Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

mstuca27

.pdf
Скачиваний:
9
Добавлен:
22.02.2016
Размер:
290.7 Кб
Скачать

x2. „®áâ â®ç-ë¥ ¯à¨§- ª¨ á室¨¬®á⨠¯®«®¦¨â¥«ì-ëå à冷¢

11

•¥è¥-¨¥: •à¨¬¥-¨¬ ¯à¨§- ª Š®è¨.

 

 

 

an =

1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(lnn)n

 

 

 

n!1 p

n

n!1 s

 

 

 

n!1 lnn

 

(lnn)n

q = lim n

 

 

= lim n

1

 

 

= lim

1

= 0:

a

 

 

 

 

 

 

 

ª ª ª q = 0 < 1; â® ¯® ¯à¨§- ªã Š®è¨ ¨áá«¥¤ã¥¬ë© àï¤ á室¨âáï. •à¨¬¥à 11. ˆáá«¥¤®¢ âì - á室¨¬®áâì àï¤

1

 

n

+ 1

 

n

 

3

 

:

n=1

n

 

5

X

 

 

 

 

 

•¥è¥-¨¥: •à¨¬¥-¨¬ ¯à¨§- ª Š®è¨.

 

 

 

an

= 3n

 

+51

n

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

q = nlim pan = nlim

 

n

 

5

 

n

 

 

 

 

n

3n + 1

 

 

!1

!1

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

= lim 3n + 1 = 3:

n!1 n 5

’ ª ª ª q = 3 > 1; â® ¯® ¯à¨§- ªã Š®è¨ ¨áá«¥¤ã¥¬ë© àï¤ à á室¨âáï.

2.5. ˆ-â¥£à «ì-ë© ¯à¨§- ª Š®è¨{Œ ª«®à¥-

…᫨ äã-ªæ¨ï f (x) - ¯à®¬¥¦ã⪥ [1;+1) ï¥âáï -¥¯à¥àë¢-®©, ¯®«®¦¨- ⥫ì-®© ¨ -¥¢®§à áâ î饩, â® ç¨á«®¢®© àï¤

1

X

an = a1 + a2 + a3 + : : : + an + : : : £¤¥ an = f (n);

n=1

á室¨âáï ¨«¨ à á室¨âáï ®¤-®¢à¥¬¥--® á ¨-â¥£à «®¬

+1

Z

f (x)dx:

1

‡ ¬¥ç -¨¥. ‚ í⮬ ¨-â¥£à «¥ ¢ ª ç¥á⢥ -¨¦-¥£® ¯à¥¤¥« ¬®¦-® ¡à âì

«î¡®¥ ç¨á«®, ¡®«ì襥 ¨«¨ à ¢-®¥ 1.

 

 

 

•à¨¬¥à 12. ˆáá«¥¤®¢ âì -

á室¨¬®áâì àï¤

 

1

 

1

1

 

1

 

 

1

 

 

 

+

 

+

 

 

+

 

 

+ : : : +

 

+ : : :

2

5

10

17

1 + n2

•¥è¥-¨¥: •à¨¬¥-¨¬ ¨-â¥£à «ì-ë© ¯à¨§- ª á室¨¬®á⨠Š®è¨{Œ ª«®-

à¥- . —⮡ë á®áâ ¢¨âì äã-ªæ¨î f (x); ¤®áâ â®ç-® ¢ ä®à¬ã«¥ ®¡é¥£® ç«¥- àï¤ § ¬¥-¨âì n - x: ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, f (x) = 1+1x2 : ’ ª ª ª äã-ªæ¨ï f (x)

12

x2. „®áâ â®ç-ë¥ ¯à¨§- ª¨ á室¨¬®á⨠¯®«®¦¨â¥«ì-ëå à冷¢

-¯à®¬¥¦ã⪥ [1;+1) ï¥âáï -¥¯à¥àë¢-®©, ¯®«®¦¨â¥«ì-®© ¨ ã¡ë¢ î- 饩, â® ¬®¦¥¬ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¨-â¥£à «ì-ë¬ ¯à¨§- ª®¬ Š®è¨{Œ ª«®à¥-

-. • áᬮâਬ ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 -¥á®¡á⢥--ë© ¨-â¥£à «

+1

1 + x2

= b!+1

[arctg

]1 =

2

4

= 4

 

Z1

 

 

dx

lim

 

x b

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

’ ª ª ª -¥á®¡á⢥--ë© ¨-â¥£à « á室¨âáï, â® ¯® ¯à¨§- ªã Š®è¨{Œ ª«®- à¥- á室¨âáï ¨ ¨áá«¥¤ã¥¬ë© àï¤.

•à¨¬¥à 13. ˆáá«¥¤®¢ âì - á室¨¬®áâì àï¤

1

X 1

n=1 n(n + 3):

•¥è¥-¨¥: •à¨¬¥-¨¬ ¨-â¥£à «ì-ë© ¯à¨§- ª á室¨¬®á⨠Š®è¨{Œ ª«®-

à¥- . „«ï ¤ --®£® àï¤

 

f (x) =

 

 

 

1

 

: „ «¥¥,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(x+3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

x(x + 3)

 

b!+1 Z1

b

 

 

 

 

 

 

b!+1

 

3 Z1

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z1

 

x(x + 3)

 

 

 

 

x x + 3

 

 

 

 

dx

= lim

 

 

dx

 

 

 

=

lim

1

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 3 b!+1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

3 b!+1

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 3 1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

1

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

[lnx ln(x + 3)] =

 

 

lim

ln

 

 

 

 

 

=

p3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

b!+1

 

b + 3

 

 

4

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

ln

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

=

 

ln4 = ln

4:

’ ª ª ª -¥á®¡á⢥--ë© ¨-â¥£à « á室¨âáï, â® ¯® ¯à¨§- ªã Š®è¨{Œ ª«®- à¥- á室¨âáï ¨ ¨áá«¥¤ã¥¬ë© àï¤.

•à¨¬¥à 14. ˆáá«¥¤®¢ âì - á室¨¬®áâì àï¤

1

X 1 n=2 n lnn:

•¥è¥-¨¥: •à¨¬¥-¨¬ ¨-â¥£à «ì-ë© ¯à¨§- ª á室¨¬®á⨠Š®è¨{Œ ª«®-

à¥- . „«ï ¤ --®£® àï¤ f (x) =

1

 

 

: ˆáá«¥¤ã¥¬ -

á室¨¬®áâì ¨-â¥£à «

 

x lnx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

b!+1 Z

b

= b!+1

 

 

 

b!+1

 

 

 

1

 

Z

x lnx

 

lnx

 

 

2

 

 

 

 

dx

= lim

 

d lnx

lim

[lnlnx]b =

lim

[lnlnb

 

lnln2] = +

 

:

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

’ ª ª ª -¥á®¡á⢥--ë© ¨-â¥£à « à á室¨âáï, â® ¯® ¯à¨§- ªã Š®è¨{Œ ª«®-

1

à¥- àï¤ P n ln1 n à á室¨âáï.

n=2

x2. „®áâ â®ç-ë¥ ¯à¨§- ª¨ á室¨¬®á⨠¯®«®¦¨â¥«ì-ëå à冷¢

13

•à¨¬¥à 15. ˆáá«¥¤®¢ âì á室¨¬®áâì àï¤ „¨à¨å«¥

 

1

1

 

X

 

 

n=1 np ;

£¤¥ p { «î¡®¥ ¤¥©á⢨⥫ì-®¥ ç¨á«®.

•¥è¥-¨¥: Ž¡é¨© ç«¥- àï¤ an = n1p : …᫨ p 6 0; â® ®¡é¨© ç«¥- àï¤ an -¥ ¡ã¤¥â áâ६¨âìáï ª -ã«î ¯à¨ n ! 1: ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, -¥ ¢ë¯®«-ï¥â-

áï -¥®¡å®¤¨¬ë© ¯à¨§- ª á室¨¬®á⨠àï¤ , àï¤ ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¡ã¤¥â à áå®- ¤¨âìáï. „«ï p > 0 ¯à¨¬¥-¨¬ ¯à¨§- ª Š®è¨{Œ ª«®à¥- . „«ï ¤ --®£® àï¤

f (x) =

 

1

: • áᬮâਬ ®â¤¥«ì-® âਠá«ãç ï.

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) •ãáâì p = 1: ’®£¤

®¡é¨© ç«¥- àï¤

an =

1

; íâ®â àï¤ - §ë¢ ¥âáï

 

£ ମ-¨ç¥áª¨¬. ˆ¬¥¥¬

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

x

= b!+1 Z

b

 

= b!+1

1

b!+1

 

 

 

1

 

 

Z

 

x

 

 

 

 

 

 

 

dx

lim

 

dx

 

lim

[lnx]b =

lim (lnb

 

ln1) = + :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¯® ¨-â¥£à «ì-®¬ã ¯à¨§- ªã Š®è¨{Œ ª«®à¥- £ à- ¬®-¨ç¥áª¨© àï¤ à á室¨âáï.

2) •ãáâì p > 1: ’®£¤

+1dx

 

 

 

b

 

dx

 

 

 

 

 

b

 

 

 

= b!+1

x p+1

b

 

 

Z1

 

xp

= b!+1 Z1

 

xp

= b!+1 Z1

 

 

 

p + 1

1 =

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

lim

x pdx

b

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 p b!+1 xp 1

1

= 1 p b!+1

bp 1 1 = p 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

:

 

 

‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¯® ¨-â¥£à «ì-®¬ã ¯à¨§- ªã Š®è¨{Œ ª«®à¥-

àï¤

 

 

„¨à¨å«¥ ¯à¨ p > 1 á室¨âáï.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) ɇǬ

p <

1

;

 

 

 

lim

 

1

 

= +

1

¨ -¥á®¡á⢥--ë© ¨-â¥£à « à á室¨âáï.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

â® b!+1 bp 1

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 6 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, àï¤ „¨à¨å«¥

1

á室¨âáï ¯à¨ p > 1 ¨ à á室¨âáï ¯à¨

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

‡ ¬¥ç -¨¥. ‘«¥¤ãî騥 àï¤ë ç áâ® ¨á¯®«ì§ãîâ ¤«ï áà ¢-¥-¨ï á ¤àã-

£¨¬¨ àï¤ ¬¨ ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ -¨¨ ¢®¯à®á

® á室¨¬®áâ¨.

1

 

 

q < 1

á室¨âáï (q > 0),

 

P

q

6

 

 

 

(á¬. ¯à¨¬¥à 3 x1),

n=1 qn

>

1

à á室¨âáï

 

1

 

 

p

 

1

à á室¨âáï,

 

 

P

p > 1

 

 

 

n=1

1

 

 

 

(á¬. ¯à¨¬¥à 15).

np

á室¨âáï

 

1
P

14 x2. „®áâ â®ç-ë¥ ¯à¨§- ª¨ á室¨¬®á⨠¯®«®¦¨â¥«ì-ëå à冷¢

•à¨¬¥à 16. ˆáá«¥¤®¢ âì - á室¨¬®áâì àï¤

X

1 n2

n=1 en :

•¥è¥-¨¥: •®á«¥¤®¢ ⥫ì-®áâì en ¯à¨ n ! 1 à á╥⠡ëáâ॥, 祬 «î- ¡ ï á⥯¥-ì n; ¯®í⮬㠤«ï «î¡®£® s > 0 áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ ç¨á«® N0(s) (§ ¢¨áï饥 ®â s), çâ® ¤«ï «î¡®£® n > N0(s) ¢ë¯®«-¥-® -¥à ¢¥-á⢮ en > ns:

Žâáî¤ , ¤«ï ç«¥-®¢ àï¤

¢ë¯®«-ï¥âáï á®®â-®è¥-¨¥

n2

< n2 =

1

¯à¨ «î-

ns 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

en

ns

 

 

¡®¬ n > N0(s): „«ï ⮣® ç⮡ë àï¤

1

á室¨«áï, -¥®¡å®¤¨¬® ¢ë¯®«-¥-¨¥

n=1

ns 2

 

 

 

 

s

 

 

>

 

;

 

 

s >

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ãá«®¢¨ï

 

 

2

 

1

 

â® ¥áâì

 

3

P

 

 

 

 

 

 

1

 

n2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

en

<

 

:

’®£¤ , ¢ ᨫ㠯¥à¢®£® ¯à¨§- ª áà ¢-¥-¨ï, ¯®«ã稬, çâ® àï¤

en

n3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

á室¨âáï, ¯®áª®«ìªã á室¨âáï àï¤

1

1

:

 

 

 

 

P

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

n

 

 

 

 

 

 

•à¨¬¥à 17.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆáá«¥¤®¢ âì -

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

1

X lnn

n=1 n3=2:

 

•¥è¥-¨¥: ‹®£ à¨ä¬¨ç¥áª ï äã-ªæ¨ïs

lnx ¯à¨ x ! +1 à á╥⠬¥¤-

«¥--¥¥, 祬 «î¡ ï á⥯¥-- ï äã-ªæ¨ï x (s > 0): ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï «î-

¡®£® s > 0 áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ N0(s); çâ® lnn < ns

¯à¨ n > N0(s): Žâáî¤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lnn

 

 

ns

 

1

 

lnn

1

 

¯®«ãç ¥¬ -¥à ¢¥-á⢮

 

 

<

 

: •®«®¦¨¬ s = 3

; ⮣¤

 

<

 

: •ï¤

n3=2

n3=2

n3=2

n7=6

1

 

 

1

 

 

á室¨âáï, ¯®í⮬ã, ¢ ᨫ㠯¥à¢®£® ¯à¨§- ª

áà ¢-¥-¨ï, á室¨âáï ¨

 

 

n

7=6

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

1

 

 

lnn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

àï¤

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n3=2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

‡ ¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫ì-®£® à¥è¥-¨ï

 

 

 

 

 

 

ˆá¯®«ì§ãï ¯à¨§- ª¨ áà ¢-¥-¨ï, ¨áá«¥¤®¢ âì -

á室¨¬®áâì àï¤:

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29) n=1

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n + 2)2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30)

 

P

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

n

n

+12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31)

 

 

1

p

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n2+ 2)(n + 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32)

 

 

 

 

p n

+ 3n + 2

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1 3n4 + n3 + 2n + 1

x2. „®áâ â®ç-ë¥ ¯à¨§- ª¨ á室¨¬®á⨠¯®«®¦¨â¥«ì-ëå à冷¢

15

33)

1

 

 

 

 

1

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1 1 + 3n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

34)

P1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

(1 + 2n)3:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

35) n=1

2n2

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

36) n=2

lnn

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38)

P1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln n4 + 3n3:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

37)

n=2

 

(lnn)lnn

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

n4 + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

39) n=1

1

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n 1 :

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40) n=1

 

 

n + 1

 

 

 

n 1

:

 

 

n

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

1

 

 

 

p

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

41) n=1 n arcsin

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n3

 

 

 

 

 

 

 

 

3n + 1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

42) n=1

 

 

 

n + 1

 

n + 2

ln

 

:

 

 

 

 

 

3n 1

 

ˆá¯®«ì§ãï ¯à¨§- ª „ « ¬¡¥à , ¨áá«¥¤®¢ âì - á室¨¬®áâì àï¤:

 

 

P

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

43)

1

2n 1

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

44) n=1

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2n + 1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

45) n=1

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

n(n + 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

46)

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

3n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

3n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

47)

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

2n(2n + 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48)

P1 n2

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1 3n

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

49) n=1

 

 

 

:

 

 

 

 

(5n 4)(4n 1)

 

 

 

 

 

1

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

50) n=1

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

n

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

51)

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

nn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

x2.

„®áâ â®ç-ë¥ ¯à¨§- ª¨ á室¨¬®á⨠¯®«®¦¨â¥«ì-ëå à冷¢

ˆá¯®«ì§ãï ¯à¨§- ª Š®è¨, ¨áá«¥¤®¢ âì - á室¨¬®áâì àï¤:

 

1

 

 

n + 1

 

n

52) n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

2n + 5

 

53)

P1

(5 ( 1)n)n

:

 

 

n=1

 

 

 

 

 

n

4n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

+ 1

 

n

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

1

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

54) n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n + 5

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

1

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

55) n=1

 

 

 

 

3:

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

56) n=1

cos

 

 

 

 

 

 

:

 

 

n

 

 

 

 

 

ˆá¯®«ì§ãï ¨-â¥£à «ì-ë© ¯à¨§- ª, ¨áá«¥¤®¢ âì - á室¨¬®áâì àï¤:

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

57)

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

n=2 n ln

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

58)

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

n=2

 

n

 

 

lnn

 

 

lnlnn

 

P

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

59) n=1

 

p

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

60) n=1

 

 

 

 

:

(2n 1)2n

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

61) P

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

3n 2

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•à¨¬¥-ïï à §«¨ç-ë¥ ¯à¨§- ª¨ á室¨¬®áâ¨, ¨áá«¥¤®¢ âì á室¨¬®áâì §- ª®- ¯®«®¦¨â¥«ì-ëå à冷¢:

1

1

1

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pn

 

62) n=1 p3 n sin n2

:

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

63) n=1

(n + 1)2

:

 

1

 

 

1

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

64) n=1 n sinn :

1

 

 

 

 

 

 

 

 

P pn + 1

 

65)

ne n:

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

66) n=1

 

n3 + 5

:

 

1

 

lnn

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

67) n=2

 

n5

:

1

 

 

1

 

2n

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

68)

 

(n + 1)2

:

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2. „®áâ â®ç-ë¥ ¯à¨§- ª¨ á室¨¬®á⨠¯®«®¦¨â¥«ì-ëå à冷¢

17

 

1

 

 

 

 

n5 + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

69)

P

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

n5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

arctgn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1=n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

70) n=1 10n

n

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

71) n=1

3

 

 

 

 

 

1

sin

n

:

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

72)

P

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3n + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

73)

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

n + 1

 

 

 

 

 

2

 

74)

P

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

n=1

2n + 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

75) n=2 p7 n lncos

 

 

:

 

n

 

 

P

 

 

 

 

 

arcsin

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

76)

P

 

 

 

 

:

 

p + 1 p

 

n=1

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1p

77)P n10e n:

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

78)

1

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P n2e pn:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

79)

n=1

 

lnn :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=2

 

en

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

lnn

 

 

 

 

 

 

 

pn

2

 

 

 

 

80)

P pn + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

81)

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

p3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=3

 

 

 

 

 

 

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

; a > 0; a 6= 1:

82) n=1

a n

2 + a n

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

p1

+ 1 pn

1

:

83) n=1

arctg n

 

P cos

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

84)

1

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n + 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

5n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

85) n=1

3n 1

:

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

87)

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

1

 

 

 

 

 

 

 

P1

 

 

n 3

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

86) n=1

p

n

arccos

n

:

 

 

 

 

 

 

 

n=4 n + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18

 

 

 

 

 

 

 

 

x2.

 

 

 

 

 

„®áâ â®ç-ë¥ ¯à¨§- ª¨ á室¨¬®á⨠¯®«®¦¨â¥«ì-ëå à冷¢

 

1

 

 

 

 

2n + 1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

88) n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n + 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

2

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

: : :

 

 

 

(3n

 

 

 

1)

 

 

 

89)

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

P1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

n

 

12

 

: : :

 

 

(5n

 

3)

 

 

 

n=1

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

90)

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

n2

 

 

 

n

 

 

 

:

 

n=1

 

 

3 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

91) n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 1

p

 

 

+

 

 

 

+ 3

 

92)

P1

 

 

 

p

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

93)

1

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

n

 

 

 

ln(n

+ 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P1

 

(2n

 

 

 

 

 

 

 

 

1)!!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

94)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

3n

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1 pn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

95)

P

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

96) n=1 log2n 1 +

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P1

n1=n

3

 

 

1 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

97) n=2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

98)

P1 n sin

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

99)

P1 pn ln n + 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

101) P1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

100) n=1

cos pn

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

lnn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

npn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

102) n=1

arcsin

n

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

103) n=2 pn ln npn

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

104) n=1

cos n

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

105) n=1

n

lnsin

n

 

x3. ‡- ª®¯¥à¥¬¥--ë¥ àï¤ë

19

 

1

ln

2n + 3

 

n

 

106) n=1

 

 

 

 

:

 

 

n + 1

 

 

 

 

P1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

107)

P

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

lnn

 

 

 

 

 

 

 

 

n=2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

109)

1

 

 

 

 

 

 

 

= 0:

 

P1 e 2n;

 

108)

n=2

 

n

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P1

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

31=n 1

 

 

 

 

 

110)

P

 

n

 

 

:

 

 

 

 

 

 

1

 

n

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

lncos n

:

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

111) n=2

lncos n3

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lnn

3

 

 

 

 

 

 

 

112) n=2 n

 

ln2 lnn :

 

 

1

 

 

 

 

 

(n!)

 

 

 

 

 

 

 

113)

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3=2

 

 

 

 

 

[(2n + 1)!]

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3. ‡- ª®¯¥à¥¬¥--ë¥ àï¤ë

3.1. ‡- ª®ç¥à¥¤ãî騥áï àï¤ë. •à¨§- ª ‹¥©¡-¨æ

…᫨ á।¨ ç«¥-®¢ ¤ --®£® àï¤ ¨¬¥îâáï ª ª ¯®«®¦¨â¥«ì-ë¥, â ª ¨ ®âà¨- æ ⥫ì-ë¥ (¯à¨ç•¥¬ ¨ â¥å ¨ ¤àã£¨å ¡¥áª®-¥ç-®¥ ç¨á«®), â® â ª®© àï¤ - - §ë¢ ¥âáï §- ª®¯¥à¥¬¥--ë¬. ‡- ª®¯¥à¥¬¥--ë© àï¤ - §ë¢ ¥âáï §- ª®ç¥à¥¤ã- î騬áï, ¥á«¨ «î¡ë¥ ¤¢ à冷¬ áâ®ï騥 ç«¥- ¨¬¥îâ ¯à®â¨¢®¯®«®¦-ë¥ §- ª¨. ‡- ª®ç¥à¥¤ãî騩áï àï¤ ¬®¦-® § ¯¨á âì â ª:

1

X

( 1)n 1an = a1 a2 + a3 a4 + : : : + ( 1)n 1an + : : :

n=1

¨«¨ â ª:

1

X

( 1)nan = a1 + a2 a3 + a4 : : : + ( 1)nan + : : : ;

n=1

£¤¥ ¢á¥ ç¨á« an (n = 1; 2; 3; : : :) ¯®«®¦¨â¥«ì-ë.

„«ï §- ª®ç¥à¥¤ãîé¨åáï à冷¢ á¯à ¢¥¤«¨¢ á«¥¤ãî騩 ¯à¨§- ª á室¨¬®- á⨠‹¥©¡-¨æ .

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3.

‡- ª®¯¥à¥¬¥--ë¥ àï¤ë

‡- ª®ç¥à¥¤ãî騩áï àï¤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1)n 1an = a1 a2 + a3 a4 + : : : + ( 1)n 1an + : : : ; an > 0

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

á室¨âáï, ¥á«¨

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) an > an+1 ¤«ï ¢á¥å n;

 

 

 

 

 

 

 

 

2) lim an = 0:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•à¨¬¥à 1. „®ª § âì á室¨¬®áâì àï¤

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

1

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

+

 

 

 

 

+ : : :

+ ( 1)n 1

 

+ : : :

 

 

2

3

4

n

•â®â àï¤ - §ë¢ ¥âáï à冷¬ ‹¥©¡-¨æ .

 

 

 

 

 

•¥è¥-¨¥:

„ --ë© àï¤ ã¤®¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨ï¬ ¯à¨§- ª ‹¥©¡-¨æ .

—«¥-ë àï¤ ¯®

¡á®«îâ-®© ¢¥«¨ç¨-¥ ¬®-®â®--® ã¡ë¢ îâ, â ª ª ª

1 >

1

>

1

>

1

> : : : ¨

lim an = lim

1

= 0:

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

2

 

3

 

 

 

 

n!1

n!1 n

‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¯® ¯à¨§- ªã ‹¥©¡-¨æ íâ®â àï¤ á室¨âáï.

‡ ¬¥ç -¨¥. „«ï á室¨¬®á⨠§- ª®ç¥à¥¤ãî饣®áï àï¤ -¥¤®áâ â®ç-®, çâ®¡ë ¥£® ®¡é¨© ç«¥- áâ६¨«áï ª -ã«î. ‚ ¯à¨§- ª¥ ‹¥©¡-¨æ áãé¥á⢥--

-®, ç⮡ë

 

¡á®«îâ- ï ¢¥«¨ç¨-

®¡é¥£® ç«¥-

àï¤ áâ६¨« áì ª -ã«î ¬®-

-®â®--®.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•à¨¬¥à 2. ˆáá«¥¤®¢ âì, á室¨âáï ¨«¨ à á室¨âáï àï¤

 

1

 

1

+

1

 

1

+ : : : +

1

 

1

+ : : :

 

p

 

 

p

 

 

p

 

 

p

 

 

p

 

 

p

 

 

 

 

2 1

 

 

2 + 1 3 1

3 + 1

 

 

 

n 1 n + 1

•¥è¥-¨¥: •ï¤ §- ª®ç¥à¥¤ãî騩áï, ®¡é¨© ç«¥- ¤ --®£® àï¤ áâ६¨â-

áï ª -ã«î ¯à¨ n ! 1; -® ç«¥-ë àï¤ ã¡ë¢ îâ -¥¬®-®â®--® (- àãè¥-® ®¤-® ¨§ ãá«®¢¨© ¯à¨§- ª ‹¥©¡-¨æ ).

 

p

 

1

>

p

 

1

;

p

 

1

<

p

 

1

¨ â ª ¤ «¥¥.

 

 

 

 

 

 

 

2 1

2 + 1

 

2 + 1

 

 

3 1

 

 

 

 

 

Œ®-®â®--®áâì - àãè ¥âáï ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ®â ç«¥-

 

p

1

ª ç«¥-ã

p

1

 

1

:

 

 

 

n+1

n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆáá«¥¤ã¥¬ á室¨¬®áâì í⮣® àï¤ , ¯®«ì§ãïáì ®á-®¢-ë¬ ®¯à¥¤¥«¥-¨¥¬. ‘®áâ ¢¨¬ ç áâ¨ç-ãî á㬬㠨§ 2n ¥£® ç«¥-®¢.

n+1

1

1

pk1+ 1

 

 

n+1

k

2

1

n

1

:

S2n = k=2

pk

 

= k=2

 

= 2 k=1

k

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

X

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nlim S2n = 2nlim

 

k

= +1;

 

 

 

 

 

!1

 

!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=1