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|
|
|
|
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n=2 n lnn |
|
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x + 3 |
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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n |
|
|
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153) n=0 |
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: |
|
|
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x + 5 |
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• ©â¨ ¬P |
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
1
154) P xn:
n=0
1
155) P 5nxn:
n=0
1
156) P (ax)n; a =6 0:
n=0
1
157) P (n + 1)2xn:
|
n=0 |
xn |
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
158) n=1 |
lnn |
: |
|
|
|
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|
1 |
|
|
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xn |
|
|
|
160) |
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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: |
|
|||
|
|
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159) n=2 pn |
lnn n |
: |
||||||
|
1 |
(x |
|
1) |
|
|
||
161) |
P |
|
|
|
|
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n!xn: |
|
|
|
|||||
|
n=0 |
2n |
+ 1 |
|
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
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P
n=1
x4. ”ã-ªæ¨®- «ì-ë¥ àï¤ë |
33 |
|||||||||||||
|
1 |
xn |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
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162) |
P |
|
5 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
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n=1 |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
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||||
|
|
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|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
163) |
1 |
n x |
: |
|
|
|
|
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P |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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n |
|
|
|
|
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n=1 |
n + 2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
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164) n=0 (pn + 1)n |
: |
|
||||||||||||
165) |
1 |
(2n)!!x |
: |
|
|
|||||||||
P |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
166) |
1 |
x |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
nn |
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
n=1 |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
167) |
1 |
(x 5) |
: |
|
|
|||||||||
P |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
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|
n=1 |
|
n + 5 |
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
168) |
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
10n : |
|
|
|||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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169) |
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|
|
|
|
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n=1
•à¨¬¥-ïï ¯®ç«¥--®¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ -¨¥ ¨«¨ ¨-⥣à¨à®¢ -¨¥, - ©â¨ á㬬ã àï¤ :
170) x + x2 + x3 + x4 + : : :
2 3 4
171) x x2 + x3 x4 + : : :
2 3 4
172) x + x3 + x5 + x7 + : : :
3 5 7
173) |
x2 |
+ |
x4 |
+ |
x6 |
+ |
x8 |
+ : : : |
||
2 |
4 |
6 |
8 |
|||||||
174) |
x2 |
|
x4 |
|
+ |
x6 |
|
|
x8 |
+ : : : |
2 |
4 |
|
6 |
|
8 |
|||||
175) x x3 + x5 x7 + : : :
3 5 7
176)1 + 2x + 3x2 + 4x3 + : : :
177)1 3x2 + 5x4 7x6 + : : :
178)1 2x + 3x2 4x3 + : : :
34 x5. •ï¤ë ’¥©«®à . • §«®¦¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ ¢ á⥯¥--®© àï¤
x5. •ï¤ë ’¥©«®à . • §«®¦¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ ¢ á⥯¥--®© àï¤
5.1. •ï¤ë ’¥©«®à |
|
|
|
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•ï¤ ¢¨¤ |
|
|
|
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1 |
1 |
f n(x0) |
f n(x0) |
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X |
X |
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n=0 |
n! |
(x x0)n; an = |
n! |
n=0 |
|
|
|
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-§ë¢ ¥âáï à冷¬ ’¥©«®à äã-ªæ¨¨ f (x) ¢ â®çª¥ x0:
‡¬¥ç -¨¥. Š ª 㦥 £®¢®à¨«®áì (á¬. x4), á⥯¥--®© àï¤
1 |
f n(x0) |
|
X |
|
(x x0)n; |
n=0 |
n! |
|
|
|
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à ¤¨ãᮬ á室¨¬®á⨠ª®â®à®£® ï¥âáï ¯®«®¦¨â¥«ì-®¥ ç¨á«® R; ¢ ¨-â¥à- ¢ «¥ á室¨¬®á⨠(x0 R;x0 + R) ®¯à¥¤¥«ï¥â äã-ªæ¨î
1 |
f n(x0) |
|
X |
|
(x x0)n: |
S(x) = |
n! |
|
n=0 |
|
|
”ã-ªæ¨¨ f (x) ¨ S(x) -¥®¡ï§ ⥫ì-® ᮢ¯ ¤ îâ - ¨-â¥à¢ «¥ (x0 R;x0+R): •à¨¬¥à 1. ‚ëç¨á«¨¢ §- ç¥-¨¥ ¯à®¨§¢®¤-ëå f (n)(x0); - ¯¨á âì 3 ®â«¨ç-
-ëå ®â -ã«ï ç«¥- àï¤ ’¥©«®à äã-ªæ¨¨ f (x) ¢ â®çª¥ x0: f (x) = 2px; x0 = 4; n = 3:
•¥è¥-¨¥: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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= |
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x 21 2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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x |
= ln2; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
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2p |
|
|
|
|
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1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
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= |
ln2 |
|
x |
|
|
x |
= |
ln2 |
|
ln2 |
|
1 |
|
||||||
4 |
|
x |
ln2 |
|
2 |
4 |
|
|
2 |
: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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x=4 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•®«ãç ¥¬ ®ª®-ç ⥫ì-ë© ®â¢¥â:
4 + ln2 (x 4) + ln216 (2ln2 1) (x 4)2 + : : :
5.2. • §«®¦¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ ¢ á⥯¥--®© àï¤
‚®§¬®¦-®áâì ¯®ç«¥--®£® ¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ -¨ï ¨ ¨-⥣à¨à®¢ -¨ï á⥯¥--®- £® àï¤ ¢-ãâਠ¥£® ¨-â¥à¢ « á室¨¬®á⨠(á¬. ¯ã-ªâ 4.3), â ª¦¥ ®â-®á¨- ⥫ì- ï ¯à®áâ®â á⥯¥--®© äã-ªæ¨¨ ¤¥« îâ á⥯¥--ë¥ àï¤ë -¥§ ¬¥-¨¬ë- ¬¨ ª ª ¢ ⥮à¥â¨ç¥áª¨å, â ª ¨ ¢ ¯à ªâ¨ç¥áª¨å ¨áá«¥¤®¢ -¨ïå. …áâ¥á⢥--®
x5. •ï¤ë ’¥©«®à . • §«®¦¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ ¢ á⥯¥--®© àï¤ |
35 |
¢®§-¨ª ¥â ¢®¯à®á ® à §«®¦¥-¨¨ äã-ªæ¨¨ ¢ á⥯¥--®© àï¤ ¨ ¨áá«¥¤®¢ -¨¨ ®¡« á⨠¥£® á室¨¬®áâ¨.
•ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® äã-ªæ¨ï f (x) - ¨-â¥à¢ «¥ (x0 R;x0 + R) ¬®¦¥â
¡ëâì à §«®¦¥- |
¢ á⥯¥--®© àï¤, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â á⥯¥--®© àï¤, á室ï- |
|
騩áï ª f (x) - |
í⮬ ¨-â¥à¢ «¥, â® ¥áâì |
|
|
|
1 |
|
|
X |
f (x) = |
an(x x0)n; x 2 (x0 R;x0 + R): |
|
n=0
‚ ¨бб«¥¤®¢ -¨пе ® а §«®¦¨¬®бв¨ дг-ªж¨¨ ¢ бв¥¯¥--®© ап¤ ®б-®¢-л¬¨ п¢«повбп б«¥¤гой¨¥ гв¢¥а¦¤¥-¨п.
1) …᫨ äã-ªæ¨ï f (x) ¬®¦¥â ¡ëâì à §«®¦¥- - ¨-â¥à¢ «¥ (x0 R;x0 + R) ¢ á⥯¥--®© àï¤, â® íâ®â àï¤ ï¢«ï¥âáï à冷¬ ’¥©«®à äã-ªæ¨¨
f (x) ¢ â®çª¥ x0:
2)„«ï ⮣® ç⮡ë äã-ªæ¨ï f (x) ¯à¥¤áâ ¢«ï« áì á⥯¥--ë¬ à冷¬ ¢ ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ x0; -¥®¡å®¤¨¬®, çâ®¡ë ¢ -¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ-®áâ¨
í⮩ â®çª¨ äã-ªæ¨ï f (x) ¨¬¥« ¯à®¨§¢®¤-ë¥ ¢á¥å ¯®à浪®¢.
3) „«ï ⮣® ç⮡ë äã-ªæ¨ï f (x) ¬®£« |
¡ëâì à §«®¦¥- ¢ àï¤ ’¥©«®- |
à - ¨-â¥à¢ «¥ (x0 R;x0 + R); -¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç-®, ç⮡ë |
|
®áâ â®ç-ë© ç«¥- ¢ ä®à¬¥ ‹ £à -¦ |
¢ ä®à¬ã«¥ ’¥©«®à ¤«ï í⮩ |
äã-ªæ¨¨ |
|
|
|
|
|
|
|
R |
(f; x; x |
) = |
f (n+1)(x0 + (x x0)) |
(x |
|
x |
)n+1; 0 < < 1 |
n |
0 |
|
(n + 1)! |
|
0 |
|
|
áâ६¨«áï ª -ã«î ¯à¨ n ! 1 - 㪠§ --®¬ ¨-â¥à¢ «¥. ‘ãé¥áâ¢ãîâ à §«¨ç-ë¥ ¬¥â®¤ë à §«®¦¥-¨ï äã-ªæ¨¨ ¢ á⥯¥--®© àï¤.
)•¥¯®á।á⢥--®¥ à §«®¦¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ ¢ àï¤ ’¥©«®à .
‚í⮬ á«ãç ¥, - 室ï f (n)(x0); ä®à¬ «ì-® á®áâ ¢«ïîâ àï¤
1 |
f n(x0) |
|
X |
|
(x x0)n; |
n=0 |
n! |
|
|
|
|
- 室ïâ ®¡« áâì á室¨¬®á⨠í⮣® àï¤ ¨ - «¨§¨àãîâ, ¤«ï ª ª¨å §- ç¥-¨© ¯¥à¥¬¥--®© x ¨§ ®¡« á⨠á室¨¬®á⨠á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥-á⢮
1 |
f n(x0) |
|
X |
|
(x x0)n: |
f (x) = |
n! |
|
n=0 |
|
|
•à¨¬¥à 2. • §«®¦¨âì äã-ªæ¨î f (x) = ex ¢ á⥯¥--®© àï¤ á æ¥-â஬ ¢ â®çª¥ x0 = 0:
36 |
x5. •ï¤ë ’¥©«®à . • §«®¦¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ ¢ á⥯¥--®© àï¤ |
|
•¥è¥-¨¥: |
„«ï ¢ëç¨á«¥-¨ï ª®íää¨æ¨¥-⮢ àï¤ ’¥©«®à , ¯®á«¥¤®¢ - |
|
⥫ì-® ¤¨ää¥à¥-æ¨à¥¬ äã-ªæ¨î f (x) : |
||
|
f 0(x) = ex; |
f 00(x) = ex; : : : ; f (n)(x) = ex; : : : |
‚ëç¨á«¨¬ §- ç¥-¨ï á ¬®© äã-ªæ¨¨ ¨ ¥•¥ ¯à®¨§¢®¤-ëå ¯à¨ x = 0: |
||
f (0) = e0 = 1; |
f 0(0) = e0 = 1; : : : ; f (n)(0) = e0 = 1; : : : |
|
C®áâ ¢¨¬ ¤«ï äã-ªæ¨¨ f (x) àï¤ ’¥©«®à .
(1)1 + 1!1 x + 2!1 x2 + 3!1 x3 + : : : + n1!xn + : : :
•®áª®«ìªã ¤«ï à ¤¨ãá á室¨¬®á⨠R í⮣® á⥯¥--®£® àï¤ ¨¬¥¥¬ |
|||
R = nlim |
(n + 1)! |
= nlim n + 1 = +1; |
|
|
|
||
n! |
|||
!1 |
|
|
!1 |
â® àï¤ á室¨âáï ¯à¨ «î¡®¬ x:
‚ëïá-¨¬, ¤«ï ª ª¨å §- ç¥-¨© x - ©¤¥--®¥ à §«®¦¥-¨¥ á室¨âáï ª äã-ª- 樨 ex: ’ ª ª ª
|
|
|
f (n+1)(x) = ex; |
|
||||
â® ®áâ â®ç-ë© ç«¥- ¢ ä®à¬¥ ‹ £à -¦ |
§ ¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥ |
|||||||
|
e x |
ex |
|
|
|
|
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Rn(ex; x; 0) = |
|
xn+1 < |
|
xn+1 |
|
|||
|
|
|
||||||
|
(n + 1)! |
(n + 1)! |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
¤«ï -¥ª®â®à®£® ; 0 < < 1: |
||
„«ï ¯à®¨§¢®«ì-®£® 䨪á¨à®¢ --®£® x 2 ( 1;+1) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
lim Rn(ex; x; 0) = lim |
|
|
xn+1 |
= 0: |
|||
|
|
|
||||||
|
n!1 |
n!1 |
|
(n + 1)! |
|
|||
‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, àï¤ (1) á室¨âáï ª äã-ªæ¨¨ ex ¯à¨ «î¡®¬ x 2 ( 1;+1):
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex = 1 + |
x |
|
x2 |
x3 |
xn |
||||
|
|
+ |
|
+ |
|
+ : : : + |
|
+ : : : ; |
|
1! |
2! |
3! |
|
||||||
|
|
|
|
n! |
|||||
£¤¥ 1 < x < +1:
Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¬¥â®¤ à §«®¦¥-¨ï äã-ªæ¨¨ f (x) ¢ á⥯¥--®© àï¤ -¥¯®- á।á⢥--ë¬ ¢ëç¨á«¥-¨¥¬ ¥•¥ ¯à®¨§¢®¤-ëå f (n)(x0); n = 1; 2; 3; : : : ¯®§¢®- «ï¥â - ©â¨, ª ª ¯à ¢¨«®, ⮫쪮 «î¡®¥ ª®-¥ç-®¥ ç¨á«® ç«¥-®¢ í⮣® àï¤ , ¯®áª®«ìªã - ©â¨ ®¡éãî ä®à¬ã«ã ¤«ï f (n)(x0) ¡ë¢ ¥â § âàã¤-¨â¥«ì-®, -¥ £®¢®àï 㦥 ®¡ ¨áá«¥¤®¢ -¨¨ á室¨¬®á⨠àï¤ ª äã-ªæ¨¨ f (x):
¡) ˆá¯®«ì§®¢ -¨¥ ®á-®¢-ëå â ¡«¨ç-ëå à §«®¦¥-¨©.
x5. •ï¤ë ’¥©«®à . • §«®¦¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ ¢ á⥯¥--®© àï¤ |
37 |
„«ï à §«®¦¥-¨ï ª®-ªà¥â-®© äã-ªæ¨¨ f (x) ¢ á⥯¥--®© àï¤ á æ¥-â஬ ¢ â®çª¥ x0 = 0 ¯®«м§говбп а §«®¦¥-¨п¬¨ ®б-®¢-ле дг-ªж¨©. •®б«¥ ª ¦¤®© д®а¬г«л гª § -® ¬-®¦¥бв¢® б室¨¬®бв¨ ап¤ .
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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= n=0 |
|
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= 1 + x + |
|
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|
|
|
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|
|
|
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+ : : : + |
|
|
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+ : : : ; |
|
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jxj < 1; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
2! |
|
|
|
3! |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
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2 |
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: : : |
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(2n 1)!! |
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n+1 |
: : : ; |
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jxj < 1: |
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x |
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|
x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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2 4 |
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(2n+2)!! |
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n ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© |
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n! = n (n 1) (n 2) : : : 3 2 1; |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
- ¯à¨¬¥à, 7! = 7 6 5 4 3 2 1: |
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„¢®©-®© ä ªâ®à¨ « ç¨á« |
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|
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n ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ |
|
|
|
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n!! = n (n 2) (n 4) : : : ;
- ¯à¨¬¥à, 7!! = 7 5 3 1; 10!! = 10 8 6 4 2:
38 |
|
|
x5. •ï¤ë ’¥©«®à . • §«®¦¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ ¢ á⥯¥--®© àï¤ |
|||||||||||||||||||||
‚ ç áâ-®áâ¨, |
|
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(2n 1)!! = (2n 1) (2n 3) : : : 7 5 3 1; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(2n)!! = (2n) (2n 2) : : : 8 6 4 2: |
||||||||||||||||||||
•à¨¬¥à 3. • §«®¦¨âì äã-ªæ¨î f (x) = e1 2x3 ¢ á⥯¥--®© àï¤ á æ¥-â஬ |
||||||||||||||||||||||||
¢ â®çª¥ x0 = 0: |
|
|
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•¥è¥-¨¥: •®áª®«ìªã e1 2x3 = e |
|
e 2x3; â®, ¯®« £ ï |
|
2x3 = y ¨ ¨á¯®«ì§ãï |
||||||||||||||||||||
|
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y |
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¨¬¥¥¬ àï¤ |
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â ¡«¨ç-®¥ à §«®¦¥-¨¥ ¤«ï äã-ªæ¨¨ e |
|
|
|
|
|
|
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3 |
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|
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2 |
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yn |
|
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|
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|
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|
= e e 2x |
|
= e ey = e 1 + y |
+ |
y |
+ : : : + |
|
+ : : : = |
|||||||||||||||
|
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2! |
n! |
|||||||||||||||||||||
|
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) |
2 |
|
|
|
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|
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x3 |
) |
n |
|
|
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||||
|
|
= e 1 + ( 2x3) + |
( 2 |
|
|
|
+ : : : + |
( 2 |
|
+ : : : = |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||
|
|
2! |
|
|
|
|
n! |
|
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|
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|
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22e |
|
|
|
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2ne |
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|
|
|
|
= e 2ex3 + |
|
x6 + : : : |
+ ( 1)n |
|
x3n + : : : |
|||||||||||||||
|
|
|
|
2! |
n! |
|||||||||||||||||||
’ ª ª ª à §«®¦¥-¨¥ ¢ àï¤ äã-ªæ¨¨ ey ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¤«ï ¢á¥å y; â® ¨ à §- «®¦¥-¨¥ ¢ àï¤ ¤ --®© äã-ªæ¨¨ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¤«ï ¢á¥å jxj < 1:
•à¨¬¥à 4. • §«®¦¨âì äã-ªæ¨î f (x) = 1+41x2 ¢ á⥯¥--®© àï¤ á æ¥-â஬ ¢ â®çª¥ x0 = 0:
•¥è¥-¨¥: •®« £ ï 4x2 = y ¨ ¨á¯®«ì§ãï â ¡«¨ç-®¥ à §«®¦¥-¨¥ ¤«ï äã-ªæ¨¨ 1+1y ; ¨¬¥¥¬ àï¤
1= 1 4x2 + (4x2)2 (4x2)3 + : : : + ( 1)n(4x2)n + : : : =
1 + 4x2
=1 4x2 + 16x4 64x6 + : : : + ( 1)n4nx2n + : : :
•â®â2 àï¤ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¨á室-ãî äã-ªæ¨î |
1¤«ï x â |
1ª¨å, çâ® jyj < 1; â® ¥áâì |
j4x j < 1; ¨ §- ç¨â ¤«ï x ¨§ ¯à®¬¥¦ã⪠|
2 < x < |
2: |
¢) ˆá¯®«ì§®¢ -¨¥ á«®¦¥-¨ï ¨ ¢ëç¨â -¨ï à冷¢. |
||
‚ -¥ª®â®àëå á«ãç ïå à §«®¦¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ ¢ á⥯¥--®© àï¤ ¬®¦-® ¯®«ã- ç¨âì, á㬬¨àãï â ¡«¨ç-ë¥ ¨«¨ à -¥¥ - ©¤¥--ë¥ à §«®¦¥-¨ï.
•à¨¬¥à 5. • §«®¦¨âì äã-ªæ¨î f (x) = |
|
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1 |
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¢ á⥯¥--®© àï¤ á æ¥-- |
||||||||||||||||||||||||
x2 2x 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
â஬ ¢ â®çª¥ x0 = 0: |
|
|
|
|
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|||
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|
|
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x + 1 |
= 12 |
|
1 x3 |
4 |
1 + x: |
||||||||||||||||||||
f (x) = x2 2x 3 = |
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
||||
•à¨¬¥-ïï ¨§¢¥áâ-ë¥ à §«®¦¥-¨ï ¤«ï äã-ªæ¨© |
1 |
¨ |
1 |
|
; ¨¬¥¥¬ |
|
|
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1+y |
1 y |
|
|
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1 |
|
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x |
|
x |
|
2 |
|
|
x |
|
n |
|
|
|
x |
|
|
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|
|
|
|
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+ : : : ; |
|
|
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< 1 |
|
|
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|
1 x3 = 1 + |
3 |
|
+ 3 |
+ : : : + 3 |
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|
3 |
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||||||||||||||||||
|
|
|
|
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||
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|
|
|
|
|
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x5. |
•ï¤ë ’¥©«®à . • §«®¦¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ ¢ á⥯¥--®© àï¤ |
|
|
|
|
39 |
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¨ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
= 1 x + x2 : : : + ( 1)nxn + : : : ; jxj < 1; |
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
|
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1 + x |
|
|
|
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á«¥¤®¢ ⥫ì-® ¯®«ãç ¥¬ |
|
|
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|
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1 |
1 + |
x |
+ |
x |
|
2 |
+ : : : + |
x |
|
n |
+ : : : |
|
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(2) |
f (x) = |
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12 |
3 |
|
3 |
|
3 |
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1 |
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+ x2 : : : + ( 1)nxn + : : :) = |
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(1 x |
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4 |
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|
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n |
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
7 |
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( |
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1)n+1 |
1 |
|
1 |
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||||||||||||||||||
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= |
|
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+ |
|
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x |
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x2 + : : : + |
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xn + : : : |
||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
3 |
9 |
27 |
|
4 |
|
12 |
3 |
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•®áª®«ìªã ¯¥à¢ë© àï¤ á室¨âáï ª äã-ªæ¨¨ |
1 |
¯à¨ jxj |
< 3; |
|
|
¢â®à®© { ª |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 x3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
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1 |
|
|
|
äã-ªæ¨¨ |
|
¯à¨ jxj |
< 1; â® àï¤ (2) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â äã-ªæ¨î |
|
|
¯à¨ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1+x |
x2 2x 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
jxj < 1: |
|
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2 |
) ¢ |
|||||||||||
|
•à¨¬¥à 6. • §«®¦¨âì ¢ á⥯¥--®© àï¤ äã-ªæ¨î f (x) = ln(1+ x + x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
â®çª¥ x0 = 0: |
|
|
|
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||||||||||
|
•¥è¥-¨¥: •à¥¤áâ ¢¨¬ ¤ --ãî äã-ªæ¨î ¢ ¢¨¤¥ |
|
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1 + x3 |
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|||
|
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|
ln(1 x + x2) = ln |
|
|
= ln(1 + x3) ln(1+ x): |
|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
’¥¯¥àì à §«®¦¨¬ ¢ á⥯¥--®© àï¤ ª ¦¤ãî ¨§ äã-ªæ¨© ln(1+x3) ¨ ln(1+x):
ln(1 + x3) |
= |
x3 |
x6 |
+ |
x9 |
: : : + ( 1)n 1 |
x3n |
+ : : : ; |
|
jx3j < 1; jxj < 1; |
|||||||||||||||||||
22 |
33 |
nn |
|
||||||||||||||||||||||||||
ln(1 + x) |
= |
x |
x |
+ |
x |
: : : + ( 1)n 1 |
x |
+ : : : ; |
jxj < 1: |
||||||||||||||||||||
2 |
|
3 |
n |
||||||||||||||||||||||||||
‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, |
|
|
|
|
|
|
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|
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|||
ln(1 x + x2) = |
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|||||
|
x2 |
|
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1 |
|
|
|
|
|
x4 |
x5 |
1 |
|
|
1 |
|
x7 |
||||||||||||
= x |
|
|
+ |
1 + |
|
|
x3 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
x6 + |
|
: : : ; jxj < 1: |
||||||||
|
2 |
3 |
4 |
5 |
2 |
6 |
7 |
||||||||||||||||||||||
„«ï à §«®¦¥-¨ï äã-ªæ¨¨ f (x) ¢ á⥯¥--®© àï¤ á æ¥-â஬ ¢ â®çª¥ x0 =6 0 ç áâ® ¯à¨¬¥-ï¥âáï á«¥¤ãî騩 ¬¥â®¤: ¢¢®¤¨âáï -®¢ ï ¯¥à¥¬¥-- ï t = x x0 ¨ ¨é¥âáï à §«®¦¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ f (t) = f (t +x0) ¢ á⥯¥--®© àï¤ ¯® á⥯¥-ï¬ t (á æ¥-â஬ ¢ â®çª¥ t0 = 0)
1
X
f (t) = antn; jtj < R;
n=0
®âªã¤ ¯®«ãç ¥¬, çâ®
1
X
f (x) = an(x x0)n; jx x0j < R:
n=0
40 |
|
|
|
|
|
|
|
x5. |
•ï¤ë ’¥©«®à . • §«®¦¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ ¢ á⥯¥--®© àï¤ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
•à¨¬¥à 7. • §«®¦¨âì äã-ªæ¨î f (x) = |
1 |
¢ á⥯¥--®© àï¤ á æ¥-â஬ ¢ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
â®çª¥ x0 = 3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = t 3; á«¥¤®¢ ⥫ì-® |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
•¥è¥-¨¥: Ž¡®§- 稬 t = x + 3; ⮣¤ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = f (t) = |
|
1 |
|
|
= |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
: |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
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|
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t |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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1 3 |
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||||||||||||||||||||
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•®« £ ¥¬ |
t |
= y ¨, ¨á¯®«ì§ãï â ¡«¨ç-®¥ à §«®¦¥-¨¥ ¤«ï äã-ªæ¨¨ |
1 |
; ¨¬¥¥¬ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
àï¤ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
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1 + 3 |
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3 |
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|
3 |
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+ : : :! ; |
|
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|
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f (t) = 3 |
+ |
2 |
+ : : : + |
n |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
1 |
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t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
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|
|
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jyj < 1; |
|
|
3t < 1; 3 < t < 3: |
|||||||||||||
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1 (x + 3) (x + 3)2 |
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(x + 3)n |
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33 |
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x |
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f (x) = f (x0) + Z |
'(t)dt; |
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X |
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n=0 |
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f (x) = f (x ) + |
1 |
an(x x0)n+1 |
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; x x < R: |
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0 |
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X |
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j |
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0j |
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n=0 |
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n + 1 |
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x |
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ln(1+t) |
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f (x) = |
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1; |
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t = 0 |
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'(t)dt; |
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'(t) = |
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t |
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t |
6= 0; |
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