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•ï¤ë

x1. —¨á«®¢ë¥ àï¤ë. •¥®¡å®¤¨¬ë© ¯à¨§- ª á室¨¬®- á⨠àï¤

1.1. Ž¡é¨¥ ¯®-ïâ¨ï

•ãáâì a1; a2; a3; : : : ; an; : : : { ¯à®¨§¢®«ì-ë¥ ç¨á« . —¨á«®¢ë¬ à冷¬ - §ë¢ - ¥âáï ¢ëà ¦¥-¨¥

 

1

 

X

(1)

an = a1 + a2 + a3 + : : : + an + : : : ;

 

n=1

ç¨á«

a1; a2; a3; : : : ; an; : : : - §ë¢ îâáï ç«¥- ¬¨ àï¤ , ¢ëà ¦¥-¨¥ an ª ª

äã-ªæ¨ï ç¨á« n { ®¡é¨¬ ç«¥-®¬ àï¤ . …᫨ ¢¬¥áâ® n ¢ ä®à¬ã«ã ®¡é¥£® ç«¥- àï¤ ¯®¤áâ ¢«ïâì §- ç¥-¨ï 1; 2; 3; : : : ; â® ¬®¦-® - ©â¨ ᪮«ìª® 㣮¤-®

ç«¥-®¢ àï¤ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•à¨¬¥à 1. • ¯¨á âì ç¥âëॠ¯¥à¢ëå ç«¥-

àï¤

¯® ¤ --®¬ã ®¡é¥¬ã

ç«¥-ã an =

 

 

1

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n(n+1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•¥è¥-¨¥: •®« £ ï ¢ ä®à¬ã«¥ ®¡é¥£® ç«¥-

¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-® §- ç¥-¨ï

1; 2; 3; 4; ¯®«ã稬:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

1

1

1

 

1

 

1

 

1

 

a1 =

 

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; a2 =

 

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; a3 =

 

 

=

 

; a4 =

 

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:

1 2

2

2 3

6

3 4

12

4 5

20

•à¨¬¥à 2. • ¯¨á âì ä®à¬ã«ã ®¡é¥£® ç«¥-

¤«ï ª ¦¤®£® àï¤ :

 

 

1)1 + 12 + 13 + 14 + : : :

2)1 + 12 + 212 + 213 + 214 : : :

3)25 + 48 + 116 + 148 : : :

•¥è¥-¨¥: 1) ‡- ¬¥- ⥫¨ ç«¥-®¢ ¤ --®£® àï¤ { - âãà «ì-ë© àï¤ ç¨-

ᥫ. ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ®¡é¨© ç«¥- an = n1:

2) ‡- ¬¥- ⥫¨ ç«¥-®¢ ¤ --®£® àï¤ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«ãç¥-ë ¨§ ä®à¬ã«ë

2n 1; £¤¥ n = 1; 2; 3; : : : ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ®¡é¨© ç«¥- an = 2n1 1 :

3) —¨á«¨â¥«¨ ç«¥-®¢ ¤ --®£® àï¤ { ç•¥â-ë¥ ç¨á« ¢¨¤ 2n; §- ¬¥- â¥- «¨ { ç¨á« , ª®â®àë¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«ãç¥-ë ¯® ä®à¬ã«¥ 3n+2: ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ®¡é¨© ç«¥- an = 3n2+2n :

1

2x1. —¨á«®¢ë¥ àï¤ë. •¥®¡å®¤¨¬ë© ¯à¨§- ª á室¨¬®á⨠àï¤

‘㬬 n ¯¥à¢ëå ç«¥-®¢ àï¤ (1) - §ë¢ ¥âáï n-© ç áâ¨ç-®© á㬬®© àï¤ ¨ ®¡®§- ç ¥âáï ç¥à¥§ Sn; â® ¥áâì

Sn = a1 + a2 + a3 + : : : + an 1 + an:

— áâ¨ç- ï á㬬 Sn ï¥âáï äã-ªæ¨¥© - âãà «ì-®£® ç¨á« n: ˆáå®¤ï ¨§ ®¯à¥¤¥«¥-¨ï ç áâ¨ç-®© á㬬ë, ¨¬¥¥¬

S1

= a1;

S2

= a1 + a2;

S3

= a1 + a2 + a3;

. . . . . . . . . . . . . . .

Sn = a1 + a2 + a3 + : : : + an:

…᫨ ¡¥áª®-¥ç- ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®áâì ç áâ¨ç-ëå á㬬 àï¤ (1)

S1; S2; S3; : : : ; Sn; Sn+1; Sn+2; : : :

¨¬¥¥â ª®-¥ç-ë© ¯à¥¤¥«, â® ¥áâì

lim Sn = S;

n!1

â® £®¢®àïâ, çâ® íâ®â àï¤ á室¨âáï. ‚ í⮬ á«ãç ¥ ç¨á«® S - §ë¢ ¥âáï áã¬-

¬®© á室ï饣®áï àï¤ (1). …᫨ ¦¥ lim Sn = 1 ¨«¨ -¥ áãé¥áâ¢ã¥â, â®

n!1

àï¤ (1) - §ë¢ ¥âáï à á室ï騬áï. ‚ í⮬ á«ãç ¥ -¥ ¨¬¥¥â á¬ëá« £®¢®à¨âì ® ¥£® á㬬¥.

•à¨¬¥à 3. ˆáá«¥¤®¢ âì - á室¨¬®áâì àï¤

 

1

 

X

(2)

1 + q + q2 + q3 + : : : + qn 1 + qn + : : : = qn 1:

n=1

•¥è¥-¨¥: •ï¤ (2) ¥áâì £¥®¬¥âà¨ç¥áª ï ¯à®£à¥áá¨ï, §- ¬¥- â¥«ì ª®â®- ன à ¢¥- q: ˆ§¢¥áâ-®, çâ® á㬬 ¯¥à¢ëå n ç«¥-®¢ £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ¯à®£à¥á- ᨨ ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ (¯à¨ q =6 1)

 

1 + q + q2 + q3 + : : : + qn 1 = Sn =

1 qn

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 q

 

 

 

 

…᫨ §- ¬¥- â¥«ì ¯à®£à¥áᨨ q ¯®

¡á®«îâ-®© ¢¥«¨ç¨-¥ ¬¥-ìè¥ ¥¤¨-¨-

æë, â® ¥áâì jqj < 1; â® nlim qn = 0 ¨

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1

 

n

 

1 qn

n!1

1

 

qn

 

 

 

 

1

 

 

n!1 1 q

1 q

1 q

 

1 q

lim

S

 

= lim

 

= lim

 

 

 

 

 

=

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¯à¨ jqj < 1 àï¤ (2) á室¨âáï ¨ ¥£® á㬬 à ¢- 11q :

x1. —¨á«®¢ë¥ àï¤ë. •¥®¡å®¤¨¬ë© ¯à¨§- ª á室¨¬®á⨠àï¤

3

•à¨ q = 1; Sn = 1+1+ : : : +1+1 = n; lim Sn = 1; ¯à¨ q = 1 ¯®á«¥¤®-

n!1

¢ ⥫ì-®áâì ç áâ¨ç-ëå á㬬 ¨¬¥¥â ¢¨¤ 1; 0; 1; 0; 1; : : : ¨ -¥ áâ६¨âáï -¨ ª ª ª®¬ã ¯à¥¤¥«ã. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ q = 1 ¨ ¯à¨ q = 1 àï¤ (2) à á室¨âáï.

…᫨ §- ¬¥- â¥«ì £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ¯à®£à¥áᨨ q > 1; â® lim qn = 1;

n!1

¯®í⮬ã lim Sn = 1: •ï¤ (2) ¢ í⮬ á«ãç ¥ à á室¨âáï. …᫨ q < 1; â®

n!1

lim qn -¥ áãé¥áâ¢ã¥â, ¯®í⮬ã -¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¨

lim Sn ¨, §- ç¨â, àï¤ (2)

n!1

 

n!1

à á室¨âáï.

 

 

ˆâ ª, ¯à¨ jqj < 1 àï¤ (2) á室¨âáï, ¯à¨ jqj > 1 { à á室¨âáï.

•à¨¬¥à 4. ˆáá«¥¤®¢ âì - á室¨¬®áâì àï¤

 

 

1

 

1 1 + 1 1 + : : : =

X

 

( 1)n 1:

 

n=1

 

•¥è¥-¨¥: •®áª®«ìªã ¤«ï í⮣® àï¤

S2m 1

= 1; S2m = 0 ¯à¨ «î¡®¬

- âãà «ì-®¬ m; â® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®áâì fSng -¥ ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥« ¯à¨ n ! 1:

‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, àï¤

1

(

 

1)n 1

à á室¨âáï. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® íâ®â àï¤ ï¢«ï¥âáï

 

 

 

n=1

 

 

1:

à冷¬ ¨§ ¯à¨¬¥à

3

¯à¨ q =

 

P

 

 

 

 

•ï¤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

kX

 

 

(3)

Rn =

 

 

ak = an+1 + an+2 + an+3 + : : :

 

 

 

 

=n+1

 

- §ë¢ ¥âáï n-¬ ®áâ ⪮¬ àï¤

(1) ¨«¨ ®áâ ⪮¬ ¯®á«¥ n-£® ç«¥- .

•ï¤ (1) á室¨âáï ¨«¨ à á室¨âáï ¢¬¥á⥠ᮠ᢮¨¬ ®áâ ⪮¬ (3), ¯®í⮬ã

ç áâ® ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ -¨¨ ¢®¯à®á

® á室¨¬®á⨠àï¤

¢¬¥áâ® -¥£® à áᬠâà¨-

¢ îâ n-© ®áâ ⮪.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S; â® Rn = S Sn;

‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ àï¤ (1) á室¨âáï ¨ ¥£® á㬬

à ¢-

â ª ª ª S = Sn + Rn ¤«ï «î¡®£® - âãà «ì-®£® n:

 

 

 

 

 

 

•à¨¬¥à 5. • ©â¨ á㬬ã àï¤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

54

+

 

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+

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+ : : : =

 

 

 

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:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

•¥è¥-¨¥: • áᬮâਬ àï¤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

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+

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+ : : : =

 

 

5n 1

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

•â®â àï¤ à áᬮâà¥- ¢ ¯à¨¬¥à¥ 3 ¯à¨ q = 1

; ¥£® á㬬

à ¢-

1

 

= 5: ’ ª

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

1

5

4

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

ª ª àï¤ 1

¬®¦-® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥

1

 

 

; â® ®- ï¥âáï ®áâ ⪮¬

5n+3

 

 

5n 1

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=5

 

 

 

 

 

 

 

 

4x1. —¨á«®¢ë¥ àï¤ë. •¥®¡å®¤¨¬ë© ¯à¨§- ª á室¨¬®á⨠àï¤

¯®á«¥ ç¥â¢•¥à⮣® ç«¥- àï¤

1

1 ¨ à ¢¥-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

5n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1

= 1

1

= 1

1

 

 

1 +

1

+

1

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n=1 5n+3

 

 

 

 

5

52

53

4

 

 

5

500

n=5 5n 1

n=1 5n 1

 

 

 

 

1

 

 

 

X

X

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

‚ ¯à¨¢¥¤•¥--ëå ¯à¨¬¥à å ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®áâì fSng ç áâ¨ç-ëå á㬬 àï¤ ¢ëç¨á«ï« áì ¤®áâ â®ç-® ¯à®áâ®, â ª çâ® áãé¥á⢮¢ -¨¥ ¨ ¢¥«¨ç¨- ¯à¥¤¥« Sn ãáâ - ¢«¨¢ «¨áì -¥¯®á।á⢥--®. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ᨫ㠮¯à¥¤¥«¥-¨ï ®¤-®¢à¥¬¥--® ¤®ª §ë¢ « áì ¨ á室¨¬®áâì àï¤ ¨ ¢ëç¨á«ï« áì á㬬 à á- ᬠâਢ ¥¬®£® àï¤ . — é¥, ®¤- ª®, -¥¯à®á।á⢥--ë© - «¨§ ¯®á«¥¤®¢ - ⥫ì-®á⨠fSng ®ç¥-ì á«®¦¥-, ¯®í⮬㠮á-®¢-®© § ¤ 祩 ¢ ⥮ਨ ç¨á«®¢ëå à冷¢ ï¥âáï ãáâ -®¢«¥-¨¥ á室¨¬®á⨠¨«¨ à á室¨¬®á⨠¤ --®£® àï¤ ¡¥§ ¢ëç¨á«¥-¨ï ¥£® á㬬ë.

1.2. •¥®¡å®¤¨¬ë© ¯à¨§- ª á室¨¬®á⨠àï¤

…᫨ àï¤

1

X

an = a1 + a2 + a3 + : : : + an + : : :

n=1

á室¨âáï, â® ¥£® ®¡é¨© ç«¥- an áâ६¨âáï ª -ã«î ¯à¨ n ! 1; â® ¥áâì

(4)

lim an = 0:

 

n!1

•à¨¬¥à 6. •à®¢¥à¨âì, ¢ë¯®«-ï¥âáï «¨ -¥®¡å®¤¨¬ë© ¯à¨§- ª á室¨¬®-

á⨠¤«ï àï¤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+

 

2

+

3

 

 

+

4

+ : : :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

4

 

5

 

 

 

 

 

•¥è¥-¨¥: Ž¡é¨© ç«¥- an

=

 

n

 

: ’ ª ª ª lim an =

lim

n

 

= 1; â®

 

n+1

n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1

n!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-¥®¡å®¤¨¬®¥ ãá«®¢¨¥ (4) á室¨¬®á⨠àï¤

-¥ ¢ë¯®«-ï¥âáï. ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®,

¤ --ë© àï¤ à á室¨âáï.

•à¨¬¥à 7. •à®¢¥à¨âì, ¢ë¯®«-ï¥âáï «¨ -¥®¡å®¤¨¬®¥ ãá«®¢¨¥ á室¨¬®áâ¨

¤«ï àï¤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5)

1 +

1

+

1

+

1

+

1

+ : : : +

1

 

+ : : :

 

 

4

5

n

 

2

 

3

 

 

 

 

•¥è¥-¨¥: lim an = lim

1 = 0: ‡- ç¨â -¥®¡å®¤¨¬®¥ ãá«®¢¨¥ á室¨¬®áâ¨

n!1

n!1

n

 

 

 

 

 

 

 

 

àï¤ ¢ë¯®«-¥-®.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1. —¨á«®¢ë¥ àï¤ë. •¥®¡å®¤¨¬ë© ¯à¨§- ª á室¨¬®á⨠àï¤

5

‡ ¬¥ç -¨¥. ˆ§ ¢ë¯®«-¥-¨ï ãá«®¢¨ï lim an = 0 -¥ á«¥¤ã¥â á室¨¬®áâì

n!1

àï¤

1 an: •ï¤, à áᬮâà¥--ë© ¢ ¯à¨¬¥à¥ 7,

1

1

- §ë¢ ¥âáï £ ମ-¨ç¥-

 

n=1

n=1

n

 

 

 

 

 

•â®â àï¤ à á室¨âáï, å®âï ¤«ï -¥£® ¢ë¯®«-ï¥âáï -¥®¡å®¤¨¬®¥ ãá«®¢¨¥

᪨¬.P

P

 

 

á室¨¬®áâ¨.

‡ ¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫ì-®£® à¥è¥-¨ï

¯¨á âì ä®à¬ã«ã ®¡é¥£® ç«¥- àï¤ :

1)1 + 8 + 27 + 64+ 125+ : : :

2)114 + 215 + 316 + 417 + : : :

3)1 + 23 + 45 + 87 + 169 + : : :

4)23 + 45 + 67 + 89 + 1011 + : : :

¯¨á âì ç¥âëॠ¯¥à¢ëå ç«¥- àï¤ ¯® ¨§¢¥áâ-®¬ã ®¡é¥¬ã ç«¥-ã:

3n 2

5) an = n2 + 1:

1

6) an = (3 + ( 1)n)n :

 

 

n

 

 

7) an =

2 +nsinn2!

cosn

:

8) an =

( 1) n

:

 

 

 

2n2

 

 

9) an =

2 + ( 1)n

:

 

n2

 

 

„®ª § âì -¥¯®á।á⢥--® á室¨¬®áâì àï¤ ¨ - ©â¨ ¥£® á㬬ã:

10)

1

+

1

+

1

+

 

1

+ : : :

 

 

 

 

 

 

 

 

3

32

33

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

11)

1

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

+ : : :

3

 

9

27

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

12)

1

+ p3

 

 

+ p3

 

 

+ p3

 

+ : : :

2

4

8

13)112 + 213 + 314 + : : :

14)114 + 215 + 316 + : : :

15)1 21 3 + 2 31 4 + 3 41 5 + : : :

6x2. „®áâ â®ç-ë¥ ¯à¨§- ª¨ á室¨¬®á⨠¯®«®¦¨â¥«ì-ëå à冷¢

16)

1

+

 

2

 

+

 

 

 

3

+

4

 

+ : : :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

72

 

 

73

74

 

 

 

 

17)

1

+

 

2

 

+

 

 

 

3

+

4

 

+ : : :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

92

 

 

93

94

 

 

 

 

18)

1 + 2a + 3a2 + 4a3 + : : : ;

jaj < 1:

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

19) n=1

 

 

 

n + 2 2

 

n + 1

+

n

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

“áâ -®¢¨âìpà

 

á室¨¬®áâì àï¤ , ¨á¯®«ì§ãï -¥®¡å®¤¨¬ë© ¯à¨§- ª á室¨¬®-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

p

áâ¨:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20)

1 1 1 + 1 + 1 + 1 1 1 1 1 + : : :

21)

1

 

2n + 3:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

n + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

n2 sin

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

22)

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

n2

 

 

 

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2n + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23) n=1

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

2n2 + 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24) n=1

 

 

 

 

 

 

en

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1 + n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

n

n+

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25)

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26)

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

n

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1 p0; 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27)

1

 

 

1

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1 pn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28)

1

 

 

 

 

+ 1 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1 3n + 2

x2. „®áâ â®ç-ë¥ ¯à¨§- ª¨ á室¨¬®á⨠¯®«®¦¨â¥«ì- -ëå à冷¢

1

P

•ï¤ an - §ë¢ ¥âáï ¯®«®¦¨â¥«ì-ë¬, ¥á«¨ an > 0 ¯à¨ ¢á¥å n 2 N; àï¤

n=1

1

P

an - §ë¢ ¥âáï áâண® ¯®«®¦¨â¥«ì-ë¬, ¥á«¨ an > 0 ¯à¨ ¢á¥å n 2 N:

n=1

x2. „®áâ â®ç-ë¥ ¯à¨§- ª¨ á室¨¬®á⨠¯®«®¦¨â¥«ì-ëå à冷¢

7

2.1. •¥à¢ë© ¯à¨§- ª áà ¢-¥-¨ï

 

•ãáâì ¤ -ë ¤¢

àï¤

 

 

1

 

 

X

 

(1)

an = a1 + a2 + a3 + : : : + an + : : :

 

 

n=1

 

¨

 

 

 

1

 

 

X

 

(2)

bn = b1 + b2 + b3 + : : : + bn + : : :

 

n=1

…᫨ àï¤ë (1) ¨ (2) ¯®«®¦¨â¥«ì-ë ¨ ¯à¨ ¢á¥å - âãà «ì-ëå n ¢ë¯®«-¥-® -¥à ¢¥-á⢮ an 6 bn; â®

1)…᫨ á室¨âáï àï¤ (2), â® á室¨âáï ¨ àï¤ (1);

2)…᫨ à á室¨âáï àï¤ (1), â® à á室¨âáï ¨ àï¤ (2).

¬¥ç -¨¥. •à¨§- ª áà ¢-¥-¨ï ®áâ •¥âáï ¢¥à-ë¬ ¤«ï «î¡ëå à冷¢ (1)

¨ (2), ¥á«¨ ¤«ï -¥ª®â®à®£® ç¨á«

 

n0 ¯à¨ ¢á¥å - âãà «ì-ëå n > n0 ¢ë¯®«-¥-®

-¥à ¢¥-á⢮ 0 6 an 6 bn:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•à¨¬¥à 1. ˆáá«¥¤®¢ âì -

á室¨¬®áâì àï¤

 

 

 

 

1

1

1

 

 

1

 

 

 

1 +

 

+

 

 

+

 

 

+

: : : +

 

 

+ : : :

 

2

32

43

nn 1

 

•¥è¥-¨¥: ‘à ¢-¨¬ ¤

--ë© àï¤ á £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ¯à®£à¥áᨥ©

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

1

1

 

(3)

1 +

 

+

 

 

+

 

 

+

 

 

+ : : : +

 

+ : : :

2

22

23

24

2n 1

•ï¤ (3) á室¨âáï, â ª ª ª §- ¬¥- â¥«ì ¯à®£à¥áᨨ q = 12 (á¬. ¯à¨¬¥à 3 x1). —«¥-ë ¨á室-®£® àï¤ -¥ ¯à¥¢®á室ïâ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ç«¥-®¢ £¥®¬¥âà¨-

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

ç¥áª®© ¯à®£à¥áᨨ (3), â ª ª ª

 

 

 

6

 

 

¯à¨ n 2 N: ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¯®

nn 1

2n 1

¯¥à¢®¬ã ¯à¨§- ªã áà ¢-¥-¨ï ¨á室-ë© àï¤ â ª¦¥ á室¨âáï.

•à¨¬¥à 2. ˆáá«¥¤®¢ âì -

á室¨¬®áâì àï¤

 

 

1

1

 

 

 

1

 

 

1 +

p

 

+

p

 

 

+ : : : +

p

 

+ : : :

2

3

 

 

 

 

n

•¥è¥-¨¥: Ž¡é¨© ç«¥- ¤ --®£® àï¤

an = p1n

¡®«ìè¥ ®¡é¥£® ç«¥-

£ ମ-¨ç¥áª®£® àï¤

bn = n1; ª®â®àë©, ª ª ¨§¢¥áâ-®, à á室¨âáï. ‘«¥¤®¢ -

⥫ì-®, ¤ --ë© àï¤ â ª¦¥ à á室¨âáï.

 

 

 

•à¨¬¥à 3. ˆáá«¥¤®¢ âì -

á室¨¬®áâì àï¤

 

 

 

1

 

1

1

1

 

1 +

 

+

 

+

 

+ : : : +

 

+ : : :

1 5

2 52

3 53

n 5n

8x2. „®áâ â®ç-ë¥ ¯à¨§- ª¨ á室¨¬®á⨠¯®«®¦¨â¥«ì-ëå à冷¢

•¥è¥-¨¥: ‘à ¢-¨¬ ¤ --ë© àï¤ á ¡¥áª®-¥ç-®© £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ¯à®£à¥á- ᨥ©

1 +

1

+

1

+

1

+ : : : +

1

+ : : :

 

 

 

 

 

5

52

53

5n

’ ª ª ª í⠯ணà¥áá¨ï á室¨âáï,

 

 

1

<

1

; â® ¯® ¯¥à¢®¬ã ¯à¨§- ªã áà ¢-

 

 

n

n

 

 

 

 

 

 

n 5

5

 

 

 

-¥-¨ï ¨á室-ë© àï¤ á室¨âáï.

2.2. ‚â®à®© ¯à¨§- ª áà ¢-¥-¨ï

…б«¨ ап¤л (1) ¨ (2) п¢«повбп бва®£® ¯®«®¦¨в¥«м-л¬¨ ¨ ¤«п з«¥-®¢ а冷¢ ¢л¯®«-п¥вбп гб«®¢¨¥

lim an = k 6= 0;

n!1 bn

£¤¥ k { ª®-¥ç-®¥ (®â«¨ç-®¥ ®â -ã«ï) ç¨á«®, â® àï¤ë (1) ¨ (2) «¨¡® ®¡ á室ïâáï, «¨¡® ®¡ à á室ïâáï, â® ¥áâì í⨠àï¤ë á室ïâáï ¨«¨ à á室ïâáï ®¤-®¢à¥¬¥--®.

•à¨¬¥à 4. ˆáá«¥¤®¢ âì á室¨¬®áâì àï¤

 

 

 

 

sin1 + sin

 

1

 

+ sin

1

+ : : : + sin

 

1

+ : : :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

•¥è¥-¨¥: Ž¡é¨© ç«¥- ¤ --®£® àï¤

an = sin 1: Ž¡é¨© ç«¥- à á室ï-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

饣®áï £ ମ-¨ç¥áª®£® àï¤

 

bn = 1: •à¨¬¥-塞 ¢â®à®© ¯à¨§- ª áà ¢-¥-¨ï.

’ ª ª ª

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

 

 

 

sin 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nlim

 

 

= nlim

 

 

n

= 1 6= 0

 

 

(¯¥à¢ë© § ¬¥ç ⥫ì-ë© ¯à¥¤¥«),

 

 

 

 

b

n

 

 

1

 

 

 

 

!1

 

!1

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

â® ¨áá«¥¤ã¥¬ë© àï¤ à á室¨âáï.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•à¨¬¥à 5. ˆ§¢¥áâ-®, çâ® ç¨á«®¢®© àï¤, ®¡é¨© ç«¥- ª®â®à®£® an =

 

1

;

2

á室¨âáï. „®ª § âì á室¨¬®áâì àï¤

 

 

á ®¡é¨¬ ç«¥-®¬ bn =

1

 

 

n

 

 

:

 

 

 

 

 

 

n(2n+1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•¥è¥-¨¥: •à¨¬¥-塞 ¢â®à®© ¯à¨§- ª áà ¢-¥-¨ï.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n(2n + 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nlim

 

 

 

= nlim

 

 

 

 

 

 

= nlim

 

 

 

 

= 2 6= 0:

 

 

 

 

 

 

 

 

b

n

 

 

1

 

 

 

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!1

 

 

!1 n(2n+1)

!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, àï¤ á ®¡é¨¬ ç«¥-®¬ bn =

1

 

á室¨âáï.

 

 

 

 

 

 

n(2n+1)

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•à¨¬¥à 6. „®ª § âì á室¨¬®áâì àï¤

 

á ®¡é¨¬ ç«¥-®¬ an = ln(1 +

);

 

2

§- ï, çâ® àï¤ á ®¡é¨¬ ç«¥-®¬ bn =

 

1

á室¨âáï.

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2. „®áâ â®ç-ë¥ ¯à¨§- ª¨ á室¨¬®á⨠¯®«®¦¨â¥«ì-ëå à冷¢

9

•¥è¥-¨¥: •à¨¬¥-塞 ¢â®à®© ¯à¨§- ª áà ¢-¥-¨ï.

 

 

 

 

 

an

 

 

ln(1 +

1

)

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

n2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

n!1

 

 

 

 

 

 

 

n!1

 

 

1 +

 

 

 

 

 

n!1 bn

 

 

n12

 

 

 

 

n2

 

 

 

 

lim

= lim

 

 

 

 

 

 

 

= lim n

 

ln

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

= nlim ln

 

 

1 + n12

n2

= ln"nlim

1 + n12

 

n2#

= lne = 1 6= 0

 

 

 

 

!1

 

 

 

 

 

 

 

 

!1

 

 

 

 

 

 

(¢â®à®© § ¬¥ç ⥫ì-ë© ¯à¥¤¥«). ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¨áá«¥¤ã¥¬ë© àï¤ â ª¦¥ á室¨âáï.

2.3. •à¨§- ª á室¨¬®á⨠„ « ¬¡¥à

…᫨ ¤«ï àï¤

á ¯®«®¦¨â¥«ì-묨 ç«¥- ¬¨

 

1

(4)

X an = a1 + a2 + a3 + : : : + an + : : : ; an > 0;

n=1

áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¥¤¥«

lim an+1 = q;

n!1 an

â®

1)¯à¨ q < 1 àï¤ (4) á室¨âáï,

2)¯à¨ q > 1 ¨«¨ q = +1 àï¤ (4) à á室¨âáï,

3)¯à¨ q = 1 ® á室¨¬®á⨠¨«¨ à á室¨¬®á⨠àï¤ (4) -¨ç¥£® ᪠§ âì -¥«ì§ï ¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥ - ¤® ¯à¨¬¥-¨âì ¤à㣮© ¯à¨§- ª á室¨¬®áâ¨.

•à¨¬¥à 7. ˆáá«¥¤®¢ âì -

á室¨¬®áâì àï¤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•¥è¥-¨¥:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an =

1

 

; an+1 =

1

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!

(n + 1)!

 

 

•à¨¬¥-¨¬ ¯à¨§- ª „ « ¬¡¥à .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q = lim

1

 

:

1

 

 

= lim

 

 

 

n!

 

= lim

1

= 0:

 

 

n!

 

(n

+ 1)!

 

 

n!1

(n + 1)!

n!1

 

 

n!1 n + 1

 

ª ª ª q = 0 < 1; â® ¯® ¯à¨§- ªã „ « ¬¡¥à ¨áá«¥¤ã¥¬ë© àï¤ á室¨âáï. •à¨¬¥à 8. ˆáá«¥¤®¢ âì - á室¨¬®áâì àï¤

X

1 5n

n=1 n(n + 1):

10

x2. „®áâ â®ç-ë¥ ¯à¨§- ª¨ á室¨¬®á⨠¯®«®¦¨â¥«ì-ëå à冷¢

•¥è¥-¨¥: •à¨¬¥-¨¬ ¯à¨§- ª „ « ¬¡¥à .

 

 

an =

5n

 

 

;

 

 

an+1 =

 

 

 

 

5n+1

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

n(n + 1)

 

 

(n + 1)(n + 2)

 

 

 

 

 

q = lim

an+1

= lim

 

 

5n+1n(n + 1)

 

 

= lim

 

 

5n

= 5:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 2)5n

 

 

 

 

 

 

n!1

 

an

 

 

n!1

 

(n + 1)(n

 

n!1 n + 2

 

 

 

 

 

’ ª ª ª q = 5 > 1; â® ¯® ¯à¨§- ªã „ « ¬¡¥à

¨áá«¥¤ã¥¬ë© àï¤ à á室¨âáï.

•à¨¬¥à 9. ˆáá«¥¤®¢ âì -

á室¨¬®áâì àï¤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

 

33

 

 

 

 

 

 

 

nn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

 

 

+

 

 

+ : : : +

 

 

+ : : :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2!

 

 

3!

 

 

 

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•¥è¥-¨¥: •à¨¬¥-¨¬ ¯à¨§- ª „ « ¬¡¥à .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n + 1)n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an =

 

; an+1 =

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!

(n + 1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q = lim

 

an+1

=

(n + 1)n+1n!

 

=

 

(n + 1)n(n + 1)n!

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n + 1)!nn

 

 

 

n!(n + 1)nn

 

 

 

 

 

n!1 an

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1

(n + 1)n

 

 

 

n!1

n + 1

 

n

n!1

 

 

1

 

 

n

 

 

 

 

nn

 

 

 

 

n

 

 

n

 

 

 

= lim

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

 

 

 

 

= lim

1 +

 

 

 

= e:

’ ª ª ª q = e > 1; â® ¯® ¯à¨§- ªã „ « ¬¡¥à

¨áá«¥¤ã¥¬ë© àï¤ à á室¨âáï.

2.4. •à¨§- ª á室¨¬®á⨠Š®è¨

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…᫨ ¤«ï àï¤

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1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5)

X an = a1 + a2 + a3 + : : : + an + : : : ;

an > 0;

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¥¤¥«

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= q;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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n!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

â®

1)¯à¨ q < 1 àï¤ (5) á室¨âáï,

2)¯à¨ q > 1 ¨«¨ q = +1 àï¤ (5) à á室¨âáï,

3)¯à¨ q = 1 ® á室¨¬®á⨠¨«¨ à á室¨¬®á⨠àï¤ (5) -¨ç¥£® ᪠§ âì -¥«ì§ï ¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥ - ¤® ¯à¨¬¥-¨âì ¤à㣮© ¯à¨§- ª á室¨¬®áâ¨.

•à¨¬¥à 10. ˆáá«¥¤®¢ âì - á室¨¬®áâì àï¤

1

X 1 n=1 (lnn)n :

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