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¤) •®ç«¥--®¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ -¨¥ à冷¢.
•ãáâì - ¤® - ©â¨ à §«®¦¥-¨¥ -¥ª®â®à®© äã-ªæ¨¨ ¢ á⥯¥--®© àï¤. …᫨ 㤠áâáï - ©â¨ â ªãî äã-ªæ¨î g(x); çâ® f (x) = g0(x); â®, à §«®¦¨¢ äã-ª- æ¨î g(x) ¢ á⥯¥--®© àï¤ ¨ ¯à®¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ ¢ ¥£® ¯®ç«¥--®, ¯®«ã稬 à §«®¦¥-¨¥ ¢ àï¤ äã-ªæ¨¨ f (x): •à¨ í⮬ ¯®«ãç¥--®¥ à §«®¦¥-¨¥ ¢¥à-® - ⮬ ¦¥ ¨-â¥à¢ «¥, £¤¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 à §«®¦¥-¨¥ ¢¥à-® ¤«ï äã-ªæ¨¨ g(x):
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‡ ¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫ì-®£® à¥è¥-¨ï
• ¯¨á âì à §«®¦¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ ¢ á⥯¥--®© àï¤ á æ¥-â஬ ¢ â®çª¥ x0 = 0 ¨
- ©â¨ ¬-®¦¥á⢮ á室¨¬®á⨠¯®«ãç¥--®£® àï¤ :
179) shx = ex e x : 2
42 |
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180)chx = ex + e x : 2
181)ax; a > 0; a =6 1:
182)x2e 2x:
183)sinx2:
184)sin2 x:
185)cos2 x:
186)sin3 x:
1
187) 1 x2:
1
188) 1 + x4:
189) 1 +12x:
190) 4 3 x:
191) 3 +12x:
1
192) 2 + 3x2:
5x 1
193) x2 5x + 6:
2x + 3
194) x2 4x + 3:
x 7 195) 6 x x2:
196) ln(1 x2):
r
197) ln 5 11 + xx:
198) ln 11 + 33xx: 199) ln(1+ 5x):
200) ln(5+ 2x):
201) ln(1+ 2x2):
202) ln 23xx ++ 11: 203) ln(x2 5x + 4):
204) ln(x2 10x + 9): 205) ln(6+ x x2): 206) ln(1 x + x2):
207) ln(1+ x + x2): p
208) 1 + x2:
x5. •ï¤ë ’¥©«®à . • §«®¦¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ ¢ á⥯¥--®© àï¤ |
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209) p5 |
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216) arcsin3x:p |
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2 |
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217) ln |
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221)x3 x; x0 = 1:
222)ex; x0 = 2:
1
223) x; x0 = 3:
p
224) px; x0 = 4:
225) 3 x; x0 = 1:
1
226) 2 x x2; x0 = 3:
1
227) x2 + 3x + 2; x0 = 4: 228) lnx; x0 = 1:
229) sin3x; x0 = 3:
x
230) sin 4 ; x0 = 2:
x
231) sin 3 ; x0 = 1:
44 |
x6. •à¨«®¦¥-¨ï á⥯¥--ëå à冷¢ |
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x6. •à¨«®¦¥-¨ï á⥯¥--ëå à冷¢ |
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• §«®¦¥-¨ï ®á-®¢-ëå í«¥¬¥-â à-ëå äã-ªæ¨© ¢ á⥯¥--®© àï¤ (á¬. x5) ¬®¦- -® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï ¯à¨¡«¨¦•¥--®£® ¢ëç¨á«¥-¨ï §- ç¥-¨© íâ¨å äã-ªæ¨©.
•ãáâì - ¤® - ©â¨ f (x0) ¤«ï äã-ªæ¨¨ f (x); ª®â®à ï à ᪫ ¤ë¢ ¥âáï ¢ á⥯¥--®© àï¤
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1 |
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f (x0) = a0 + a1x0 + a2x20 + : : : + anxn0 + : : :
‡ ¬¥-ïï §- ç¥-¨¥ f (x0) á㬬®© n ç«¥-®¢ í⮣® àï¤
Sn = a0 + a1x0 + a2x20 + : : : + an 1xn0 1;
¯®«ãç ¥¬ ¯à¨¡«¨¦•¥--®¥ §- ç¥-¨¥ f (x0); ¯à¨ í⮬ ®è¨¡ª à ¢-
(2) jrn(x)j = janxn0 + an+1xn0+1 + : : : j:
‚ ᨫã á室¨¬®á⨠àï¤ (1) ¢ â®çª¥ x = x0; ¯à¨ ¤®áâ â®ç-® ¡®«ì讬 n í⠮訡ª áâ -¥â ᪮«ì 㣮¤-® ¬ «®© ¨ Sn ¤ •¥â §- ç¥-¨¥ f (x0) á «î¡®©
-¯¥à•¥¤ § ¤ --®© â®ç-®áâìî. „«ï ¢ëç¨á«¥-¨ï f (x0) á § ¤ --®© â®ç-®áâìî
-¤® 㬥âì ¯à®¨§¢®¤¨âì ®æ¥-ªã ®áâ ⪠(2), çâ® ¯®§¢®«ï¥â ¡à âì âॡ㥬®¥
ç¨á«® ç«¥-®¢ ¢ Sn:
Žæ¥-ª ®áâ ⪠àï¤ ®á®¡¥--® ¯à®áâ , ¥á«¨ àï¤ ã¤®¢«¥â¢®àï¥â ¯à¨§- ªã ‹¥©¡-¨æ (á¬. ¯ã-ªâ 3.1). ‚ í⮬ á«ãç ¥ ®áâ ⮪ ¨¬¥¥â §- ª ᢮¥£® ¯¥à¢®£®
ç«¥- ¨ ¯® ¡á®«îâ-®© ¢¥«¨ç¨-¥ ¬¥-ìè¥ ¥£®.
‚ á«ãç ¥ ¯à®¨§¢®«ì-®£® àï¤ ¡á®«îâ- ï ¢¥«¨ç¨- rn -¥ ¯à¥¢®á室¨â áã¬¬ë ¡á®«îâ-ëå ¢¥«¨ç¨- ç«¥-®¢, ¢å®¤ïé¨å ¢ rn: „«ï 㦥 ¯®«ãç¥--®£® ¯®«®¦¨â¥«ì-®£® àï¤ áâ à îâáï - ©â¨ «¥£ª® á㬬¨àã¥¬ë© àï¤ ¨§ ¯®«®¦¨- ⥫ì-ëå ç«¥-®¢, ç«¥-ë ª®â®à®£® ¡ë«¨ ¡ë -¥ ¬¥-ìè¥ ¡á®«îâ-ëå ¢¥«¨ç¨- ç«¥-®¢ ®áâ ⪠, ¨ ®æ¥-¨¢ îâ ®áâ ⮪ á㬬®© í⮣® àï¤ .
•à¨¬¥à 1. ‚ëç¨á«¨âì á â®ç-®áâìî ¤® 10 4 §- ç¥-¨¥ cos18 :
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n=0 |
(2n)! |
102n |
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’ ª ª ª íâ®â àï¤ ã¤®¢«¥â¢®àï¥â ¯à¨§- ªã ‹¥©¡-¨æ , â® ¥£® ®áâ ⮪ rn -¥ ¯à¥¢ëè ¥â ¯® ¡á®«îâ-®© ¢¥«¨ç¨-¥ ¯¥à¢®£® ¨§ ç«¥-®¢ ¢ rn: • ©¤•¥¬ n ¨§
x6. •à¨«®¦¥-¨ï á⥯¥--ëå à冷¢ |
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|
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2n |
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< 10 4: |
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|
|
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(2n)! 102n |
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> 10 4: |
|
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200 |
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1 |
|
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2 |
> 10 4: |
|
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|
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|
|
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4! 104 |
104 |
|
|
|
|
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6 |
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1 |
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6 |
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|
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< 10 4: |
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6! 106 |
104 |
6! 102 |
104 |
|
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104 |
24 |
62 |
53 |
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+ |
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0; 951: |
|
|
|
|
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|
|
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2! 102 |
4! 104 |
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|
|
|
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•à¨¬¥à 2. ‚ëç¨á«¨âì á â®ç-®áâìî ¤® 10 |
4 |
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630: |
|
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1 |
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4 |
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|
|
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4 |
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+ 0; 008 = 5(1+ 0; 008) |
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p630 = p625+ 5 = p625(1+ 0; 008) = 5p1 |
4 |
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(1+ 0; 008) |
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0; 008 |
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(0; 008)2 |
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(0; 008)3 |
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•â®â àï¤ ã¤®¢«¥â¢®àï¥â ¯à¨§- ªã ‹¥©¡-¨æ . •®í⮬㠥£® ®áâ ⮪ -¥ ¯à¥- ¢®á室¨â ¯® ¡á®«îâ-®© ¢¥«¨ç¨-¥ ¯¥à¢®£® ¨§ ç«¥-®¢, ¢å®¤ïé¨å ¢ ®áâ ⮪. ‚ á«ãç ¥ n = 3 jr3j 6 5 6 10 6 = 3 10 5 < 10 4: ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¤®áâ â®ç-® ¢§ïâì ¤¢ ç«¥- àï¤
pp
4 630 = 5 4 1 + 0; 008 = 5(1+ 0; 002) = 5; 01:
•à¨¬¥à 3. ‚ëç¨á«¨âì á â®ç-®áâìî ¤® 10 3 ¨-â¥£à «
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|
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1 |
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(1 + x)m ¢ á⥯¥--®© àï¤ (¢ |
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x2: |
|
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(1+ x2) 3 = 1 |
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x2 + |
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x6 + : : : |
3 |
9 |
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0; 1 |
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2
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11
22
Z p3 1 + x2 |
= Z 1 3x2 + 9x4 |
81x6 |
+ : : : dx = |
|
|
|
|
|
|
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|
dx |
|
1 |
2 |
|
14 |
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
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0 |
|
0 |
|
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|
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|
|
|
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|
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|
x3 |
x5 |
14x7 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
7 |
|
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|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
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|
|
= x |
|
+ |
2 |
|
|
+ : : : 0 |
= |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ : : : |
||||||
|
|
9 |
45 |
567 |
2 |
72 |
720 |
36288 |
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¡á®«îâ-®¬ã |
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§- ç¥-¨î ¬¥-ìè¥ 0; 001: ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, âॡ㥬 ï â®ç-®áâì ¡ã¤¥â ®¡¥á¯¥- ç¥- , ¥á«¨ ãç¨âë¢ âì ⮫쪮 ¯¥à¢ë¥ âਠ童- àï¤ .
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z0 |
2 |
|
dx |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
39 |
|
|
|
p3 |
|
|
+ |
= |
= 0; 4875: |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
2 |
72 |
720 |
80 |
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1 + x2 |
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¯à¨¡«¨¦•¥--®¥ §- ç¥-¨¥ ¡ã¤¥â á ¨§¡ë⪮¬. •®í⮬㠮⢥â á â®ç-®áâìî ¤®
0; 001 |
à ¢¥- 0; 487: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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•¥è¥-¨¥: •®«ì§ãïáì à §«®¦¥-¨ï¬¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
ln(1 + x) |
= |
x |
|
x2 |
+ |
|
x3 |
|
|
3 |
: : : + ( |
|
1)n 1 |
xn |
+ : : : ; |
|
1 < x 6 1; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||
|
|
ln(1 x) |
= |
x |
x |
|
|
x |
|
: : : |
x |
: : : ; 1 6 x < 1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
3 |
n |
|
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¯®«ã稬, çâ® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|||
1 |
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ln |
|
|
= ln(1 + x) ln(1 x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
2 |
5 |
|
|
|
2 |
|
2m+1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
= 2x + |
|
|
x |
|
|
|
+ |
|
x |
|
+ : : : + |
|
x |
|
|
+ : : : ; |
jxj < 1: |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
2m + 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
x6. |
•à¨«®¦¥-¨ï á⥯¥--ëå à冷¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47 |
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•®« £ ï x = |
1; ¨¬¥¥¬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 31 |
|
|
|
|
|
3 44 3 35 5 37 |
7 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
ln |
3 |
|
= ln2 = 2 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ : : : : |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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‡ ¤ --ãî â®ç-®áâì ®¡¥á¯¥ç¨¢ îâ ç¥âëॠ童- |
í⮣® àï¤ , ¯®áª®«ìªã |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r5 = 2 |
1 |
+ |
1 |
|
|
+ : : : = |
2 |
|
1 + |
1 |
+ |
1 |
+ : : : < |
||||||||||||||||||||||||||
39 9 |
311 11 |
39 9 |
32 11 |
34 13 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39 9 |
|
32 |
34 |
|
|
|
|
39 9 |
1 |
91 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
2 |
|
|
1 + |
1 |
+ |
1 |
+ : : : = |
2 |
|
1 |
|
< 10 4: |
|||||||||||||||||
•®í⮬ã |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
ln2 3 |
1 + |
27 + 405 |
+ 5103 |
|
0; 6931: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¯®¯ë⪠|
|
¢ëç¨á«¨âì ln2 ¯ãâ•¥¬ ¯®¤áâ -®¢ª¨ x = 1 ¢ àï¤ ’¥©- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
«®à |
¤«ï äã-ªæ¨¨ ln(1+x) ¯à¨¢¥¤•¥â ª ®ç¥-ì £à®¬®§¤ª¨¬ ¢ëç¨á«¥-¨ï¬, â ª |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ª ª ¤«ï -ã¦-®© â®ç-®á⨠¯à¨¤•¥âáï ¢§ïâì 1000 ç«¥-®¢ àï¤ . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.2.•à¨¬¥-¥-¨¥ à冷¢ ¤«ï à¥è¥-¨ï ¤¨ää¥à¥-æ¨ «ì-ëå ãà ¢-¥- -¨©
•ãáâì âॡã¥âáï à¥è¨âì ®¡ëª-®¢¥--®¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨ «ì-®¥ ãà ¢-¥-¨¥ ¯¥à- ¢®£® ¯®à浪 y0 = f (x; y) ¯à¨ § ¤ --ëå - ç «ì-ëå ãá«®¢¨ïå y = y0 ¯à¨ x = x0; â® ¥áâì y(x0) = y0: •à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® y(x) ï¥âáï à¥è¥-¨¥¬ ¤ -- -®£® ãà ¢-¥-¨ï ¯à¨ 㪠§ --®¬ ãá«®¢¨¨. •¥è¥-¨¥ ãà ¢-¥-¨ï y(x) ¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥ àï¤ ’¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ x = x0:
(3)y(x) = y(x0) + y0(1!x0)(x x0) + y00(2!x0)(x x0)2+
+y000(x0)(x x0)3 + : : : + y(n)(x0)(x x0)n + : : :
3! n!
‘¢®¡®¤-ë© ç«¥- à §«®¦¥-¨ï (3), â® ¥áâì y(x0); ¨§¢¥áâ¥- ¨§ - ç «ì-®- £® ãá«®¢¨ï. ‡- ç¥-¨¥ y0(x0) ¬®¦-® ¯®«ãç¨âì, ¥á«¨ ¯®¤áâ ¢¨âì - ç «ì-®¥ ãá«®¢¨¥ ¢ ¤¨ää¥à¥-æ¨ «ì-®¥ ãà ¢-¥-¨¥. ‡- ç¥-¨¥ y00(x0) ¬®¦-® ¯®«ãç¨âì, ¥á«¨ ¯à®¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ âì ®¡¥ ç á⨠¤¨ää¥à¥-æ¨ «ì-®£® ãà ¢-¥-¨ï, § - ⥬ ¯®¤áâ ¢¨âì 㦥 ¨§¢¥áâ-ë¥ §- ç¥-¨ï y(x0) ¨ y0(x0) ¯à¨ x = x0: •®áâ㯠ï - «®£¨ç-®, â® ¥áâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-® ¤¨ää¥à¥-æ¨àãï ®¡¥ ç á⨠§ ¤ --®-
£® ¤¨ää¥à¥-æ¨ «ì-®£® ãà ¢-¥-¨ï ¯® ¯¥à¥¬¥--®© x; ¬®¦-® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-® - 室¨âì §- ç¥-¨ï y000(x0); yI V (x0) ¨ â ª ¤ «¥¥.
48 x6. •à¨«®¦¥-¨ï á⥯¥--ëå à冷¢
•à¨¬¥à 5. • ©â¨ ç áâ-®¥ à¥è¥-¨¥ y(x) ¤¨ää¥à¥-æ¨ «ì-®£® ãà ¢-¥-¨ï y0 = 2xy x cosx; ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 - ç «ì-®¬ã ãá«®¢¨î y(0) = 1:
•¥è¥-¨¥: ’ ª ª ª ¯® ãá«®¢¨î x0 = 0; â® ¨áª®¬®¥ ç áâ-®¥ à¥è¥-¨¥ y(x)
¬®¦-® § ¯¨á âì â ª |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 |
(0) |
y00(0) |
2 |
|
y000(0) |
3 |
|
|||
(4) |
y(x) = y(0) + |
|
|
x + |
|
x |
|
+ |
|
x |
|
+ : : : |
1! |
2! |
|
3! |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
‘¢®¡®¤-ë© ç«¥- y(0) = 1 ¯® ãá«®¢¨î. ‡- ç¥-¨¥ y0(0) - 室¨¬, ¯®¤áâ ¢«ïï ¢ § ¤ --®¥ ãà ¢-¥-¨¥ - ç «ì-ë¥ ãá«®¢¨ï:
y0(0) = 2 0 1 0 cos0 = 0:
•®á«¥¤®¢ ⥫ì-® ¤¨ää¥à¥-æ¨àãï ¤ --®¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨ «ì-®¥ ãà ¢-¥-¨¥, - -
室¨¬ y00(x); y000(x); yI V (x) ¨ â ª ¤ «¥¥, § ⥬ ¢ëç¨á«ï¥¬ §- ç¥-¨ï ¯à®¨§- |
||||||
¢®¤-ëå ¯à¨ x = 0 : |
|
|
|
|
||
y00(x) |
= |
2y + 2xy0 cosx + x sinx; |
|
|
y00(0) = 1; |
|
y000(x) = |
2y0 |
+ 2y0 + 2xy00 + sinx + sinx + x cosx = |
|
|||
yI V (x) |
= |
4y0 |
+ 2xy00 + 2sinx + x cosx; |
|
x sinx; |
y000(0) = 0; |
= |
4y00 |
+ 2y00 + 2xy000 + 2cosx + cosx |
|
yI V (0) = 9: |
||
|
|
|
|
|
|
|
•®¤áâ ¢¨¢ - ©¤¥--ë¥ §- ç¥-¨ï ¯à®¨§¢®¤-ëå ¯à¨ x = 0 ¢ àï¤ (4), ¯®«ã稬 ¯¥à¢ë¥ ç«¥-ë à §«®¦¥-¨ï ¢ á⥯¥--®© àï¤ ¨áª®¬®£® ç áâ-®£® à¥è¥-¨ï
y(x) = 1 + 1!0 x + 2!1 x2 + 3!0 x3 + 4!9 x4 + : : : = 1 + 12x2 + 38x4 + : : :
•à¨¬¥à 6. • ©â¨ ¯¥à¢ë¥ âਠ童- à §«®¦¥-¨ï ¢ á⥯¥--®© àï¤ ç áâ- -®£® à¥è¥-¨ï y(x) ¤¨ää¥à¥-æ¨ «ì-®£® ãà ¢-¥-¨ï y00 = xy0 y +ex; ᮮ⢥â- áâ¢ãî饥 - ç «ì-ë¬ ãá«®¢¨ï¬ y(0) = 1; y0(0) = 0:
•¥è¥-¨¥: •à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ¨áª®¬®¥ ç áâ-®¥ à¥è¥-¨¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ (4). ˆ§ - ç «ì-ëå ãá«®¢¨© 㦥 ¨§¢¥áâ-ë y(0) ¨ y0(0): •®¤áâ ¢¨¢ í⨠§- ç¥-¨ï ¢
§ ¤ --®¥ ãà ¢-¥-¨¥, ¢ëç¨á«¨¬ y00(0): |
1 + e0 = 0: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
y00(0) = 0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
•®á«¥¤®¢ ⥫ì-® ¤¨ää¥à¥-æ¨àãï ¤ --®¥ ãà ¢-¥-¨¥, ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì |
||||||||||||||||||
|
|
y000(x) = y0 |
+ xy00 y0 + ex = xy00 + ex; |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
yI V (x) = y00 + xy000 + ex: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
’¥¯¥àì ¢ëç¨á«¨¬ §- ç¥-¨ï ¯à®¨§¢®¤-ëå ¯à¨ x = 0: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
y000(0) = 1; |
|
yI V (0) = 1: |
|
|
|
|
|
|
||||||
‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y(x) = 1 + |
0 |
x + |
0 |
x2 + |
|
1 |
x3 |
+ |
1 |
x4 + : : : = 1 + |
1 |
x3 |
+ |
1 |
x4 |
+ : : : |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1! |
2! |
3! |
|
|
4! |
|
6 |
|
24 |
|
||||||||
x6. •à¨«®¦¥-¨ï á⥯¥--ëå à冷¢ |
49 |
¥áâì ¨áª®¬®¥ ç áâ-®¥ à¥è¥-¨¥.
‡ ¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫ì-®£® à¥è¥-¨ï
‚ëç¨á«¨âì á â®ç-®áâìî ¤® 10 3: p
232)p3 10:
233)pe:
234)3 30:
235)sin18 :
236)arcsin 13:
1=2
237) Z sinx dx: x
0
1
Z
238)e x2dx:
0
3=2
Z
239)x6 sinx dx:
0
3
240) Z arctg x1 dx:
2
1=2
Zp
241)xexdx:
0
‚ëç¨á«¨âì á â®ç-®áâìî ¤® 10 4:
242) ln3: |
|
243) ln6: |
p2 á â®ç-®áâìî ¤® 10 5; ¨áå®¤ï ¨§ ¥£® ¯à¥¤- |
244) ‚ëç¨á«¨âì §- ç¥-¨¥ |
áâ ¢«¥-¨ï ¢ ¢¨¤¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
) p2 = 1; 4r |
|
|
|
|
; |
1 |
|
|||
1 + 1; 96 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
0; |
04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
¡) p2 = 1; 4 1 |
|
|
||||||||
|
|
|
; |
|
||||||
50 |
|
|
1 |
|||||||
¢) p2 = 1; 41 |
1 2000 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
119 |
|
||||
50 x6. •à¨«®¦¥-¨ï á⥯¥--ëå à冷¢
¨ áà ¢-¨âì ®¡ê•¥¬ ¯à®¢¥¤•¥--ëå ¢ëç¨á«¥-¨© ¢ ª ¦¤®¬ á«ãç ¥.
245) „®ª § âì, çâ® ¯à¨ ¯à¨¡«¨¦•¥--®¬ ¢ëç¨á«¥-¨¨ §- ç¥-¨ï ¢ëà ¦¥-¨ï
pa2 + b; b > 0 ¯® ä®à¬ã«¥ pa2 + b = a |
1 + 2a2 |
|
®è¨¡ª -¥ ¯à¥¢®á室¨â |
|||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
ç¨á« |
b2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
||
8a3 |
|
|
|
|
||||||
|
246) „®ª § âì, çâ® ¯à¨ ¯à¨¡«¨¦•¥--®¬ ¢ëç¨á«¥-¨¨ §- ç¥-¨ï ¢ëà ¦¥-¨ï |
|||||||||
p3 a3 + b; ab > 0 ¯® ä®à¬ã«¥ p3 a3 + b = a |
1 + 3a3 |
|
®è¨¡ª -¥ ¯à¥¢®á室¨â |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
ç¨á« |
|
b2 |
|
|
|
||||
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
9a5 |
|
|
|
||||||
247) Žæ¥-¨âì ®è¨¡ªã ¯à¨ ¯à¨¡«¨¦•¥--®¬ ¢ëç¨á«¥-¨¨ §- ç¥-¨ï ¢ëà ¦¥- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
n |
|
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n |
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-¨ï pan + b; a > 0; b > 0 ¯® ä®à¬ã«¥ pan + b = a + |
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: |
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nan 1 |
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1 |
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• ©â¨ n ¯¥à¢ëå ç«¥-®¢ à §«®¦¥-¨ï ¢ á⥯¥--®© àï¤ n=0 an(x x0)n à¥è¥-¨ï |
|||||||
¤¨ää¥à¥-æ¨ «ì-®£® ãà ¢-¥-¨ï á § ¤ --묨 - ç «ì-P |
|||||||
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= y2 x; |
|
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묨 ãá«®¢¨ï¬¨: |
||
248) y0 |
x0 = 0; |
y(0) = 1; |
n = 5: |
||||
249) y0 |
= x2 y2; |
x0 = 0; |
y(0) = 1; |
n = 5: |
|||
250) y0 |
= x3 + y2; |
x0 = 0; |
y(0) = 1; |
n = 5: |
|||
251) y0 |
= x + |
1 |
; |
x0 = 0; |
y(0) = 1; |
n = 4: |
|
|
|||||||
252) y0 |
|
y |
|
|
|
|
|
= 2x + cosy; x0 = 0; |
y(0) = 0; n = 4: |
||||||
253) 2y0 (x + y)y ex = 0; |
x0 = 0; |
y(0) = 2; n = 4: |
|||||
• ©â¨ ç áâ-®¥ à¥è¥-¨¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨ «ì-®£® ãà ¢-¥-¨ï ¢ ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ x = 0 ¢ ¢¨¤¥ á⥯¥--®£® àï¤ á æ¥-â஬ ¢ -ã«¥:
254) xy00 |
+ y0 |
+ xy = 0; |
y(0) = 1; |
y0(0) = 0: |
255) xy00 |
+ y0 |
xy = 0; |
y(0) = 1; |
y0(0) = 0: |
256) xy00 |
xy0 y = 0; |
y(0) = 0; |
y0(0) = 1: |
|
257) x2y00 + xy0 + x2y = 0; y(0) = 1; y0(0) = 0: