- •Раздел II практическая реализация системы м. Монтессори
- •Глава 3
- •3.1. Общие методические рекомендации
- •3.2. Средства воспитания и обучения. «подготовленная среда»
- •4 Сорокова
- •Глава 4 содержание обучения в системе м. Монтессори: общая характеристика
- •4.1. Основные учебные разделы в системе монтессори
- •4.2. Значение упражнений по овладению навыками практической повседневной деятельности
- •4.3. Оборудование «практической зоны»
- •4.4. Значение сенсорного воспитания в системе монтессори
- •..... ______ *
- •4.5. Подготовка к изучению математики в системе м. Монтессори
- •4.6. Развитие элементарных математических представлений через различение, составление пар и сериацию
- •5 Сорокова
- •4.9. Характеристика содержания математического раздела в детском саду и школе монтессори
- •4.10. Развитие речи в системе монтессори
- •4.11. Трехступенчатый урок
4.6. Развитие элементарных математических представлений через различение, составление пар и сериацию
Контрасты. Смысл начального этапа работы с материалом состоит в том, чтобы получить первое впечатление об исследуемом свойстве, ощутить различие предметов по состоянию этого свойства, если различие проявляется в наибольшей степени, допускаемой данным материалом. Так, например, для первого этапа работы с геометрическими телами учитель выбирает три тела, наиболее контрастирующие по форме, — как правило, куб, шар и конус; а с цветными табличками — ящик с шестью табличками трех чистых цветов спектра: красного, желтого и синего. Знакомство с размерами начинается с предъявления ребенку двух наиболее контрастных цилиндров из блока — чаще всего самого толстого и самого тонкого или самого большого и самого маленького. Для различения и составления пар музыкальных тонов первоначально выбираются три пары звоночков: самого низкого, самого высокого и одного из промежуточных тонов. Работа с серией материалов, предназначенных для знакомства с формой плоских фигур, начинается с обследования формы трех «основных» фигур — квадрата, круга и треугольника — путем обведения пальцами фигуры-вкладыша и соответствующего ей отверстия, а также сопоставления фигуры с отверстием. «Если хотят установить вес предметов, сначала демонстрируют несколько самых легких и несколько самых тяжелых табличек из серии; с шумами предлагают обе крайности градуированного ряда...» [92, S. 127 — 128].
Составление пар. Первый этап работы неотделим от второго — нахождения пар предметов, одинаковых по состоянию какого-либо свойства — по цвету, вкусу, запаху, звучанию, форме и т.д. «Чтобы дать еще более полное понятие различий, хорошо перемешать с наиболее сильными контрастами "идентичности"... для чего берут удвоенную серию предметов. Так, например, в двух одинаковых перемешанных сериях, в которых все предметы находятся в беспорядке, должны быть найдены одинаковые, которые образуют пару... Упражнение по поиску одинакового среди контрастов очень сильно фиксирует различия и делает их через это заметными» [92, S. 128]. На первых двух этапах работы с сенсорными материалами у ребенка начинает формироваться, таким образом, представление о различии и равенстве.
Нахождение пар наряду со сравнением и констатацией того факта, что предметы различны или равны по данному свойству, включает, по существу, установление взаимно-однозначного соответствия между элементами двух множеств, которое, как известно, является одним из случаев функциональной зависимости. Напомним в этой связи несколько фундаментальных математических понятий.
Говорят, что имеется функция, определенная на множестве X со значениями в множестве У, если в силу некоторого закона / каждому элементу х, принадлежащему множеству X, соответствует элемент у множества У Множество Хъ этом случае называется областью определения функции, символ х, обозначающий его элементы, — аргументом функции или независимой переменной, а величину у = /(х) — зависимой переменной. Множество всех значений функции, которые она принимает на элементах множества X, называют областью значений функции.
В зависимости от природы множеств Хи К наряду с термином «функция» употребляется также его синоним — «отображение». Если f:XУ — отображение, то элемент у = f(x) множества Y называют образом элемента х. Говорят, что отображение сюръек-тивно (или является наложением, отображением Л1- на Y), если f(X) = У; инъективно, если для любых элементов xit х2 множества Хиз того, что /(.Х|) = Дх2), следует, что jc, = х2. Наконец, отображение биективно (или взаимнооднозначно), если оно сюръектив-но и инъективно одновременно.
Вернемся теперь к анализу процедуры нахождения пар и рассмотрим в качестве примера работу с «геометрическим комодом». Пусть работа производится с ящиком, содержащим 6 правильных многоугольников-вкладышей от пятиугольника до десятиугольника, находящихся в отверстиях рамок. Фигуру-вкладыш, а затем и отверстие обводят кончиками пальцев. Далее среди лежащих в беспорядке фигур-вкладышей выбирают любую и помещают ее в подходящее отверстие. Поиск отверстия ведется не просто механически, методом проб и ошибок, но с активным привлечением зрения. Последнее происходит благодаря показу учителем образца действий — способа поиска «на глаз», а также за счет раскраски материала — фигуры-вкладыши и дно отверстий окрашены интенсивным синим цветом, а фон — желтым. Обозначим теперь через X множество фигур-вкладышей, а через У множество отверстий. Множество Л'состоит из элементов хи х2,д%, а множество Y— из элементов уи у2,у6, где через х, обозначен пятиугольник-вкладыш, через — отверстие пятиугольной формы, через х6 — десятиугольник-вкладыш, а через у6 — десятиугольное отверстие. Тогда функция f:X-> У сопоставляет каждой фигуре-вкладышу отверстие такой же формы, или, используя введенные обозначения,/(де,) = у,, /=1,2,6. Областью определения этой функции является множество X всех шести фигур-вкладышей, а областью ее значений — множество У соответствующих им отверстий.
Рассмотрим еще один пример, а именно — нахождение пар одинаково шумящих коробочек, и опишем его в терминах отоброжений. Имеются 2 ящика — один с красной, другой с синей крышкой, — в каждом из которых находится по 6 цилиндрических коробочек с крышками того же цвета, что и содержащий их ящик. Все шумы коробочек каждой серии различны; для каждой коробочки из одной серии существует коробочка с таким же шумом из другой серии. Пусть Х = {*,, хъ *<;}, У = {уи уъ у6}, где X— множество коробочек с красными, У — с синими крышками, a Xi, х7, Хе и уи уъ у6 — их элементы, причем буквами с одинаковыми индексами обозначены пары коробочек с идентичными шумами. Тогда при отображении /: Z -» Укаждый элемент у,- является образом элемента х„ і = 1, 2, 6.
Очевидно, что это отображение сюръективно, так как образом множества у_ является все множество У, т.е. для каждой коробочки из синего ящика, как уже было сказано, найдется коробочка из красного ящика с таким же шумом: f(X) = Y. Оно также инъектив-но, что легко показать. Действительно, если двум коробочкам одной серии соответствует одна и та же коробочка другой \f{x\) = Л*?)] і то °бе коробочки должны издавать такой же шум, как и третья, а значит, они должны шуметь одинаково (xt = х2). Мы знаем, однако, что внутри серии нет коробочек с одинаковыми шумами. Таким образом, это отображение биективно, или взаимнооднозначно.
Ясно, что подобные рассуждения можно провести для любого материала, если ход работы с ним предполагает нахождение пар предметов, одинаковых по состоянию некоторого нормативного свойства, поскольку они относятся не к материалу как таковому, а в более формальном виде описывают процесс действия с ним. Действительно, при нахождении пар одинаковых цветов, запахов, музыкальных тонов, температур, и т.д. имеется по два множества идентичных или практически идентичных на вид предметов, которые сопоставляются друг другу по определенному правилу, являющемуся, по существу, функциональной зависимостью. На основе подобного чувственного — пока еще не осознанного и не обозначенного вербально — опыта ребенка можно позже ввести понятие функции. К сожалению, при наличии объективной базы у Монтессори эта идея не прозвучала и не была реализована.
Обратимся теперь не столько к процессу сравнения и нахождения одинаковых в отношении исследуемого свойства предметов, сколько к его результату. Рассмотрим пример сортировки по весу двух серий табличек. В одной серии содержится 7 одинаковых по весу легких табличек, в другой — 7 тяжелых. Таблички кладут штабелем, перемешав их в произвольном порядке, а затем сортируют, взвешивая на руках и раскладывая в 2 однородных штабеля. При этом внимание ребенка обращают на то, одинаковы или различны по весу 2 исследуемые им таблички. Если они различны, то каждую из них сравнивают с верхней табличкой в обоих штабелях, а если одинаковы, то достаточно сравнить только одну из них.
Сортировка в данном случае включает сравнение и установление равенства или различия предметов по некоторому свойству без построения сериационного ряда по степени проявления этого свойства и может быть отнесена, поэтому, к первым двум указанным нами этапам работы с сенсорными материалами. Она предполагает, по существу, разбиение всего множества объектов М на множества-классы Мъ М2, Мк, так что
для любого / є {1, 2, к) Mj * 0, т.е. каждый из этих классов непуст;
для любых /, j є {1, 2, к), таких что / *j, М-,п Mj = 0, т.е. классы попарно не пересекаются;
u М, = М, т. е. / множество М является объединением всех этих классов.
Иначе говоря, сортировка представляет собой классификацию предметов на основании какого-либо свойства, в данном случае по весу. При этом каждый объект попадает в какой-нибудь класс, причем только в один, а объекты, попавшие в один и тот же класс, идентичны в отношении какого-либо свойства.
Другой пример классификации (на первых двух этапах) — сортировка орехов. Несколько видов орехов, например, грецкие, земляные и каштаны — кладут вперемешку в центральное отделение коробки или плоской корзины, а затем, вынимая по одному ореху и ощупывая, раскладывают их в другие, предназначенные для этого отделения, так что разные виды орехов оказываются в разных отделениях, а орехи одного вида — в одном и том же. Классификация производится здесь, очевидно, по форме предметов.
Основной алгоритм работы с цветными табличками из первого и второго ящиков предполагает последовательный выбор из разложенных в беспорядке табличек какой-либо одной и подбор к ней парной. Здесь мы снова имеем дело с классификацией, на этот раз по цвету. Каждый класс в этом случае содержит лишь два объекта. Начало работы с конструктивными треугольниками также предполагает сортировку находящихся в беспорядке фигур разной формы и цвета. Далее мы встретимся и с другими примерами классификации.
Сериационные ряды. «Заключительное упражнение на дифференциацию, — пишет Монтессори, — состоит в том, чтобы привести в правильный порядок градуированный ряд беспорядочно смешанных друг с другом предметов... с систематически разделенным по степеням различием» [92, S. 128]. Так, например, розовая башня представляет собой набор из 10 кубов, длины ребер которых меняются от 1 до 10 см, а коричневая лестница — набор из 10 призм одинаковой высоты 20 см с квадратным основанием, причем длины сторон квадратов также меняются от 1 до 10 см.
Если речь идет о дифференциации оттенков цвета, для этого предназначен третий ящик цветных табличек с табличками 7 оттенков 9 разных цветов. Для градации температур, шумов или музыкальных тонов берут одну серию бутылочек, коробочек или звоночков.
«Геометрический комод» содержит ящик с шестью кругами разного диаметра, а также ящик с прямоугольниками одинаковой длины и переменной ширины, что делает возможным упражнения на построение сериационного ряда в зависимости от изменения размеров плоских фигур. Блоки с цилиндрами-вкладышами или ящики с цветными цилиндрами, содержащие по 10 цилиндров переменной высоты, диаметра или их обоих в прямой и обратной зависимости, предполагает то же самое в отношении размеров пространственных тел.
Построить сериационный ряд означает установить отношение неравенства на некотором множестве объектов, если у этих объектов возможно обнаружить различные степени проявления исследуемого свойства. Отношение неравенства означает [34, с. 651], что две однородных величины а и Ь или совпадают (а = Ь), или первая меньше второй (я < Ь), или же вторая меньше первой (Ь < а). Оно обладает свойством транзитивности, т.е. для любых трех величин а, і и с, если а < Ъ, Ъ < с, то а < с. Роль величин в данном случае могут играть размер, цвет, температура, громкость шума, высота звука, и т.д., и сериационный ряд этих величин может служить «чувственным образом», моделью, иллюстрирующей некоторые свойства системы положительных скалярных величин в их современном понимании.
Рассмотрим теперь сам процесс построения сериационного ряда, например, по убыванию исследуемого свойства. Суть его состоит в последовательном выборе из имеющихся, еще не упорядоченных предметов такого, который превосходит остальные по степени проявления данного свойства, т. е. предмета, у которого этого свойство проявляется в наибольшей степени. Так, при построении розовой башни каждый раз выбирают наибольший куб, коричневой лестницы — самую толстую призму, лестницы из красных штанг — самую длинную штангу, последовательности цветовых оттенков — табличку самого насыщенного тона, ряда шумящих коробочек — коробочку с самым громким шумом, последовательности шершавых дощечек — дощечку с наиболее грубо обработанной поверхностью и т.д. По существу, мы имеем дело с одним и тем же алгоритмом, если под алгоритмом понимать совокупность операций, выполняемых в строго установленном порядке для решения однотипных задач.
Алгоритмы в подобном широком смысле слова встречаются, как в науке, так и в реальной жизни, очень часто. Так, например, можно говорить об алгоритмах выполнения четырех основных арифметических действий, отыскания корней квадратного уравнения, перехода через улицу и завязывания бантов, приготовления супа и т.д. Умение решать задачу в общем виде предполагает владение алгоритмом ее решения.
Алгоритм имеет оперативно-логическую структуру, что подразумевает выявление в сложном действии более простых, представление его в виде последовательности шагов. Так, в алгоритме построения сериационного ряда можно выделить следующие предписания:
привести предметы в беспорядочное состояние;
если есть еще не упорядоченные предметы, то перейти к предписанию 3, иначе — к предписанию 5;
выбрать из них наибольший по степени проявления данного свойства;
поместить его в конец готовой части ряда и вернуться к предписанию 2;
закончить работу.
Среди этих предписаний есть как простые команды, например, 1, 3, 4, предполагающие выполнение некоторых действий, так и условная команда 2, определяющая разветвление данного алгоритма. Поскольку наборы предметов для построения сериационного ряда состоят более, чем из одного предмета, — это могут быть 4 бутылочки с водой различной температуры, 5 шершавых дощечек, 6 коробочек с шумами, 7 оттенков цветов, 10 цилиндров, 13 по-разному звучащих звоночков — то условие 2 будет выполняться несколько раз, поэтому действия 3 и 4 будут повторяться. Отсюда, имеем простейший пример циклического алгоритма.
Алгоритм нахождения пар несколько длиннее, но лишь немного сложнее алгоритма построения сериационного ряда. Вот в виде каких предписаний можно представить, например, алгоритм нахождения пар шумов:
1) поставить ящик с красной крышкой слева, с синей крыш- кой — справа на некотором расстоянии друг от друга;
2) открыть крышки и положить их перед ящиками;
если в ящике есть коробочки с красными крышками, то перейти к предписанию 4, иначе — к предписанию 10;
вынуть коробочку с красной крышкой из ящика, встряхнуть ее и послушать шум;
поставить коробочку с красной крышкой на красную крышку ящика;
вынуть коробочку с синей крышкой из ящика, встряхнуть ее и послушать шум;
7) сравнить шумы обеих коробочек;
8) если шумы разные, то поставить коробочку с синей крыш- кой на синюю крышку ящика и вернуться к предписанию 5, ина- че — перейти к предписанию 9;
9) поставить пару коробочек между ящиками, убрать коробоч- ки, стоящие на синей крышке, обратно в ящик и перейти к пред- писанию 3;
10) закончить работу.
В этом алгоритме помимо целого ряда простых команд имеются две условные — 3 и 8. Команда 8 отражает цикличность процесса поиска пары к конкретной коробочке, а команда 3 — процесса выбора новой коробочки. Действительно, поскольку при поиске пары к некоторой коробочке с красной крышкой коробочки с синими крышками достают наугад, то совсем необязательно, что парная коробочка найдется «с ходу»: вероятно, для этого придется по очереди вынуть несколько коробочек с синими крышками. Кроме того, нужно найти 6 пар коробочек, каждый раз повторяя процесс поиска пар. Мы снова имеем пример циклического алгоритма.
Здесь опять же, совершенно не важно, на основании какого свойства предметов составляются пары — цвета, звука, размера, формы, и т.д.; какой природы эти предметы — таблички, коробочки, бутылочки, звоночки, и т.д.; сколько их — 8, 12, 20 и т.д.; какие действия при этом производятся — ощупывание, встряхивание, сопоставление «на глаз», проба на вкус или запах, взвешивание и т.д. Важно, что этот процесс описывается практически одним алгоритмом, который для конкретного материала может быть лишь слегка модифицирован в зависимости от того, отделены ли первоначально оба набора друг от друга, как шумящие коробочки, или смешаны друг с другом, как цветные таблички, и т.д. Вот почему имеет смысл говорить об основном алгоритме работы с материалом.
«Продвинутые материалы». Прежде чем перейти к рассмотрению упражнений с сенсорными материалами, обратимся к нескольким материалам, основные алгоритмы работы с которыми отличаются от описанных выше, хотя на ее начальном этапе и могут включать сортировку. Речь пойдет о «продвинутых материалах» — конструктивных треугольниках, геометрических телах, биномиальном и триномиальном кубах. Все эти материалы, работа с которыми первоначально производится на сенсорном уровне, используются далее в математике для введения ряда понятий. Остановимся на каждом из них подробнее.
Имеется пять ящиков с конструктивными треугольниками. Фигуры из первого ящика позволяют показать, как из двух конгруэнтных неравносторонних прямоугольных треугольников можно поочередно построить три различные фигуры — прямоугольник и два неконгруэнтных параллелограмма; из двух конгруэнтных равнобедренных прямоугольных треугольников — две фигуры: квадрат и параллелограмм. Из двух конгруэнтных равносторонних треугольников получается только одна фигура — ромб, а из двух не
конгруэнтных треугольников, если, конечно, их подобрать соответствующим образом, можно построить трапецию. Посредством голубых треугольников из второго ящика показывают, как перечисленные выше фигуры, принадлежащие одной и той же «цепочке», преобразуются друг в друга.
Возьмем, например, два голубых прямоугольных неравносторонних треугольника из второго ящика и построим из них прямоугольник, конгруэнтный серому прямоугольнику из первого ящика (рис. 1). На рисунке один треугольник обозначен буквами ABC, второй — А'В'С Обозначим построенный из них прямоугольник через АС'ВС, так как вершины А и В', а также В к А' совпадают. Диагональ АВ, по которой «разрезан» этот прямоугольник, проходит на рисунке снизу вверх слева направо. Напомним, что отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния, называется перемещением. Перемещение, при котором все точки плоскости смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, называется параллельным переносом или вектором.
Будем двигать теперь треугольник А'В'С вдоль гипотенузы АВ треугольника ABC, пока вершины В и В' не совпадут, а затем — вдоль катета ВС, пока вершины if' и С, а также С и В не совпадут. Получим параллелограмм АВА'С, конгруэнтный узкому желтому параллелограмму из первого ящика. Мы преобразовали прямоугольник в параллелограмм. По существу, мы совершили параллельный перенос треугольника А'В'С' сначала на вектор АВ, затем — на вектор ВС. Композицией этих переносов является перенос на вектор АС. Другими словами, вектор АС есть сумма векторов АВ и ВС. Далее при перемещении треугольника А'В'С последовательно на векторы ВС и СА, т.е. на вектор ВА, получим параллелограмм АВСВ', конгруэнтный узкому зеленому параллелограмму из первого ящика. Перемещая, наконец, треугольник А'В'С на векторы С А и АВ, т.е. на вектор СВ, вернемся к исходному прямоугольнику АС'ВС.
Подобные рассуждения, описывающие с помощью терминов геометрии смысл действий, совершаемых с голубыми треугольниками, можно было бы провести для любой пары их. Разумеется, термины «перемещение», «композиция перемещений», «параллельный перенос», «вектор», «сумма векторов» ничего не говорят ребенку дошкольного возраста, однако работа с первыми двумя ящиками «конструктивных треугольников» объективно создает прекрасную базу для последующего введения этих понятий в школе. К сожалению, и эта идея в математических материалах Монтессори осталась нереализованной.
К знакомству с какими еще понятиями геометрии можно ин-директивно подготовить ребенка посредством конструктивных треугольников? Для ответа на этот вопрос обратимся к трем оставшимся ящикам.
В третьем (треугольном) ящике содержатся четыре конгруэнтных друг другу равносторонних треугольника, три из которых разделены на 2, 3 и 4 конгруэнтные части соответственно, а один — целый. Линии деления представляют собой высоту, биссектрисы — которые в случае равностороннего треугольника являются одновременно его медианами — и средние линии. Точка пересечения биссектрис треугольника является, как известно, центром вписанной в него окружности.
Четвертый (малый шестиугольный) ящик предназначен для демонстрации того факта, что правильный шестиугольник может быть построен из двух конгруэнтных трапеций, трех ромбов или шести равносторонних треугольников без преобразования их. С помощью фигур пятого (большого шестиугольного) ящика можно показать, что правильный шестиугольник возможно также построить из двух больших равносторонних треугольников или трех параллелограммов, предварительно разрезав их подходящим образом.
Очевидно, что точный смысл выражения «может быть построен из... не преобразовывая их» возможно передать с помощью понятия «конгруэнтность». Действительно, правильный шестиугольник, построенный из двух трапеций, конгруэнтен шестиугольнику, построенному из трех ромбов или из шести маленьких равносторонних треугольников, что подтверждается с помощью наложения их друг на друга в процессе работы с этим материалом. Сказанное справедливо и для фигур треугольного ящика — конгруэнтность составленных из нескольких частей треугольников целому треугольнику подтверждается наложением, — а также для фигур из первых двух ящиков, когда, например, конгруэнтность голубого прямоугольника из второго ящика и серого прямоугольника из первого ящика подтверждается посредством их совмещения друг с другом.
Фигуры пятого (большого шестиугольного) ящика косвенным образом отлично подготавливают ребенка к последующему знакомству с понятием равновеликие фигуры. Действительно, правильный шестиугольник равновелик двум большим равносторонним треугольникам или трем параллелограммам, но не конгруэнтен их объединению. Среди фигур первого ящика равновеликими, но не конгруэнтными друг другу являются квадрат и большой зеленый параллелограмм, а также серый прямоугольник, узкие зеленый и желтый параллелограммы, поскольку они составлены из одних и тех же фигур, т.е. являются равносоставленными. Равносо-ставленные фигуры — еще одно геометрическое понятие, потенциально присутствующее в материале. На примере фигур из третьего и четвертого ящиков также можно обсуждать понятие «равновеликие фигуры».
Школьный математический материал Монтессори предполагает знакомство с понятиями «конгруэнтные» и «равновеликие фигуры», в том числе с использованием конструктивных треугольников.
Процесс работы с большим шестиугольным ящиком индирек-тивно использует понятие «эквивалентность» и свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности отношения эквивалентности. Напомним, что рефлексивность означает, что а эквивалентно а; симметричность означает, что если а эквивалентно Ь, то Ъ эквивалентно а. Транзитивность же означает, что если а эквивалентно b и Ь эквивалентно с, то о эквивалентно с. Действительно, серый параллелограмм преобразуют в красный ромб, показав тем самым, что они равновелики (параллелограмм эквивалентен ромбу). Далее ромб трижды накладывают на шестиугольник, показывая, что три таких ромба равновелики шестиугольнику (фигура, являющаяся объединением трех ромбов, эквивалентна шестиугольнику). Наконец, делают вывод, что шестиугольник можно построить из трех параллелограммов, или, по существу, он равновелик трем параллелограммам (фигура, являющаяся объединением трех параллелограммов, эквивалентна шестиугольнику, следовательно, шестиугольник эквивалентен этой фигуре). В данном случае в качестве отношения эквивалентности выступает отношение равно-великости.
Отношение конгруэнтности тоже является отношением эквивалентности, и свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности также неявно используются при работе с конструктивными треугольниками. Так, например, чтобы удостовериться, что все построенные из частей треугольники из треугольного ящика при наложении совпадают друг с другом, или, по сути, конгруэнтны друг другу, можно каждый из них положить на целый серый треугольник и убедиться, что все они ему конгруэнтны, и сделать вывод об их конгруэнтности друг другу.
Современная математика рассматривает геометрическую фигуру как множество точек плоскости. Плоская фигура, как и плоскость, не имеет толщины и представляет собой математическую абстракцию. Конструктивные треугольники, строго говоря, являются моделями геометрических фигур, так как имеют толщину, которая, однако, гораздо меньше их двух остальных измерений. Будем считать поэтому, что конструктивные треугольники являются фигурами, представляющими собой множества точек плоскости, и будем говорить о теоретико-множественных операциях с ними, в частности об объединении множеств. Вообще, составляя из треугольников новые фигуры, мы каждый раз осуществляем объединение множеств. Так, квадрат из первого ящика является объединением двух треугольников, желтый треугольник из треугольного ящика — объединением трех треугольников, серый шестиугольник из малого шестиугольного ящика — объединением шести треугольников и т.д. На этом же материале удобно знакомить ребенка с понятием подмножества: каждый из треугольников, образующих новую фигуру, является подмножеством множества точек этой фигуры. Операцию пересечения множеств удобнее продемонстрировать на другом материале.
Понятия множества, равно как и эквивалентности, у Монтессори специально не вводятся. Геометрические фигуры она также не рассматривает с теоретико-множественной точки зрения, однако термин «множество» в ее трудах встречается. Во всяком случае, эти понятия и операции с множествами можно ввести на основании конкретных образов, возникших у ребенка в процессе работы с конструктивными треугольниками, а также с рядом других материалов.
В связи с конструктивными треугольниками нельзя не затронуть понятия целого и части, а также некоторые проблемы, связанные с вычислением площадей. С помощью этих треугольников ребенок учится, по существу, составлять целое из двух (например, квадрат, параллелограмм, ромб, треугольник), трех (треугольник, трапеция), четырех (треугольник, шестиугольник) и шести частей (шестиугольник). Он видит, что целое может быть разделено на 2, 3, 4 равные части, как, например, треугольники из треугольного ящика. Он узнает также, что одно и то же целое может быть по-разному разделено на равные части, например: шестиугольник из малого шестиугольного ящика состоит из шести одинаковых равносторонних серых треугольников или же из шести одинаковых красных равнобедренных треугольников, неконгруэнтных серым. Красный ромб может быть разделен пополам вдоль как длинной, так и короткой диагонали, причем половинки ромба, полученные в результате обоих способов деления, неконгруэнтны.
Что касается проблемы вычисления площадей плоских фигур, то вывод общих формул как в школе Монтессори, так и в школах, работающих по другим программам, производится путем
свойств предметов, которая отражается в соответствующих терминах, является основой для последующего сравнения чисел.
Приведем также пример существительных, вводимых посредством материалов «геометрический комод» и «геометрические тела». В ящиках «геометрического комода» имеются всевозможные фигуры — треугольники разной формы, круги и прямоугольники разнообразных размеров, квадрат, правильные многоугольники, ромб, параллелограмм, трапеция, эллипс, овал и т.д. Геометрические тела включают, как уже говорилось выше, шар, эллипсоид, овоид, куб, тре- и четырехугольную призмы, тре- и четырехугольную пирамиды, цилиндр и конус. Ряд этих названий непосредственно отражают определенные свойства фигур. Например, фигура будет называться тре-, четырех- или многоугольником в зависимости от того, сколько у нее углов. Параллелограмм — это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны. Другие термины происходят от названий конкретных предметов: название «ромб» происходит от слова «волчок», «трапеция» — от слова «столик», «конус» — «сосновая шишка» и т.д.
Упомянутые термины изучаются уже в детском саду. Позже, большей частью уже в школе, с помощью тех же материалов, а также конструктивных треугольников ребенок знакомится с классификацией треугольников по величине углов и длине сторон, с особыми линиями в треугольнике — высотами, медианами, биссектрисами, средними линиями, — а также с рядом других терминов планиметрии — прямой, углом, стороной, катетом, гипотенузой, радиусом, диагональю, площадью и т.д. — и стереометрии — гранью, ребром, образующей, основанием, плоскостью, объемом и т.д. Данный список можно было бы расширить, но, как нам кажется, приведенных примеров вполне достаточно для подтверждения того тезиса, что посредством сенсорных материалов словарный запас ребенка может быть существенно пополнен терминами, полезными для изучения математики.
4.8. ПОДГОТОВКА К ИЗУЧЕНИЮ МАТЕМАТИКИ НА УПРАЖНЕНИЯХ В ПРАКТИЧЕСКОЙ ЖИЗНИ
Напомним, что все виды практической повседневной деятельности осуществляются по определенным правилам или предписаниям. Рассмотрим, например, рамку с пуговицами, имеющую вертикальные прорези-петли. При расстегивании пуговиц нужно выполнить следующие действия:
положить рамку перед собой так, чтобы правое полотнище ткани находилось над левым;
если есть застегнутые пуговицы, перейти к предписанию 3, в противном случае — к предписанию 10;
большим и указательным пальцами правой руки сжать верхнюю застегнутую пуговицу справа;
большим и указательным пальцами левой руки сжать край ткани слева на уровне пуговицы;
потянуть пуговицу и ткань одновременно в разные стороны: пуговицу — вправо, ткань — влево;
когда отверстие расширится, отогнуть пуговицу и вставить в петлю ее левую половину;
7) отпустить обе руки;
8) большим и указательным пальцами правой руки потянуть край ткани вправо, так чтобы пуговица полностью освободилась;
9) отпустить край ткани и перейти к предписанию 2;
10) закончить работу.
Очевидно, перед нами снова пример алгоритма, на этот раз алгоритма расстегивания пуговиц. Поскольку на рамке имеется 6 пуговиц, действия 3—9 будут повторяться несколько раз, пока все пуговицы не окажутся расстегнутыми, следовательно: данный алгоритм является циклическим.
Достаточно часто сложная деятельность, включающая выполнение многих действий, предполагает, по Монтессори, тренировку отдельных умений — например, переливание воды сначала предлагается как самостоятельное упражнение, а позже входит в качестве составного элемента в такие упражнения, как мытье пола, посуды, фруктов и овощей и т.д. Если ребенок освоил способ мытья рук в тазике с водой, значит, он должен научиться убирать за собой: ополаскивать тазик, насухо протирать стол и остальные предметы, менять полотенце и тряпочки. Таким образом, более простые и короткие алгоритмы или же их отдельные звенья — последовательности действий — могут стать составными частями более сложных алгоритмов.
Хорошо известно [2], что в ходе воспитания и обучения в детском саду, работающем по любой системе — не только Монтессори, — ребенок знакомится с самыми разными видами деятельности, осуществляемой по определенным правилам или предписаниям, например: с подвижными и дидактическими играми, правилами поведения в обществе, правилами перехода улицы, одевания и раздевания и т.д. Подобные правила также являются алгоритмами, однако у Монтессори этот аспект усилен. Подобное усиление происходит как за счет разнообразия видов практической деятельности и используемых при этом алгоритмов, так и вследствие способа показа той или иной деятельности — четкого выделения начала, конца и каждого этапа работы; демонстрации одного и того же алгоритма работы с конкретным материалом каждому ребенку, а также — если вспомнить о сенсорных материалах — за счет применения, по существу, одного и того же алгоритма при работе с разными материалами (составлении пар, се-