4. поместить его в конец готовой части ряда и вернуться к предписанию 2;

  5. закончить работу.

Среди этих предписаний есть как простые команды, например, 1, 3, 4, предполагающие выполнение некоторых действий, так и условная команда 2, определяющая разветвление данного алгорит­ма. Поскольку наборы предметов для построения сериационного ряда состоят более, чем из одного предмета, — это могут быть 4 бутылочки с водой различной температуры, 5 шершавых доще­чек, 6 коробочек с шумами, 7 оттенков цветов, 10 цилиндров, 13 по-разному звучащих звоночков — то условие 2 будет выполнять­ся несколько раз, поэтому действия 3 и 4 будут повторяться. От­сюда, имеем простейший пример циклического алгоритма.

Алгоритм нахождения пар несколько длиннее, но лишь немно­го сложнее алгоритма построения сериационного ряда. Вот в виде каких предписаний можно представить, например, алгоритм на­хождения пар шумов:

1) поставить ящик с красной крышкой слева, с синей крыш- кой — справа на некотором расстоянии друг от друга;

2) открыть крышки и положить их перед ящиками;

  1. если в ящике есть коробочки с красными крышками, то перейти к предписанию 4, иначе — к предписанию 10;

  2. вынуть коробочку с красной крышкой из ящика, встрях­нуть ее и послушать шум;

  3. поставить коробочку с красной крышкой на красную крышку ящика;

  4. вынуть коробочку с синей крышкой из ящика, встряхнуть ее и послушать шум;

7) сравнить шумы обеих коробочек;

8) если шумы разные, то поставить коробочку с синей крыш- кой на синюю крышку ящика и вернуться к предписанию 5, ина- че — перейти к предписанию 9;

9) поставить пару коробочек между ящиками, убрать коробоч- ки, стоящие на синей крышке, обратно в ящик и перейти к пред- писанию 3;

10) закончить работу.

В этом алгоритме помимо целого ряда простых команд имеют­ся две условные — 3 и 8. Команда 8 отражает цикличность процес­са поиска пары к конкретной коробочке, а команда 3 — процесса выбора новой коробочки. Действительно, поскольку при поиске пары к некоторой коробочке с красной крышкой коробочки с синими крышками достают наугад, то совсем необязательно, что парная коробочка найдется «с ходу»: вероятно, для этого придет­ся по очереди вынуть несколько коробочек с синими крышками. Кроме того, нужно найти 6 пар коробочек, каждый раз повторяя процесс поиска пар. Мы снова имеем пример циклического алго­ритма.

Здесь опять же, совершенно не важно, на основании какого свойства предметов составляются пары — цвета, звука, размера, формы, и т.д.; какой природы эти предметы — таблички, коро­бочки, бутылочки, звоночки, и т.д.; сколько их — 8, 12, 20 и т.д.; какие действия при этом производятся — ощупывание, встря­хивание, сопоставление «на глаз», проба на вкус или запах, взве­шивание и т.д. Важно, что этот процесс описывается практически одним алгоритмом, который для конкретного материала может быть лишь слегка модифицирован в зависимости от того, отделе­ны ли первоначально оба набора друг от друга, как шумящие ко­робочки, или смешаны друг с другом, как цветные таблички, и т.д. Вот почему имеет смысл говорить об основном алгоритме работы с материалом.

«Продвинутые материалы». Прежде чем перейти к рассмотре­нию упражнений с сенсорными материалами, обратимся к не­скольким материалам, основные алгоритмы работы с которыми отличаются от описанных выше, хотя на ее начальном этапе и могут включать сортировку. Речь пойдет о «продвинутых материа­лах» — конструктивных треугольниках, геометрических телах, биномиальном и триномиальном кубах. Все эти материалы, рабо­та с которыми первоначально производится на сенсорном уров­не, используются далее в математике для введения ряда понятий. Остановимся на каждом из них подробнее.

Имеется пять ящиков с конструктивными треугольниками. Фи­гуры из первого ящика позволяют показать, как из двух конгру­энтных неравносторонних прямоугольных треугольников можно поочередно построить три различные фигуры — прямоугольник и два неконгруэнтных параллелограмма; из двух конгруэнтных рав­нобедренных прямоугольных треугольников — две фигуры: квад­рат и параллелограмм. Из двух конгруэнтных равносторонних тре­угольников получается только одна фигура — ромб, а из двух не­

конгруэнтных треугольников, если, конечно, их подобрать соот­ветствующим образом, можно построить трапецию. Посредством голубых треугольников из второго ящика показывают, как пере­численные выше фигуры, принадлежащие одной и той же «це­почке», преобразуются друг в друга.

Возьмем, например, два голубых прямоугольных неравносто­ронних треугольника из второго ящика и построим из них прямо­угольник, конгруэнтный серому прямоугольнику из первого ящика (рис. 1). На рисунке один треугольник обозначен буквами ABC, второй — А'В'С Обозначим построенный из них прямоугольник через АС'ВС, так как вершины А и В', а также В к А' совпадают. Диагональ АВ, по которой «разрезан» этот прямоугольник, про­ходит на рисунке снизу вверх слева направо. Напомним, что ото­бражение плоскости на себя, сохраняющее расстояния, называ­ется перемещением. Перемещение, при котором все точки плос­кости смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, называется параллельным переносом или вектором.

Будем двигать теперь треугольник А'В'С вдоль гипотенузы АВ треугольника ABC, пока вершины В и В' не совпадут, а затем — вдоль катета ВС, пока вершины if' и С, а также С и В не совпадут. Получим параллелограмм АВА'С, конгруэнтный узкому желтому параллелограмму из первого ящика. Мы преобразовали прямоу­гольник в параллелограмм. По существу, мы совершили парал­лельный перенос треугольника А'В'С' сначала на вектор АВ, за­тем — на вектор ВС. Композицией этих переносов является пере­нос на вектор АС. Другими словами, вектор АС есть сумма векто­ров АВ и ВС. Далее при перемещении треугольника А'В'С после­довательно на векторы ВС и СА, т.е. на вектор ВА, получим па­раллелограмм АВСВ', конгруэнтный узкому зеленому параллело­грамму из первого ящика. Перемещая, наконец, треугольник А'В'С на векторы С А и АВ, т.е. на вектор СВ, вернемся к исходному прямоугольнику АС'ВС.

Подобные рассуждения, описывающие с помощью терминов геометрии смысл действий, совершаемых с голубыми треуголь­никами, можно было бы провести для любой пары их. Разумеет­ся, термины «перемещение», «композиция перемещений», «па­раллельный перенос», «вектор», «сумма векторов» ничего не го­ворят ребенку дошкольного возраста, однако работа с первыми двумя ящиками «конструктивных треугольников» объективно со­здает прекрасную базу для последующего введения этих понятий в школе. К сожалению, и эта идея в математических материалах Монтессори осталась нереализованной.

К знакомству с какими еще понятиями геометрии можно ин-директивно подготовить ребенка посредством конструктивных треугольников? Для ответа на этот вопрос обратимся к трем ос­тавшимся ящикам.

В третьем (треугольном) ящике содержатся четыре конгруэнт­ных друг другу равносторонних треугольника, три из которых раз­делены на 2, 3 и 4 конгруэнтные части соответственно, а один — целый. Линии деления представляют собой высоту, биссектрисы — которые в случае равностороннего треугольника являются одно­временно его медианами — и средние линии. Точка пересечения биссектрис треугольника является, как известно, центром впи­санной в него окружности.

Четвертый (малый шестиугольный) ящик предназначен для де­монстрации того факта, что правильный шестиугольник может быть построен из двух конгруэнтных трапеций, трех ромбов или шести равносторонних треугольников без преобразования их. С по­мощью фигур пятого (большого шестиугольного) ящика можно показать, что правильный шестиугольник возможно также постро­ить из двух больших равносторонних треугольников или трех па­раллелограммов, предварительно разрезав их подходящим образом.

Очевидно, что точный смысл выражения «может быть постро­ен из... не преобразовывая их» возможно передать с помощью понятия «конгруэнтность». Действительно, правильный шести­угольник, построенный из двух трапеций, конгруэнтен шестиуголь­нику, построенному из трех ромбов или из шести маленьких рав­носторонних треугольников, что подтверждается с помощью на­ложения их друг на друга в процессе работы с этим материалом. Сказанное справедливо и для фигур треугольного ящика — конгруэнтность составленных из нескольких частей треугольников целому треугольнику подтверждается наложением, — а также для фигур из первых двух ящиков, когда, например, конгруэнтность голубого прямоугольника из второго ящика и серого прямоуголь­ника из первого ящика подтверждается посредством их совмеще­ния друг с другом.

Фигуры пятого (большого шестиугольного) ящика косвенным образом отлично подготавливают ребенка к последующему зна­комству с понятием равновеликие фигуры. Действительно, правиль­ный шестиугольник равновелик двум большим равносторонним треугольникам или трем параллелограммам, но не конгруэнтен их объединению. Среди фигур первого ящика равновеликими, но не конгруэнтными друг другу являются квадрат и большой зеле­ный параллелограмм, а также серый прямоугольник, узкие зеле­ный и желтый параллелограммы, поскольку они составлены из одних и тех же фигур, т.е. являются равносоставленными. Равносо-ставленные фигуры — еще одно геометрическое понятие, потен­циально присутствующее в материале. На примере фигур из тре­тьего и четвертого ящиков также можно обсуждать понятие «рав­новеликие фигуры».

Школьный математический материал Монтессори предпола­гает знакомство с понятиями «конгруэнтные» и «равновеликие фигуры», в том числе с использованием конструктивных тре­угольников.

Процесс работы с большим шестиугольным ящиком индирек-тивно использует понятие «эквивалентность» и свойства рефлек­сивности, симметричности и транзитивности отношения эквива­лентности. Напомним, что рефлексивность означает, что а экви­валентно а; симметричность означает, что если а эквивалентно Ь, то Ъ эквивалентно а. Транзитивность же означает, что если а экви­валентно b и Ь эквивалентно с, то о эквивалентно с. Действительно, серый параллелограмм преобразуют в красный ромб, показав тем самым, что они равновелики (параллелограмм эквивалентен ром­бу). Далее ромб трижды накладывают на шестиугольник, показы­вая, что три таких ромба равновелики шестиугольнику (фигура, являющаяся объединением трех ромбов, эквивалентна шестиуголь­нику). Наконец, делают вывод, что шестиугольник можно постро­ить из трех параллелограммов, или, по существу, он равновелик трем параллелограммам (фигура, являющаяся объединением трех параллелограммов, эквивалентна шестиугольнику, следовательно, шестиугольник эквивалентен этой фигуре). В данном случае в ка­честве отношения эквивалентности выступает отношение равно-великости.

Отношение конгруэнтности тоже является отношением экви­валентности, и свойства рефлексивности, симметричности и тран­зитивности также неявно используются при работе с конструк­тивными треугольниками. Так, например, чтобы удостовериться, что все построенные из частей треугольники из треугольного ящика при наложении совпадают друг с другом, или, по сути, конгру­энтны друг другу, можно каждый из них положить на целый се­рый треугольник и убедиться, что все они ему конгруэнтны, и сделать вывод об их конгруэнтности друг другу.

Современная математика рассматривает геометрическую фи­гуру как множество точек плоскости. Плоская фигура, как и плос­кость, не имеет толщины и представляет собой математическую абстракцию. Конструктивные треугольники, строго говоря, явля­ются моделями геометрических фигур, так как имеют толщину, которая, однако, гораздо меньше их двух остальных измерений. Будем считать поэтому, что конструктивные треугольники явля­ются фигурами, представляющими собой множества точек плос­кости, и будем говорить о теоретико-множественных операциях с ними, в частности об объединении множеств. Вообще, составляя из треугольников новые фигуры, мы каждый раз осуществляем объединение множеств. Так, квадрат из первого ящика является объединением двух треугольников, желтый треугольник из тре­угольного ящика — объединением трех треугольников, серый ше­стиугольник из малого шестиугольного ящика — объединением шести треугольников и т.д. На этом же материале удобно знако­мить ребенка с понятием подмножества: каждый из треугольни­ков, образующих новую фигуру, является подмножеством мно­жества точек этой фигуры. Операцию пересечения множеств удоб­нее продемонстрировать на другом материале.

Понятия множества, равно как и эквивалентности, у Монтес­сори специально не вводятся. Геометрические фигуры она также не рассматривает с теоретико-множественной точки зрения, од­нако термин «множество» в ее трудах встречается. Во всяком слу­чае, эти понятия и операции с множествами можно ввести на основании конкретных образов, возникших у ребенка в процессе работы с конструктивными треугольниками, а также с рядом дру­гих материалов.

В связи с конструктивными треугольниками нельзя не затро­нуть понятия целого и части, а также некоторые проблемы, свя­занные с вычислением площадей. С помощью этих треугольников ребенок учится, по существу, составлять целое из двух (напри­мер, квадрат, параллелограмм, ромб, треугольник), трех (тре­угольник, трапеция), четырех (треугольник, шестиугольник) и шести частей (шестиугольник). Он видит, что целое может быть разделено на 2, 3, 4 равные части, как, например, треугольники из треугольного ящика. Он узнает также, что одно и то же целое может быть по-разному разделено на равные части, например: шестиугольник из малого шестиугольного ящика состоит из шес­ти одинаковых равносторонних серых треугольников или же из шести одинаковых красных равнобедренных треугольников, не­конгруэнтных серым. Красный ромб может быть разделен попо­лам вдоль как длинной, так и короткой диагонали, причем поло­винки ромба, полученные в результате обоих способов деления, неконгруэнтны.

Что касается проблемы вычисления площадей плоских фигур, то вывод общих формул как в школе Монтессори, так и в шко­лах, работающих по другим программам, производится путем

­

свойств предметов, которая отражается в соответствующих тер­минах, является основой для последующего сравнения чисел.

Приведем также пример существительных, вводимых посред­ством материалов «геометрический комод» и «геометрические тела». В ящиках «геометрического комода» имеются всевозможные фи­гуры — треугольники разной формы, круги и прямоугольники разнообразных размеров, квадрат, правильные многоугольники, ромб, параллелограмм, трапеция, эллипс, овал и т.д. Геометри­ческие тела включают, как уже говорилось выше, шар, эллипсоид, овоид, куб, тре- и четырехугольную призмы, тре- и четырехуголь­ную пирамиды, цилиндр и конус. Ряд этих названий непосредствен­но отражают определенные свойства фигур. Например, фигура будет называться тре-, четырех- или многоугольником в зависи­мости от того, сколько у нее углов. Параллелограмм — это четы­рехугольник, противоположные стороны которого попарно па­раллельны. Другие термины происходят от названий конкретных предметов: название «ромб» происходит от слова «волчок», «тра­пеция» — от слова «столик», «конус» — «сосновая шишка» и т.д.

Упомянутые термины изучаются уже в детском саду. Позже, большей частью уже в школе, с помощью тех же материалов, а также конструктивных треугольников ребенок знакомится с клас­сификацией треугольников по величине углов и длине сторон, с особыми линиями в треугольнике — высотами, медианами, бис­сектрисами, средними линиями, — а также с рядом других тер­минов планиметрии — прямой, углом, стороной, катетом, гипо­тенузой, радиусом, диагональю, площадью и т.д. — и стереомет­рии — гранью, ребром, образующей, основанием, плоскостью, объемом и т.д. Данный список можно было бы расширить, но, как нам кажется, приведенных примеров вполне достаточно для подтверждения того тезиса, что посредством сенсорных материа­лов словарный запас ребенка может быть существенно пополнен терминами, полезными для изучения математики.

4.8. ПОДГОТОВКА К ИЗУЧЕНИЮ МАТЕМАТИКИ НА УПРАЖНЕНИЯХ В ПРАКТИЧЕСКОЙ ЖИЗНИ

Напомним, что все виды практической повседневной деятель­ности осуществляются по определенным правилам или предписа­ниям. Рассмотрим, например, рамку с пуговицами, имеющую вер­тикальные прорези-петли. При расстегивании пуговиц нужно вы­полнить следующие действия:

  1. положить рамку перед собой так, чтобы правое полотнище ткани находилось над левым;

  2. если есть застегнутые пуговицы, перейти к предписанию 3, в противном случае — к предписанию 10;

  1. большим и указательным пальцами правой руки сжать верх­нюю застегнутую пуговицу справа;

  1. большим и указательным пальцами левой руки сжать край ткани слева на уровне пуговицы;

  2. потянуть пуговицу и ткань одновременно в разные стороны: пуговицу — вправо, ткань — влево;

  3. когда отверстие расширится, отогнуть пуговицу и вставить в петлю ее левую половину;

7) отпустить обе руки;

8) большим и указательным пальцами правой руки потянуть край ткани вправо, так чтобы пуговица полностью освободилась;

9) отпустить край ткани и перейти к предписанию 2;

10) закончить работу.

Очевидно, перед нами снова пример алгоритма, на этот раз алгоритма расстегивания пуговиц. Поскольку на рамке имеется 6 пуговиц, действия 3—9 будут повторяться несколько раз, пока все пуговицы не окажутся расстегнутыми, следовательно: данный алгоритм является циклическим.

Достаточно часто сложная деятельность, включающая выпол­нение многих действий, предполагает, по Монтессори, трени­ровку отдельных умений — например, переливание воды сначала предлагается как самостоятельное упражнение, а позже входит в качестве составного элемента в такие упражнения, как мытье пола, посуды, фруктов и овощей и т.д. Если ребенок освоил способ мытья рук в тазике с водой, значит, он должен научиться убирать за собой: ополаскивать тазик, насухо протирать стол и остальные предметы, менять полотенце и тряпочки. Таким образом, более простые и короткие алгоритмы или же их отдельные звенья — последовательности действий — могут стать составными частями более сложных алгоритмов.

Хорошо известно [2], что в ходе воспитания и обучения в дет­ском саду, работающем по любой системе — не только Монтессо­ри, — ребенок знакомится с самыми разными видами деятельно­сти, осуществляемой по определенным правилам или предписа­ниям, например: с подвижными и дидактическими играми, пра­вилами поведения в обществе, правилами перехода улицы, оде­вания и раздевания и т.д. Подобные правила также являются ал­горитмами, однако у Монтессори этот аспект усилен. Подобное усиление происходит как за счет разнообразия видов практиче­ской деятельности и используемых при этом алгоритмов, так и вследствие способа показа той или иной деятельности — четкого выделения начала, конца и каждого этапа работы; демонстрации одного и того же алгоритма работы с конкретным материалом каждому ребенку, а также — если вспомнить о сенсорных матери­алах — за счет применения, по существу, одного и того же алго­ритма при работе с разными материалами (составлении пар, се-