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x1. —¨á«®¢ë¥ àï¤ë. •¥®¡å®¤¨¬ë© ¯à¨§- ª á室¨¬®- á⨠àï¤
1.1. Ž¡é¨¥ ¯®-ïâ¨ï
•ãáâì a1; a2; a3; : : : ; an; : : : { ¯à®¨§¢®«ì-ë¥ ç¨á« . —¨á«®¢ë¬ à冷¬ - §ë¢ - ¥âáï ¢ëà ¦¥-¨¥
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1 |
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X |
(1) |
an = a1 + a2 + a3 + : : : + an + : : : ; |
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n=1 |
ç¨á« |
a1; a2; a3; : : : ; an; : : : - §ë¢ îâáï ç«¥- ¬¨ àï¤ , ¢ëà ¦¥-¨¥ an ª ª |
äã-ªæ¨ï ç¨á« n { ®¡é¨¬ ç«¥-®¬ àï¤ . …᫨ ¢¬¥áâ® n ¢ ä®à¬ã«ã ®¡é¥£® ç«¥- àï¤ ¯®¤áâ ¢«ïâì §- ç¥-¨ï 1; 2; 3; : : : ; â® ¬®¦-® - ©â¨ ᪮«ìª® 㣮¤-®
ç«¥-®¢ àï¤ . |
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àï¤ |
¯® ¤ --®¬ã ®¡é¥¬ã |
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ç«¥-ã an = |
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•¥è¥-¨¥: •®« £ ï ¢ ä®à¬ã«¥ ®¡é¥£® ç«¥- |
¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-® §- ç¥-¨ï |
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1; 2; 3; 4; ¯®«ã稬: |
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1 |
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1 |
1 |
1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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a1 = |
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; a2 = |
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; a4 = |
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: |
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1 2 |
2 |
2 3 |
6 |
3 4 |
12 |
4 5 |
20 |
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•à¨¬¥à 2. • ¯¨á âì ä®à¬ã«ã ®¡é¥£® ç«¥- |
¤«ï ª ¦¤®£® àï¤ : |
|
|
1)1 + 12 + 13 + 14 + : : :
2)1 + 12 + 212 + 213 + 214 : : :
3)25 + 48 + 116 + 148 : : :
•¥è¥-¨¥: 1) ‡- ¬¥- ⥫¨ ç«¥-®¢ ¤ --®£® àï¤ { - âãà «ì-ë© àï¤ ç¨-
ᥫ. ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ®¡é¨© ç«¥- an = n1:
2) ‡- ¬¥- ⥫¨ ç«¥-®¢ ¤ --®£® àï¤ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«ãç¥-ë ¨§ ä®à¬ã«ë
2n 1; £¤¥ n = 1; 2; 3; : : : ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ®¡é¨© ç«¥- an = 2n1 1 :
3) —¨á«¨â¥«¨ ç«¥-®¢ ¤ --®£® àï¤ { ç•¥â-ë¥ ç¨á« ¢¨¤ 2n; §- ¬¥- â¥- «¨ { ç¨á« , ª®â®àë¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«ãç¥-ë ¯® ä®à¬ã«¥ 3n+2: ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ®¡é¨© ç«¥- an = 3n2+2n :
1
2x1. —¨á«®¢ë¥ àï¤ë. •¥®¡å®¤¨¬ë© ¯à¨§- ª á室¨¬®á⨠àï¤
‘㬬 n ¯¥à¢ëå ç«¥-®¢ àï¤ (1) - §ë¢ ¥âáï n-© ç áâ¨ç-®© á㬬®© àï¤ ¨ ®¡®§- ç ¥âáï ç¥à¥§ Sn; â® ¥áâì
Sn = a1 + a2 + a3 + : : : + an 1 + an:
— áâ¨ç- ï á㬬 Sn ï¥âáï äã-ªæ¨¥© - âãà «ì-®£® ç¨á« n: ˆáå®¤ï ¨§ ®¯à¥¤¥«¥-¨ï ç áâ¨ç-®© á㬬ë, ¨¬¥¥¬
S1 |
= a1; |
S2 |
= a1 + a2; |
S3 |
= a1 + a2 + a3; |
. . . . . . . . . . . . . . .
Sn = a1 + a2 + a3 + : : : + an:
…᫨ ¡¥áª®-¥ç- ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®áâì ç áâ¨ç-ëå á㬬 àï¤ (1)
S1; S2; S3; : : : ; Sn; Sn+1; Sn+2; : : :
¨¬¥¥â ª®-¥ç-ë© ¯à¥¤¥«, â® ¥áâì
lim Sn = S;
n!1
â® £®¢®àïâ, çâ® íâ®â àï¤ á室¨âáï. ‚ í⮬ á«ãç ¥ ç¨á«® S - §ë¢ ¥âáï áã¬-
¬®© á室ï饣®áï àï¤ (1). …᫨ ¦¥ lim Sn = 1 ¨«¨ -¥ áãé¥áâ¢ã¥â, â®
n!1
àï¤ (1) - §ë¢ ¥âáï à á室ï騬áï. ‚ í⮬ á«ãç ¥ -¥ ¨¬¥¥â á¬ëá« £®¢®à¨âì ® ¥£® á㬬¥.
•à¨¬¥à 3. ˆáá«¥¤®¢ âì - á室¨¬®áâì àï¤
|
1 |
|
X |
(2) |
1 + q + q2 + q3 + : : : + qn 1 + qn + : : : = qn 1: |
n=1
•¥è¥-¨¥: •ï¤ (2) ¥áâì £¥®¬¥âà¨ç¥áª ï ¯à®£à¥áá¨ï, §- ¬¥- â¥«ì ª®â®- ன à ¢¥- q: ˆ§¢¥áâ-®, çâ® á㬬 ¯¥à¢ëå n ç«¥-®¢ £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ¯à®£à¥á- ᨨ ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ (¯à¨ q =6 1)
|
1 + q + q2 + q3 + : : : + qn 1 = Sn = |
1 qn |
: |
|
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|
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|
|
1 q |
|
|
|
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|
…᫨ §- ¬¥- â¥«ì ¯à®£à¥áᨨ q ¯® |
¡á®«îâ-®© ¢¥«¨ç¨-¥ ¬¥-ìè¥ ¥¤¨-¨- |
|||||||||||||||
æë, â® ¥áâì jqj < 1; â® nlim qn = 0 ¨ |
|
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!1 |
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n |
|
1 qn |
n!1 |
1 |
|
qn |
|
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|
|
1 |
|
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n!1 1 q |
1 q |
1 q |
|
1 q |
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lim |
S |
|
= lim |
|
= lim |
|
|
|
|
|
= |
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|
: |
|
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|
‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¯à¨ jqj < 1 àï¤ (2) á室¨âáï ¨ ¥£® á㬬 à ¢- 11q :
x1. —¨á«®¢ë¥ àï¤ë. •¥®¡å®¤¨¬ë© ¯à¨§- ª á室¨¬®á⨠àï¤ |
3 |
•à¨ q = 1; Sn = 1+1+ : : : +1+1 = n; lim Sn = 1; ¯à¨ q = 1 ¯®á«¥¤®-
n!1
¢ ⥫ì-®áâì ç áâ¨ç-ëå á㬬 ¨¬¥¥â ¢¨¤ 1; 0; 1; 0; 1; : : : ¨ -¥ áâ६¨âáï -¨ ª ª ª®¬ã ¯à¥¤¥«ã. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ q = 1 ¨ ¯à¨ q = 1 àï¤ (2) à á室¨âáï.
…᫨ §- ¬¥- â¥«ì £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ¯à®£à¥áᨨ q > 1; â® lim qn = 1;
n!1
¯®í⮬ã lim Sn = 1: •ï¤ (2) ¢ í⮬ á«ãç ¥ à á室¨âáï. …᫨ q < 1; â®
n!1
lim qn -¥ áãé¥áâ¢ã¥â, ¯®í⮬ã -¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¨ |
lim Sn ¨, §- ç¨â, àï¤ (2) |
|
n!1 |
|
n!1 |
à á室¨âáï. |
|
|
ˆâ ª, ¯à¨ jqj < 1 àï¤ (2) á室¨âáï, ¯à¨ jqj > 1 { à á室¨âáï. |
||
•à¨¬¥à 4. ˆáá«¥¤®¢ âì - á室¨¬®áâì àï¤ |
|
|
|
1 |
|
1 1 + 1 1 + : : : = |
X |
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( 1)n 1: |
||
|
n=1 |
|
•¥è¥-¨¥: •®áª®«ìªã ¤«ï í⮣® àï¤ |
S2m 1 |
= 1; S2m = 0 ¯à¨ «î¡®¬ |
- âãà «ì-®¬ m; â® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®áâì fSng -¥ ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥« ¯à¨ n ! 1:
‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, àï¤ |
1 |
( |
|
1)n 1 |
à á室¨âáï. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® íâ®â àï¤ ï¢«ï¥âáï |
||
|
|||||||
|
|
n=1 |
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1: |
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à冷¬ ¨§ ¯à¨¬¥à |
3 |
¯à¨ q = |
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P |
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1 |
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kX |
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(3) |
Rn = |
|
|
ak = an+1 + an+2 + an+3 + : : : |
|||
|
|
|
|
=n+1 |
|
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- §ë¢ ¥âáï n-¬ ®áâ ⪮¬ àï¤ |
(1) ¨«¨ ®áâ ⪮¬ ¯®á«¥ n-£® ç«¥- . |
•ï¤ (1) á室¨âáï ¨«¨ à á室¨âáï ¢¬¥á⥠ᮠ᢮¨¬ ®áâ ⪮¬ (3), ¯®í⮬ã
ç áâ® ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ -¨¨ ¢®¯à®á |
® á室¨¬®á⨠àï¤ |
¢¬¥áâ® -¥£® à áᬠâà¨- |
||||||||||||||||||||||
¢ îâ n-© ®áâ ⮪. |
|
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|
S; â® Rn = S Sn; |
||||||
‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ àï¤ (1) á室¨âáï ¨ ¥£® á㬬 |
à ¢- |
|||||||||||||||||||||||
â ª ª ª S = Sn + Rn ¤«ï «î¡®£® - âãà «ì-®£® n: |
|
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||||||||||||||||||
•à¨¬¥à 5. • ©â¨ á㬬ã àï¤ |
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||||||||||||
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1 |
1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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|||||||
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X |
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|||
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54 |
+ |
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55 |
+ |
56 |
+ : : : = |
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5n+3 |
: |
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n=1 |
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•¥è¥-¨¥: • áᬮâਬ àï¤ |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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X |
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|||
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1 + |
5 |
+ |
52 |
+ : : : = |
|
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5n 1 |
: |
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n=1 |
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•â®â àï¤ à áᬮâà¥- ¢ ¯à¨¬¥à¥ 3 ¯à¨ q = 1 |
; ¥£® á㬬 |
à ¢- |
1 |
|
= 5: ’ ª |
|||||||||||||||||||
|
1 |
|||||||||||||||||||||||
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5 |
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1 |
5 |
4 |
P |
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|
P |
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||
1 |
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1 |
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ª ª àï¤ 1 |
¬®¦-® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ |
1 |
|
|
; â® ®- ï¥âáï ®áâ ⪮¬ |
|||||||||||||||||||
5n+3 |
|
|
5n 1 |
|||||||||||||||||||||
n=1 |
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n=5 |
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4x1. —¨á«®¢ë¥ àï¤ë. •¥®¡å®¤¨¬ë© ¯à¨§- ª á室¨¬®á⨠àï¤
¯®á«¥ ç¥â¢•¥à⮣® ç«¥- àï¤ |
1 |
1 ¨ à ¢¥- |
|
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P |
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n=1 |
5n 1 |
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1 1 |
= 1 |
1 |
= 1 |
1 |
|
|
1 + |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
= |
5 |
|
1 |
51 |
4 |
= |
1 |
: |
||||
|
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||||||||||
n=1 5n+3 |
|
|
|
|
5 |
52 |
53 |
4 |
|
|
5 |
500 |
|||||||||||||
n=5 5n 1 |
n=1 5n 1 |
|
|
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|
1 |
|
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|
||||||||||||||||
X |
X |
X |
|
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1 |
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||||||
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|
|
‚ ¯à¨¢¥¤•¥--ëå ¯à¨¬¥à å ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®áâì fSng ç áâ¨ç-ëå á㬬 àï¤ ¢ëç¨á«ï« áì ¤®áâ â®ç-® ¯à®áâ®, â ª çâ® áãé¥á⢮¢ -¨¥ ¨ ¢¥«¨ç¨- ¯à¥¤¥« Sn ãáâ - ¢«¨¢ «¨áì -¥¯®á।á⢥--®. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ᨫ㠮¯à¥¤¥«¥-¨ï ®¤-®¢à¥¬¥--® ¤®ª §ë¢ « áì ¨ á室¨¬®áâì àï¤ ¨ ¢ëç¨á«ï« áì á㬬 à á- ᬠâਢ ¥¬®£® àï¤ . — é¥, ®¤- ª®, -¥¯à®á।á⢥--ë© - «¨§ ¯®á«¥¤®¢ - ⥫ì-®á⨠fSng ®ç¥-ì á«®¦¥-, ¯®í⮬㠮á-®¢-®© § ¤ 祩 ¢ ⥮ਨ ç¨á«®¢ëå à冷¢ ï¥âáï ãáâ -®¢«¥-¨¥ á室¨¬®á⨠¨«¨ à á室¨¬®á⨠¤ --®£® àï¤ ¡¥§ ¢ëç¨á«¥-¨ï ¥£® á㬬ë.
1.2. •¥®¡å®¤¨¬ë© ¯à¨§- ª á室¨¬®á⨠àï¤
…᫨ àï¤
1
X
an = a1 + a2 + a3 + : : : + an + : : :
n=1
á室¨âáï, â® ¥£® ®¡é¨© ç«¥- an áâ६¨âáï ª -ã«î ¯à¨ n ! 1; â® ¥áâì
(4) |
lim an = 0: |
|
n!1 |
•à¨¬¥à 6. •à®¢¥à¨âì, ¢ë¯®«-ï¥âáï «¨ -¥®¡å®¤¨¬ë© ¯à¨§- ª á室¨¬®-
á⨠¤«ï àï¤ |
|
|
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1 |
+ |
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2 |
+ |
3 |
|
|
+ |
4 |
+ : : : |
|
|
|
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||
|
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|
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||||||||
|
2 |
|
3 |
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|
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|
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||||||||
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|||||||||
•¥è¥-¨¥: Ž¡é¨© ç«¥- an |
= |
|
n |
|
: ’ ª ª ª lim an = |
lim |
n |
|
= 1; â® |
||||||||
|
n+1 |
n+1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
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|
n!1 |
n!1 |
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||||||
|
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|
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-¥®¡å®¤¨¬®¥ ãá«®¢¨¥ (4) á室¨¬®á⨠àï¤ |
-¥ ¢ë¯®«-ï¥âáï. ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, |
¤ --ë© àï¤ à á室¨âáï.
•à¨¬¥à 7. •à®¢¥à¨âì, ¢ë¯®«-ï¥âáï «¨ -¥®¡å®¤¨¬®¥ ãá«®¢¨¥ á室¨¬®áâ¨
¤«ï àï¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
1 + |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
+ : : : + |
1 |
|
+ : : : |
|
|
|
4 |
5 |
n |
|||||||||
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
||||||
•¥è¥-¨¥: lim an = lim |
1 = 0: ‡- ç¨â -¥®¡å®¤¨¬®¥ ãá«®¢¨¥ á室¨¬®á⨠|
||||||||||||
n!1 |
n!1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
àï¤ ¢ë¯®«-¥-®. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1. —¨á«®¢ë¥ àï¤ë. •¥®¡å®¤¨¬ë© ¯à¨§- ª á室¨¬®á⨠àï¤ |
5 |
‡ ¬¥ç -¨¥. ˆ§ ¢ë¯®«-¥-¨ï ãá«®¢¨ï lim an = 0 -¥ á«¥¤ã¥â á室¨¬®áâì
n!1
àï¤ |
1 an: •ï¤, à áᬮâà¥--ë© ¢ ¯à¨¬¥à¥ 7, |
1 |
1 |
- §ë¢ ¥âáï £ ମ-¨ç¥- |
|
n=1 |
n=1 |
n |
|
|
|
|
||
|
•â®â àï¤ à á室¨âáï, å®âï ¤«ï -¥£® ¢ë¯®«-ï¥âáï -¥®¡å®¤¨¬®¥ ãá«®¢¨¥ |
|||
᪨¬.P |
P |
|
|
á室¨¬®áâ¨.
‡ ¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫ì-®£® à¥è¥-¨ï
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2)114 + 215 + 316 + 417 + : : :
3)1 + 23 + 45 + 87 + 169 + : : :
4)23 + 45 + 67 + 89 + 1011 + : : :
•¯¨á âì ç¥âëॠ¯¥à¢ëå ç«¥- àï¤ ¯® ¨§¢¥áâ-®¬ã ®¡é¥¬ã ç«¥-ã:
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4 |
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14)114 + 215 + 316 + : : :
15)1 21 3 + 2 31 4 + 3 41 5 + : : :
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16) |
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3 |
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73 |
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1 + 2a + 3a2 + 4a3 + : : : ; |
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21) |
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23) n=1 |
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1
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•ï¤ an - §ë¢ ¥âáï ¯®«®¦¨â¥«ì-ë¬, ¥á«¨ an > 0 ¯à¨ ¢á¥å n 2 N; àï¤
n=1
1
P
an - §ë¢ ¥âáï áâண® ¯®«®¦¨â¥«ì-ë¬, ¥á«¨ an > 0 ¯à¨ ¢á¥å n 2 N:
n=1
x2. „®áâ â®ç-ë¥ ¯à¨§- ª¨ á室¨¬®á⨠¯®«®¦¨â¥«ì-ëå à冷¢ |
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…᫨ àï¤ë (1) ¨ (2) ¯®«®¦¨â¥«ì-ë ¨ ¯à¨ ¢á¥å - âãà «ì-ëå n ¢ë¯®«-¥-® -¥à ¢¥-á⢮ an 6 bn; â®
1)…᫨ á室¨âáï àï¤ (2), â® á室¨âáï ¨ àï¤ (1);
2)…᫨ à á室¨âáï àï¤ (1), â® à á室¨âáï ¨ àï¤ (2).
‡¬¥ç -¨¥. •à¨§- ª áà ¢-¥-¨ï ®áâ •¥âáï ¢¥à-ë¬ ¤«ï «î¡ëå à冷¢ (1)
¨ (2), ¥á«¨ ¤«ï -¥ª®â®à®£® ç¨á« |
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n0 ¯à¨ ¢á¥å - âãà «ì-ëå n > n0 ¢ë¯®«-¥-® |
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|
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+ : : : + |
|
+ : : : |
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2 |
22 |
23 |
24 |
2n 1 |
•ï¤ (3) á室¨âáï, â ª ª ª §- ¬¥- â¥«ì ¯à®£à¥áᨨ q = 12 (á¬. ¯à¨¬¥à 3 x1). —«¥-ë ¨á室-®£® àï¤ -¥ ¯à¥¢®á室ïâ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ç«¥-®¢ £¥®¬¥âà¨-
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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||||||
nn 1 |
2n 1 |
||||||||||||
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|||||||||||||
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á室¨¬®áâì àï¤ |
|
|
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an = p1n |
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£ ମ-¨ç¥áª®£® àï¤ |
bn = n1; ª®â®àë©, ª ª ¨§¢¥áâ-®, à á室¨âáï. ‘«¥¤®¢ - |
||||||||
⥫ì-®, ¤ --ë© àï¤ â ª¦¥ à á室¨âáï. |
|
|
|
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á室¨¬®áâì àï¤ |
|
|
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|
+ : : : |
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1 5 |
2 52 |
3 53 |
n 5n |
8x2. „®áâ â®ç-ë¥ ¯à¨§- ª¨ á室¨¬®á⨠¯®«®¦¨â¥«ì-ëå à冷¢
•¥è¥-¨¥: ‘à ¢-¨¬ ¤ --ë© àï¤ á ¡¥áª®-¥ç-®© £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ¯à®£à¥á- ᨥ©
1 + |
1 |
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1 |
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1 |
+ : : : + |
1 |
+ : : : |
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|
|
|
|
|
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53 |
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’ ª ª ª í⠯ணà¥áá¨ï á室¨âáï, |
|
|
1 |
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|
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n |
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|
|
|
|
|
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5 |
|
|
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-¥-¨ï ¨á室-ë© àï¤ á室¨âáï.
2.2. ‚â®à®© ¯à¨§- ª áà ¢-¥-¨ï
…б«¨ ап¤л (1) ¨ (2) п¢«повбп бва®£® ¯®«®¦¨в¥«м-л¬¨ ¨ ¤«п з«¥-®¢ а冷¢ ¢л¯®«-п¥вбп гб«®¢¨¥
lim an = k 6= 0;
n!1 bn
£¤¥ k { ª®-¥ç-®¥ (®â«¨ç-®¥ ®â -ã«ï) ç¨á«®, â® àï¤ë (1) ¨ (2) «¨¡® ®¡ á室ïâáï, «¨¡® ®¡ à á室ïâáï, â® ¥áâì í⨠àï¤ë á室ïâáï ¨«¨ à á室ïâáï ®¤-®¢à¥¬¥--®.
•à¨¬¥à 4. ˆáá«¥¤®¢ âì á室¨¬®áâì àï¤
|
|
|
|
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|
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1 |
+ : : : + sin |
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n |
|
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|
|
|
|
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•¥è¥-¨¥: Ž¡é¨© ç«¥- ¤ --®£® àï¤ |
an = sin 1: Ž¡é¨© ç«¥- à á室ï- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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饣®áï £ ମ-¨ç¥áª®£® àï¤ |
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bn = 1: •à¨¬¥-塞 ¢â®à®© ¯à¨§- ª áà ¢-¥-¨ï. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
’ ª ª ª |
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|
|
|
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||||||||||||||||||||
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|
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1 |
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||
!1 |
|
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â® ¨áá«¥¤ã¥¬ë© àï¤ à á室¨âáï. |
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•à¨¬¥à 5. ˆ§¢¥áâ-®, çâ® ç¨á«®¢®© àï¤, ®¡é¨© ç«¥- ª®â®à®£® an = |
|
1 |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
á室¨âáï. „®ª § âì á室¨¬®áâì àï¤ |
|
|
á ®¡é¨¬ ç«¥-®¬ bn = |
1 |
|
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||
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|
: |
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n(2n+1) |
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•¥è¥-¨¥: •à¨¬¥-塞 ¢â®à®© ¯à¨§- ª áà ¢-¥-¨ï. |
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an |
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1 |
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n(2n + 1) |
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n2 |
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nlim |
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= nlim |
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= nlim |
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= 2 6= 0: |
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b |
n |
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1 |
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n2 |
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!1 |
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!1 n(2n+1) |
!1 |
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‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, àï¤ á ®¡é¨¬ ç«¥-®¬ bn = |
1 |
|
á室¨âáï. |
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n(2n+1) |
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1 |
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•à¨¬¥à 6. „®ª § âì á室¨¬®áâì àï¤ |
|
á ®¡é¨¬ ç«¥-®¬ an = ln(1 + |
); |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
§- ï, çâ® àï¤ á ®¡é¨¬ ç«¥-®¬ bn = |
|
1 |
á室¨âáï. |
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|
|
n |
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|
|
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2 |
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n |
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x2. „®áâ â®ç-ë¥ ¯à¨§- ª¨ á室¨¬®á⨠¯®«®¦¨â¥«ì-ëå à冷¢ |
9 |
|||||||||||||||||||||||
•¥è¥-¨¥: •à¨¬¥-塞 ¢â®à®© ¯à¨§- ª áà ¢-¥-¨ï. |
|
|
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|
an |
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ln(1 + |
1 |
) |
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1 |
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n2 |
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2 |
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n!1 |
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n!1 |
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1 + |
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n!1 bn |
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n12 |
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n2 |
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lim |
= lim |
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= lim n |
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ln |
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= |
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= nlim ln |
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1 + n12 |
n2 |
= ln"nlim |
1 + n12 |
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n2# |
= lne = 1 6= 0 |
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|
|
|
!1 |
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|
!1 |
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|
(¢â®à®© § ¬¥ç ⥫ì-ë© ¯à¥¤¥«). ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¨áá«¥¤ã¥¬ë© àï¤ â ª¦¥ á室¨âáï.
2.3. •à¨§- ª á室¨¬®á⨠„ « ¬¡¥à
…᫨ ¤«ï àï¤ |
á ¯®«®¦¨â¥«ì-묨 ç«¥- ¬¨ |
|
1 |
(4) |
X an = a1 + a2 + a3 + : : : + an + : : : ; an > 0; |
n=1
áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¥¤¥«
lim an+1 = q;
n!1 an
â®
1)¯à¨ q < 1 àï¤ (4) á室¨âáï,
2)¯à¨ q > 1 ¨«¨ q = +1 àï¤ (4) à á室¨âáï,
3)¯à¨ q = 1 ® á室¨¬®á⨠¨«¨ à á室¨¬®á⨠àï¤ (4) -¨ç¥£® ᪠§ âì -¥«ì§ï ¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥ - ¤® ¯à¨¬¥-¨âì ¤à㣮© ¯à¨§- ª á室¨¬®áâ¨.
•à¨¬¥à 7. ˆáá«¥¤®¢ âì - |
á室¨¬®áâì àï¤ |
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1 |
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1 |
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X |
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: |
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n! |
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n=1 |
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•¥è¥-¨¥: |
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an = |
1 |
|
; an+1 = |
1 |
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: |
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n! |
(n + 1)! |
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•à¨¬¥-¨¬ ¯à¨§- ª „ « ¬¡¥à . |
|
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q = lim |
1 |
|
: |
1 |
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= lim |
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n! |
|
= lim |
1 |
= 0: |
||||
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|
n! |
|
(n |
+ 1)! |
|
|
||||||||||||
n!1 |
(n + 1)! |
n!1 |
|
|
n!1 n + 1 |
|
’ª ª ª q = 0 < 1; â® ¯® ¯à¨§- ªã „ « ¬¡¥à ¨áá«¥¤ã¥¬ë© àï¤ á室¨âáï. •à¨¬¥à 8. ˆáá«¥¤®¢ âì - á室¨¬®áâì àï¤
X
1 5n
n=1 n(n + 1):
10 |
x2. „®áâ â®ç-ë¥ ¯à¨§- ª¨ á室¨¬®á⨠¯®«®¦¨â¥«ì-ëå à冷¢ |
•¥è¥-¨¥: •à¨¬¥-¨¬ ¯à¨§- ª „ « ¬¡¥à .
|
|
an = |
5n |
|
|
; |
|
|
an+1 = |
|
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|
5n+1 |
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|
|
; |
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|
|
n(n + 1) |
|
|
(n + 1)(n + 2) |
|
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q = lim |
an+1 |
= lim |
|
|
5n+1n(n + 1) |
|
|
= lim |
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|
5n |
= 5: |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
+ 2)5n |
|
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|
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|
n!1 |
|
an |
|
|
n!1 |
|
(n + 1)(n |
|
n!1 n + 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
’ ª ª ª q = 5 > 1; â® ¯® ¯à¨§- ªã „ « ¬¡¥à |
¨áá«¥¤ã¥¬ë© àï¤ à á室¨âáï. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
•à¨¬¥à 9. ˆáá«¥¤®¢ âì - |
á室¨¬®áâì àï¤ |
|
|
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|
|
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22 |
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33 |
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nn |
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1 + |
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+ |
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+ : : : + |
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+ : : : |
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2! |
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3! |
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n! |
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•¥è¥-¨¥: •à¨¬¥-¨¬ ¯à¨§- ª „ « ¬¡¥à . |
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nn |
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(n + 1)n+1 |
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an = |
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; an+1 = |
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; |
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n! |
(n + 1)! |
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q = lim |
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an+1 |
= |
(n + 1)n+1n! |
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= |
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(n + 1)n(n + 1)n! |
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= |
|
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|
(n + 1)!nn |
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n!(n + 1)nn |
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n!1 an |
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n!1 |
(n + 1)n |
|
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n!1 |
n + 1 |
|
n |
n!1 |
|
|
1 |
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n |
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nn |
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n |
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n |
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= lim |
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= lim |
|
|
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|
|
= lim |
1 + |
|
|
|
= e: |
||||||||||||||
’ ª ª ª q = e > 1; â® ¯® ¯à¨§- ªã „ « ¬¡¥à |
¨áá«¥¤ã¥¬ë© àï¤ à á室¨âáï. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.4. •à¨§- ª á室¨¬®á⨠Š®è¨ |
|
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…᫨ ¤«ï àï¤ |
á -¥®âà¨æ ⥫ì-묨 ç«¥- ¬¨ |
|
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1 |
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(5) |
X an = a1 + a2 + a3 + : : : + an + : : : ; |
an > 0; |
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n=1 |
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áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¥¤¥« |
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= q; |
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n |
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||||||||
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|
lim pan |
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||||||||||||
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n!1 |
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â®
1)¯à¨ q < 1 àï¤ (5) á室¨âáï,
2)¯à¨ q > 1 ¨«¨ q = +1 àï¤ (5) à á室¨âáï,
3)¯à¨ q = 1 ® á室¨¬®á⨠¨«¨ à á室¨¬®á⨠àï¤ (5) -¨ç¥£® ᪠§ âì -¥«ì§ï ¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥ - ¤® ¯à¨¬¥-¨âì ¤à㣮© ¯à¨§- ª á室¨¬®áâ¨.
•à¨¬¥à 10. ˆáá«¥¤®¢ âì - á室¨¬®áâì àï¤
1
X 1 n=1 (lnn)n :