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Донецкий национальный университет экономики и торговли им. М. Туган-Барановского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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x limx0+ f (x) = f (x0 + 0);

f (x) = f (x0 0)

+ 0) + f (x0 0)):

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☆

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x7. •ï¤ë ”ãàì¥

•ï¤®¬ ”ãàì¥ äã-ªæ¨¨ f (x) - ¨-â¥à¢ «¥ ( l;l) - §ë¢ ¥âáï àï¤ ¢¨¤

(1) f (x) a20 + X an cos n l x + bn sin n l x ;

n=1

£¤¥

(2)	an	=		l	f (x)cos n l		dx;	(n = 0; 1; 2; 3; : : :);
			1l Z
						x
				l
(3)	bn	=		l	f (x)sin n l		dx;	(n = 1; 2; 3; : : :):
			1l Z
						x

‡- ª ®§- ç ¥â, çâ® äã-ªæ¨¨ f (x) áâ ¢¨âáï ¢ á®®â¢¥âáâ¢¨¥ âà¨£®-®¬¥âà¨- ç¥áª¨© àï¤ ¯® ¤ --®© ä®à¬ã«¥.

‚ á«ãç ¥, ª®£¤ l = ; â® ¥áâì f (x) § ¤ - - ¨-â¥à¢ «¥ ( ; ); àï¤ ”ãàì¥ äã-ªæ¨¨ f (x) § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥

(4)		f (x)			a0	1
(4)		f (x)			2	+ n=1 (an cosnx + bn sinnx);
£¤¥						X
£¤¥
			1
(5)	an	=	1	Z	f (x)cosnx dx;		(n = 0; 1; 2; 3; : : :);



			1
(6)	bn	=	1	Z	f (x)sinnx dx;		(n = 1; 2; 3; : : :):

‚ ç áâ-®áâ¨, ¥á«¨ äã-ªæ¨ï f (x) ç•¥â- ï - ( l;l); â® ¢á¥ ª®íää¨æ¨¥-âë

bn à ¢-ë -ã«î, â ª ª ª ¢ ä®à¬ã«¥ (3) ¨-â¥£à « ¡¥à•¥âáï ®â -¥ç•¥â-®© äã-ª- æ¨¨ ¯® á¨¬¬¥âà¨ç-®¬ã ®â-®á¨â¥«ì-® -ã«ï ¨-â¥à¢ «ã. ‚ ä®à¬ã«¥ (2) ¢ íâ®¬

á«ãç ¥ ¨-â¥£à « ¡¥à•¥âáï ®â ç•¥â-®© äã-ªæ¨¨ ¯® á¨¬¬¥âà¨ç-®¬ã ®â-®á¨â¥«ì- -® -ã«ï ¨-â¥à¢ «ã, ¯®íâ®¬ã íâ®â ¨-â¥£à « à ¢¥- ã¤¢®¥--®¬ã ¨-â¥£à «ã ®â â®© ¦¥ äã-ªæ¨¨ ¯® ¨-â¥à¢ «ã (0;l):

ˆâ ª, ¢ á«ãç ¥ ç•¥â-®© äã-ªæ¨¨ f (x) - ¨-â¥à¢ «¥ ( l;l) ¨¬¥¥¬

		a0	1	n x
			X
(7)	f (x)	2	+ n=1 an cos	l	;

52				x7. •ï¤ë ”ãàì¥
£¤¥
(8)	an = 2l Z0	l		dx; (n = 0; 1; 2; 3; : : :):
(8)	an = 2l Z0	f (x)cos n l		dx; (n = 0; 1; 2; 3; : : :):
			x

€- «®£¨ç-®, ¥á«¨ äã-ªæ¨ï f (x) ï¢«ï¥âáï -¥ç•¥â-®© - ¨-â¥à¢ «¥ ( l;l);

â® ¯®«ãç ¥¬
		1			n x
			X
(9)		f (x)		bn sin	l	;
			n=1
£¤¥
(10)	bn = 2l Z0	l		dx;	(n = 1; 2; 3; : : :):
(10)	bn = 2l Z0	f (x)sin n l		dx;	(n = 1; 2; 3; : : :):
			x

’®çª x0 2 ( l;l) - §ë¢ ¥âáï à¥£ã«ïà-®© â®çª®© äã-ªæ¨¨ f (x); ®¯à¥- ¤¥«•¥--®© - ¨-â¥à¢ «¥ ( l;l); ¥á«¨ áãé¥áâ¢ãîâ ª®-¥ç-ë¥ ¯à¥¤¥«ë

‡ ¬¥в¨¬, зв® ¢б¥ в®зª¨ -¥¯а¥ал¢-®бв¨ дг-ªж¨¨ п¢«повбп ¥•¥ а¥£г«па-л¬¨ в®зª ¬¨.

”ã-ªæ¨ï f (x) - §ë¢ ¥âáï ªãá®ç-®-£« ¤ª®© - ¨-â¥à¢ «¥ ( l;l); ¥á«¨

1) ¬-®¦¥áâ¢® M â®ç¥ª à §àë¢ äã-ªæ¨¨ f (x) - ( l;l) ª®-¥ç-®, ¨ ª - ¦¤ ï â®çª x0 2 M ¥áâì â®çª à §àë¢ ¯¥à¢®£® à®¤ ,

2)äã-ªæ¨ï f (x) ¤¨ää¥à¥-æ¨àã¥¬ ¢® ¢á¥å â®çª å ¨-â¥à¢ « ( l;l) § ¨áª«îç¥-¨¥¬ ª®-¥ç-®£® ç¨á« â®ç¥ª M1 (M M1);

3)¤«ï ª ¦¤®© â®çª¨ x0 2 M1 áãé¥áâ¢ãîâ ¯à¥¤¥«ë

lim	f (x0 + h) f (x0 + 0)	;	lim	f (x0 0) f (x0 h)	:
	h			h
h!0+			h!0+

—â®¡ë àï¤ ”ãàì¥ (1) äã-ªæ¨¨ f (x) - ¨-â¥à¢ «¥ ( l;l) áå®¤¨«áï ª äã-ª- æ¨¨ f (x); § ¤ -- ï äã-ªæ¨ï f (x) - ( l;l) ¤®«¦- ã¤®¢«¥â¢®àïâì ®¯à¥- ¤¥«•¥--ë¬ ãá«®¢¨ï¬. ‘ä®à¬ã«¨àã¥¬ â¥®à¥¬ã à §«®¦¥-¨ï.

…á«¨ äã-ªæ¨ï f (x) ï¢«ï¥âáï ªãá®ç-®-£« ¤ª®© - ¨-â¥à¢ «¥ ( l;l); â® ¤«ï «î¡®© à¥£ã«ïà-®© â®çª¨ x0 2 ( l;l) àï¤ ”ãàì¥ (1) äã-ªæ¨¨ f (x) ¢ â®çª¥ x0

x7. •ï¤ë ”ãàì¥

áå®¤¨âáï ª f (x0):

n x

f (x0) = 20 + n=1

an cos n l 0 + bn sin

•à¨¬¥à 1. • ©â¨ à §«®¦¥-¨¥ ¢ àï¤ ”ãàì¥

äã-ªæ¨¨ f (x) - ¨-â¥à¢ «¥ ( ; ):

f (x) =

32;

¥á«¨

0 6 x < :

;

¥á«¨

< x < 0;

•¥è¥-¨¥:

‡ ¤ -- ï äã-ªæ¨ï f (x) ã¤®¢«¥-

â¢®àï¥â ãá«®¢¨ï¬ â¥®à¥¬ë ® à §«®¦¨¬®áâ¨ ¢

àï¤ ”ãàì¥, â ª ª ª -

¨-â¥à¢ «¥ ( ; ) äã-ª-

æ¨ï ¨¬¥¥â ®¤-ã â®çªã à §àë¢

¯¥à¢®£® à®¤

(¯à¨ x = 0),

¢® ¢á¥å ¤àã£¨å â®çª å íâ®£® ¨--

â¥à¢ « ®- ¤¨ää¥à¥-æ¨àã¥¬ . ‘«¥¤®¢ â¥«ì-®, ¤«ï ¤ --®© äã-ªæ¨¨ á¯à - ¢¥¤«¨¢® à ¢¥-áâ¢®

f (x) = a20 + X (an cosnx + bn sinnx):

n=1

—â®¡ë - ©â¨ ª®íää¨æ¨¥-â a0; ¯à¨¬¥-ï¥¬ ä®à¬ã«ã (5) ¯à¨ n = 0:

a0 = Z f (x)dx =

2dx + Z 3dx1 =

[ 2x]0 + [3x]0 =

( 2 + 3 ) = 1:

’¥¯¥àì - å®¤¨¬ ª®íää¨æ¨¥-âë an (n = 1; 2; 3; : : :) ¯® ä®à¬ã«¥ (5).

an =

0Z 2cosnx dx + Z 3cosnx dx1

= 0:

2sinnx

3sinnx

x7. •ï¤ë ”ãàì¥

•®«ì§ãïáì ä®à¬ã«®© (6) ®¯à¥¤¥«¨¬ ª®íää¨æ¨¥-âë bn:

bn =

0Z 2sinnx dx + Z 3sinnx dx1 =

2cosnx

3cosnx

0! =

(2 2cos( n ) 3cosn + 3) =

n10

¯à¨ n -¥ç•¥â-®¬,

(1 cosn ) =

2sin

¯à¨ n ç•¥â-®¬.

•®¤áâ ¢¨¢ - ©¤¥--ë¥ ª®íää¨æ¨¥-âë an ¨ bn ¢ ä®à¬ã«ã (4), ¯®«ãç¨¬ á«¥¤ã- îé¥¥ à §«®¦¥-¨¥ ¢ àï¤ ”ãàì¥ ¤ --®© äã-ªæ¨¨ f (x) - § ¤ --®¬ ¨-â¥à¢ «¥ ( ; )

	1		10		1		1		1
f (x) =		+		sinx +		sin3x +		sin5x +		sin7x + : : : :
	2				3		5		7

•®«ãç¥--®¥ à ¢¥-áâ¢® á¯à ¢¥¤«¨¢® ¯à¨ «î¡®¬ §- ç¥-¨¨ x; ¨áª«îç ï â®çªã

à §àë¢

= 0; ¢ ª®â®à®© áã¬¬ àï¤ à ¢-

2 + 3

;

â® ¥áâì à ¢-

áà¥¤-¥¬ã

à¨ä¬¥â¨ç¥áª®¬ã §- ç¥-¨© ¤ --®© äã-2ªæ¨¨ á«2¥¢

¨ á¯à ¢

®â

â®çª¨ à §àë¢ .

•à¨¬¥à 2. • §«®¦¨âì ¢ àï¤ ”ãàì¥ äã-ª-

æ¨î f (x) -

¨-â¥à¢ «¥ ( 2;2); £¤¥

f (x) = x;

¥á«¨ 0 6 x < 2:

¥á«¨

2 < x <

•¥è¥-¨¥: „«ï ¢ëç¨á«¥-¨ï ª®íää¨æ¨¥-â®¢

”ãàì¥ ¯à¨¬¥-¨¬ ä®à¬ã«ë (2) ¨ (3), ¯®¤áâ ¢¨¢

¢ -¨å l = 2 ¨ ãç¨âë¢ ï ¯à¨ íâ®¬, çâ® äã-ªæ¨ï

§ ¤ -

à §«¨ç-ë¬¨

- «¨â¨ç¥áª¨¬¨ ¢ëà ¦¥-

-¨ï¬¨ ¤«ï à §«¨ç-ëå ®¡« áâ¥© ¨§¬¥-¥-¨ï ¯¥-

à¥¬¥--®© x:

0dx + Z

0 = 1;

a0 = 2 0Z

x dx1 = 2

@ 2

x7. •ï¤ë ”ãàì¥

an = 2

0cos

dx +

dx1

= 2

n 2

+ n2 22

x cos

n x

sin n x

cos n x

@ 2

¯à¨ n -¥ç•¥â-®¬,

(cosn

1) =

n02 2

¯à¨ n ç•¥â-®¬,

n2 2

bn = 2

0sin

2 dx1

= 2

+ n2 22

dx +

x sin

n x

cos n x

sin n x 2

@ 2

= n cosn =

¯à¨ n ç•¥â-®¬.

nn2

¯à¨ n -¥ç•¥â-®¬,

•®¤áâ ¢¨¢ - ©¤¥--ë¥ ª®íää¨æ¨¥-âë ¢ ä®à¬ã«ã (1), ¯®«ãç¨¬ ¨áª®¬®¥ à §- «®¦¥-¨¥ § ¤ --®© äã-ªæ¨¨ f (x):

f (x) = 2

cos 2 + 312 cos

512

cos

+ : : : +

+ : : : :

+ sin

2 sin

3 sin

4 sin

2 x

3 x

4 x

•à¨¬¥à 3.

• §«®¦¨âì ¢ àï¤ ”ãàì¥ äã-ª-

æ¨î f (x) = jxj - ¨-â¥à¢ «¥ ( 1;1):

•¥è¥-¨¥:

•â

äã-ªæ¨ï ï¢«ï¥âáï ç•¥â-®©.

„«ï ¢ëç¨á«¥-¨ï ª®íää¨æ¨¥-â®¢ ”ãàì¥ ¯®« £ -

¥¬ l = 1 ¢ ä®à¬ã«¥ (8).

1 x

a0 =

x dx = 2

0 = 1;

an = 2Z0

n2 2

x cos(n x)dx = 2

x sin(n x)

cos(n x)

1) =

¯à¨ n -¥ç•¥â-®¬,

(cosn

n02 2

n2 2

¯à¨ n ç•¥â-®¬.

•®¤áâ ¢¨¢ - ©¤¥--ë¥ ª®íää¨æ¨¥-âë ¢ ä®à¬ã«ã (7), ¯®«ãç¨¬ ¨áª®¬®¥ à §- «®¦¥-¨¥ § ¤ --®© äã-ªæ¨¨ ¢ àï¤ ”ãàì¥.

jxj = 2		42	cos x +	32	+ 52		+ : : : :
1				cos3 x		cos5 x

56	x7. •ï¤ë ”ãàì¥

•®«ãç¥--®¥ à ¢¥-áâ¢® á¯à ¢¥¤«¨¢® ¯à¨ «î¡®¬ x 2 ( 1;1):

•à¨¬¥à 4. • §«®¦¨âì ¢ àï¤ ”ãàì¥ äã-ª- æ¨î f (x) = x - ¨-â¥à¢ «¥ ( ; ):

•¥è¥-¨¥: ’ ªª ª ¤ -- ïäã-ªæ¨ï ï¢«ï¥â- áï -¥ç•¥â-®©, â® ª®íää¨æ¨¥-âë an = 0: •®« £ ï l = ¢ ä®à¬ã«¥ (6), - å®¤¨¬ ª®íää¨æ¨¥-âë bn:

	2
bn =	2	Z0	x sinnx dx =

							=
=		n		+	n2	0	=
2	x cosnx				sinnx

y	6
y	6





			-




	0	x

			2		2	¯à¨ n -¥ç•¥â-®¬,
		= n cosn =			n2	¯à¨ n ç•¥â-®¬.
					n
‘«¥¤®¢ â¥«ì-®, à §«®¦¥-¨¥ ¢ àï¤ ”ãàì¥ ¤ --®© äã-ªæ¨¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤
x = 2	sinx 2 sin2x +		3 sin3x	4 sin4x + : : : :
	1		1	1

”ã-ªæ¨î f (x); ®¯à¥¤¥«•¥--ãî ¢ ¨-â¥à¢ «¥ (0;l) ¨ ®¡« ¤ îéãî ¢ -•¥¬ ¯à¨¢¥¤•¥--ë¬¨ ¢ â¥®à¥¬¥ à §«®¦¥-¨ï á¢®©áâ¢ ¬¨ (á¬. á. 52), ¬®¦-® ¢ íâ®¬ ¨-â¥à¢ «¥ ¯à¥¤áâ ¢¨âì ª ª ä®à¬ã«®© (7), â ª ¨ ä®à¬ã«®© (9).

•à¨¬¥à 5. • §«®¦¨âì ¢ àï¤ ¯® ª®á¨-ãá ¬ äã-ªæ¨î f (x) = 4 x2 - ¨-â¥à¢ «¥ (0; ):

•¥è¥-¨¥: „«ï ®¯à¥¤¥«¥-¨ï ª®íää¨æ¨¥-â®¢ ”ãàì¥ ¢ àï¤¥ (7) ¯à¨¬¥-¨¬ ä®à¬ã«ã (8).

a0 =

dx =

0 = 0;

an =

cosnx dx =

Z ( 2x)cosnx dx =

= 21 ( 2x)sinn

2cosnx

cosn

2sin2 n

¯à¨ n -¥ç•¥â-®¬,

= n02

¯à¨ n ç•¥â-®¬.

x7. •ï¤ë ”ãàì¥									57
‘«¥¤®¢ â¥«ì-®, ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãîé¥¥ à §«®¦¥-¨¥								+ : : :
4	2 =		cosx +	32	+	52		+ : : :	:
		x	2	cos3x	cos5x
•à¨¬¥à 6. • §«®¦¨âì äã-ªæ¨î f (x) = x -							¨-â¥à¢ «¥ (0;1) ¢ àï¤ ¯®
á¨-ãá ¬.

•¥è¥-¨¥: „«ï ®¯à¥¤¥«¥-¨ï ª®íää¨æ¨¥-â®¢ ”ãàì¥ ¢ àï¤¥ (9) ¯à¨¬¥-¨¬ ä®à¬ã«ã (10).

cos(n x)

sin(n x)

bn = 2Z0

x sin(n x)dx = 2

n2 2

2cosn

¯à¨ n -¥ç•¥â-®¬,

¯à¨ n ç•¥â-®¬.

‘«¥¤®¢ â¥«ì-®, ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãîé¥¥ à §«®¦¥-¨¥

x =

sin x

sin2 x +

sin3 x

sin4 x + : : : :

‚ á¨«ã ®¤¨- ª®¢®©¯¥à¨®¤¨ç-®áâ¨ âà¨£®-®¬¥âà¨ç¥áª¨å äã-ªæ¨©,àï¤ ”ã- àì¥ (1), ¯à¥¤áâ ¢«ïîé¨© äã-ªæ¨î f (x) - ( l;l); ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¢ ª ¦¤®¬ ®âà¥§ª¥ [a;b] ( l;l) äã-ªæ¨î f (x); ¯®«ãç¥--ãî 2l ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¬ ¯à®- ¤®«¦¥-¨¥¬ äã-ªæ¨¨ f (x) á ¨-â¥à¢ « ( l;l) - ¢áî ç¨á«®¢ãî ¯àï¬ãî § ¨áª«îç¥-¨¥¬ â®ç¥ª ¢¨¤ (2m + 1)l; m 2 Z: ‡- ç¥-¨ï f ((2m + 1)l); m 2 Z ¢ë¡¨à îâáï ¯à®¨§¢®«ì-®. …á«¨ ®¯à¥¤¥«¥-ë §- ç¥-¨ï f (l 0) ¨ f ( l + 0) (á¬. (11)), â® ®¡ëç-® ¯®« £ îâ

f ((2m + 1)l) = 12 (f (l 0)+ f ( l + 0)); m 2 Z:

•®íâ®¬ã, ¥á«¨ äã-ªæ¨ï f (x) ã¤®¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î (12) ¢ â®çª¥ x = l; â® àï¤ (1) áå®¤¨âáï ¢ â®çª å x = (2m + 1)l; m 2 Z ª äã-ªæ¨¨ f ((2m + 1)l):

‡ ¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ïâ¥«ì-®£® à¥è¥-¨ï

• §«®¦¨âì äã-ªæ¨î f (x) ¢ âà¨£®-®¬¥âà¨ç¥áª¨© àï¤ ”ãàì¥ - § ¤ --®¬ ®âà¥§ª¥:

258) f (x) = x sinx -	[ ; ]:
259) f (x) = x cosx -	[ ; ]:
bx;	< x 6	;	- [ ; ]:
260) f (x) = ax; 0 < x < 0			- [ ; ]:

x7. •ï¤ë ”ãàì¥

0 < x 6

;

261) f (x) =

[0; ]:

< x <

262) f (x) =

< x 6 0;

[

; ]:

1 x;

0 < x <

6 x <

;

[ 1;1]:

263) f (x) = x + 1;

016 x 6 10

264)f (x) = x2 - [ ; ]:

265)f (x) = x2 - [0;2 ]:

266) f (x) = x2 -

[0; ]:

267) f (x) =

x2; 0 < x < ;

[ ; ]:

x2;

< x < 0

268) f (x) = x02;;

< x <

;

[ ; ]:

0 < x < 0

269) f (x) =

x < 2;

[ ; ]:

2j6j x 6

270) f (x) =

1; 0 < x < 2;

[0;2 ]:

0; 2 6 x 6 2

271) f (x) = sign(sinx) - [ ; ]:

6 x 6 0;

[ ; ]:

272) f (x) = sinx;

0 < x 6

273) f (x) =

2 6 jxj

;

- [

; ]:

< cosx;

jxj <

f x

sin5 x -

[

; ]:

274)

(

) =

275) f (x) = cos

[ ; ]:

276) f (x) = arcsin(cosx) -

[ 10 ;10 ]:

277) f (x) = arcsin(sinx) -

[6 ;20 ]:

278) f (x) = chx -

[ ; ]:

279) f (x) = shx -

[ ; ]

280) f (x) = sinx -

;

281) f (x) = cosx -

;

282)

f x

) = cos

[0; ]:

(

283) f (x) = 11; ;

< x 6

;

[ c;c]:

0c < x < c0

284) f (x) =

0; c < x 6 0;

[ c;c]:

0 < x < c

285) f (x) = x -

[ c;c]:

x7. •ï¤ë ”ãàì¥			59
286) f (x) =	x;	0 < x 6 c;	- [ c;c]:
286) f (x) =	0;	c < x 6 0	- [ c;c]:

287)f (x) = jxj - [ c;c]:

288)f (x) = x2 - [ 1;1]:

289)f (x) = x2 - [0;2]:

290) f (x) = c2 x2 - [ c;c]:

291)f (x) = eax; a 6= 0; - [0;2]:

•§«®¦¨âì äã-ªæ¨î f (x) ¢ àï¤ ”ãàì¥ - § ¤ --®¬ ®âà¥§ª¥ ¯® ª®á¨-ãá ¬:

292) f (x) = sinx - [0; ]:

293) f (x) = x cosx -	[0; ]:
294) f (x) = e2x - [0; ]:
295) f (x) = sin2x -	[0; ]:

• §«®¦¨âì äã-ªæ¨î f (x) ¢ àï¤ ”ãàì¥ - § ¤ --®¬ ®âà¥§ª¥ ¯® á¨-ãá ¬:

296) f (x) = cosx -	[0; ]:
297) f (x) = x sinx -	[0; ]:

298) f (x) = eax - [0; ]:

299) f (x) = sinax; a { -¥ æ¥«®¥, - [0; ]: 300) f (x) = shax - [0; ]:

Žâ¢¥âë

1) an = n3:

2) an =

3) an

2n 1

4) an =

n(n+3)

2n 1

2n+1

5) a1 = 21; a2 = 54; a3 =

; a4 = 1710:

6) a1 = 21; a2 =

; a3 =

; a4 =

7) a1 = 3; a2 = 1; a3 = 61; a4 =

: 8) a1 = 21; a2 = 41; a3 = 61; a4 = 81:

a2 = 43;

a3 = 91;

10) 23:

11) 43: 12) 2+p3

2+p3

: 13) 1:

9) a1 = 1;

a4 =

14)

18:

15)

16)

17)

18)

19) 1 2:

29) ‘å®¤¨âáï.

(1 a)2

30)

• áå®¤¨âáï.

31) ‘å®¤¨âáï.

32) ‘å®¤¨âáï.

33)

‘å®¤¨âáï.

34)

‘å®¤¨âáï.

35) ‘å®¤¨âáï.

36) • áå®¤¨âáï.

37)

‘å®¤¨âáï.

“ª § -¨¥:

38) • áå®¤¨âáï.

39) • áå®¤¨âáï.

lnn

lnlnn

(lnn)

40)

‘å®¤¨âáï.

41) ‘å®¤¨âáï.

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