mstuca27
.pdfx2. „®áâ â®ç-ë¥ ¯à¨§- ª¨ á室¨¬®á⨠¯®«®¦¨â¥«ì-ëå à冷¢ |
11 |
•¥è¥-¨¥: •à¨¬¥-¨¬ ¯à¨§- ª Š®è¨.
|
|
|
an = |
1 |
; |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(lnn)n |
|
|
|
|||||
n!1 p |
n |
n!1 s |
|
|
|
n!1 lnn |
|||||
|
(lnn)n |
||||||||||
q = lim n |
|
|
= lim n |
1 |
|
|
= lim |
1 |
= 0: |
||
a |
|
|
|
|
|
|
|
’ª ª ª q = 0 < 1; â® ¯® ¯à¨§- ªã Š®è¨ ¨áá«¥¤ã¥¬ë© àï¤ á室¨âáï. •à¨¬¥à 11. ˆáá«¥¤®¢ âì - á室¨¬®áâì àï¤
1 |
|
n |
+ 1 |
|
n |
|
|
3 |
|
: |
|||
n=1 |
n |
|
5 |
|||
X |
|
|
|
|
|
•¥è¥-¨¥: •à¨¬¥-¨¬ ¯à¨§- ª Š®è¨.
|
|
|
an |
= 3n |
|
+51 |
n |
|||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
q = nlim pan = nlim |
|
n |
|
5 |
|
n |
||||||
|
|
|
|
n |
3n + 1 |
|
|
|||||
!1 |
!1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;
= lim 3n + 1 = 3:
n!1 n 5
’ ª ª ª q = 3 > 1; â® ¯® ¯à¨§- ªã Š®è¨ ¨áá«¥¤ã¥¬ë© àï¤ à á室¨âáï.
2.5. ˆ-â¥£à «ì-ë© ¯à¨§- ª Š®è¨{Œ ª«®à¥-
…᫨ äã-ªæ¨ï f (x) - ¯à®¬¥¦ã⪥ [1;+1) ï¥âáï -¥¯à¥àë¢-®©, ¯®«®¦¨- ⥫ì-®© ¨ -¥¢®§à áâ î饩, â® ç¨á«®¢®© àï¤
1
X
an = a1 + a2 + a3 + : : : + an + : : : £¤¥ an = f (n);
n=1
á室¨âáï ¨«¨ à á室¨âáï ®¤-®¢à¥¬¥--® á ¨-â¥£à «®¬
+1
Z
f (x)dx:
1
‡ ¬¥ç -¨¥. ‚ í⮬ ¨-â¥£à «¥ ¢ ª ç¥á⢥ -¨¦-¥£® ¯à¥¤¥« ¬®¦-® ¡à âì
«î¡®¥ ç¨á«®, ¡®«ì襥 ¨«¨ à ¢-®¥ 1. |
|
|
|
|||||||||
•à¨¬¥à 12. ˆáá«¥¤®¢ âì - |
á室¨¬®áâì àï¤ |
|
||||||||||
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|||
|
|
+ |
|
+ |
|
|
+ |
|
|
+ : : : + |
|
+ : : : |
2 |
5 |
10 |
17 |
1 + n2 |
•¥è¥-¨¥: •à¨¬¥-¨¬ ¨-â¥£à «ì-ë© ¯à¨§- ª á室¨¬®á⨠Š®è¨{Œ ª«®-
à¥- . —⮡ë á®áâ ¢¨âì äã-ªæ¨î f (x); ¤®áâ â®ç-® ¢ ä®à¬ã«¥ ®¡é¥£® ç«¥- àï¤ § ¬¥-¨âì n - x: ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, f (x) = 1+1x2 : ’ ª ª ª äã-ªæ¨ï f (x)
12 |
x2. „®áâ â®ç-ë¥ ¯à¨§- ª¨ á室¨¬®á⨠¯®«®¦¨â¥«ì-ëå à冷¢ |
-¯à®¬¥¦ã⪥ [1;+1) ï¥âáï -¥¯à¥àë¢-®©, ¯®«®¦¨â¥«ì-®© ¨ ã¡ë¢ î- 饩, â® ¬®¦¥¬ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¨-â¥£à «ì-ë¬ ¯à¨§- ª®¬ Š®è¨{Œ ª«®à¥-
-. • áᬮâਬ ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 -¥á®¡á⢥--ë© ¨-â¥£à «
+1 |
1 + x2 |
= b!+1 |
[arctg |
]1 = |
2 |
4 |
= 4 |
|
|
Z1 |
|
||||||||
|
dx |
lim |
|
x b |
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
’ ª ª ª -¥á®¡á⢥--ë© ¨-â¥£à « á室¨âáï, â® ¯® ¯à¨§- ªã Š®è¨{Œ ª«®- à¥- á室¨âáï ¨ ¨áá«¥¤ã¥¬ë© àï¤.
•à¨¬¥à 13. ˆáá«¥¤®¢ âì - á室¨¬®áâì àï¤
1
X 1
n=1 n(n + 3):
•¥è¥-¨¥: •à¨¬¥-¨¬ ¨-â¥£à «ì-ë© ¯à¨§- ª á室¨¬®á⨠Š®è¨{Œ ª«®-
à¥- . „«ï ¤ --®£® àï¤ |
|
f (x) = |
|
|
|
1 |
|
: „ «¥¥, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x(x+3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
+1 |
x(x + 3) |
|
b!+1 Z1 |
b |
|
|
|
|
|
|
b!+1 |
|
3 Z1 |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Z1 |
|
x(x + 3) |
|
|
|
|
x x + 3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
dx |
= lim |
|
|
dx |
|
|
|
= |
lim |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dx = |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= 3 b!+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 b!+1 |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 3 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
lim |
[lnx ln(x + 3)] = |
|
|
lim |
ln |
|
|
|
|
|
= |
p3 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
b!+1 |
|
b + 3 |
|
|
4 |
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
ln |
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
= |
|
ln4 = ln |
4: |
’ ª ª ª -¥á®¡á⢥--ë© ¨-â¥£à « á室¨âáï, â® ¯® ¯à¨§- ªã Š®è¨{Œ ª«®- à¥- á室¨âáï ¨ ¨áá«¥¤ã¥¬ë© àï¤.
•à¨¬¥à 14. ˆáá«¥¤®¢ âì - á室¨¬®áâì àï¤
1
X 1 n=2 n lnn:
•¥è¥-¨¥: •à¨¬¥-¨¬ ¨-â¥£à «ì-ë© ¯à¨§- ª á室¨¬®á⨠Š®è¨{Œ ª«®-
à¥- . „«ï ¤ --®£® àï¤ f (x) = |
1 |
|
|
: ˆáá«¥¤ã¥¬ - |
á室¨¬®áâì ¨-â¥£à « |
|
|||||||||
x lnx |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+1 |
|
b!+1 Z |
b |
= b!+1 |
|
|
|
b!+1 |
|
|
|
1 |
|
||
Z |
x lnx |
|
lnx |
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
dx |
= lim |
|
d lnx |
lim |
[lnlnx]b = |
lim |
[lnlnb |
|
lnln2] = + |
|
: |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ ª ª ª -¥á®¡á⢥--ë© ¨-â¥£à « à á室¨âáï, â® ¯® ¯à¨§- ªã Š®è¨{Œ ª«®-
1
à¥- àï¤ P n ln1 n à á室¨âáï.
n=2
x2. „®áâ â®ç-ë¥ ¯à¨§- ª¨ á室¨¬®á⨠¯®«®¦¨â¥«ì-ëå à冷¢ |
13 |
|
•à¨¬¥à 15. ˆáá«¥¤®¢ âì á室¨¬®áâì àï¤ „¨à¨å«¥ |
|
|
1 |
1 |
|
X |
|
|
n=1 np ;
£¤¥ p { «î¡®¥ ¤¥©á⢨⥫ì-®¥ ç¨á«®.
•¥è¥-¨¥: Ž¡é¨© ç«¥- àï¤ an = n1p : …᫨ p 6 0; â® ®¡é¨© ç«¥- àï¤ an -¥ ¡ã¤¥â áâ६¨âìáï ª -ã«î ¯à¨ n ! 1: ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, -¥ ¢ë¯®«-ï¥â-
áï -¥®¡å®¤¨¬ë© ¯à¨§- ª á室¨¬®á⨠àï¤ , àï¤ ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¡ã¤¥â à áå®- ¤¨âìáï. „«ï p > 0 ¯à¨¬¥-¨¬ ¯à¨§- ª Š®è¨{Œ ª«®à¥- . „«ï ¤ --®£® àï¤
f (x) = |
|
1 |
: • áᬮâਬ ®â¤¥«ì-® âਠá«ãç ï. |
|
|
|
|
|||||||||
|
p |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) •ãáâì p = 1: ’®£¤ |
®¡é¨© ç«¥- àï¤ |
an = |
1 |
; íâ®â àï¤ - §ë¢ ¥âáï |
||||||||||||
|
£ ମ-¨ç¥áª¨¬. ˆ¬¥¥¬ |
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
+1 |
x |
= b!+1 Z |
b |
|
= b!+1 |
1 |
b!+1 |
|
|
|
1 |
||||
|
|
Z |
|
x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
dx |
lim |
|
dx |
|
lim |
[lnx]b = |
lim (lnb |
|
ln1) = + : |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¯® ¨-â¥£à «ì-®¬ã ¯à¨§- ªã Š®è¨{Œ ª«®à¥- £ à- ¬®-¨ç¥áª¨© àï¤ à á室¨âáï.
2) •ãáâì p > 1: ’®£¤
+1dx |
|
|
|
b |
|
dx |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
= b!+1 |
x p+1 |
b |
|
|
||||||||||
Z1 |
|
xp |
= b!+1 Z1 |
|
xp |
= b!+1 Z1 |
|
|
|
p + 1 |
1 = |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
lim |
x pdx |
b |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 p b!+1 xp 1 |
1 |
= 1 p b!+1 |
bp 1 1 = p 1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
: |
||
|
|
‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¯® ¨-â¥£à «ì-®¬ã ¯à¨§- ªã Š®è¨{Œ ª«®à¥- |
àï¤ |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
„¨à¨å«¥ ¯à¨ p > 1 á室¨âáï. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
3) ɇǬ |
p < |
1 |
; |
|
|
|
lim |
|
1 |
|
= + |
1 |
¨ -¥á®¡á⢥--ë© ¨-â¥£à « à á室¨âáï. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
â® b!+1 bp 1 |
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
p 6 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, àï¤ „¨à¨å«¥ |
1 |
á室¨âáï ¯à¨ p > 1 ¨ à á室¨âáï ¯à¨ |
||||||||||||||||||||||||||||
|
p |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1
‡ ¬¥ç -¨¥. ‘«¥¤ãî騥 àï¤ë ç áâ® ¨á¯®«ì§ãîâ ¤«ï áà ¢-¥-¨ï á ¤àã-
£¨¬¨ àï¤ ¬¨ ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ -¨¨ ¢®¯à®á |
® á室¨¬®áâ¨. |
|||||||
1 |
|
|
q < 1 |
á室¨âáï (q > 0), |
|
|||
P |
q |
6 |
|
|
|
(á¬. ¯à¨¬¥à 3 x1), |
||
n=1 qn |
> |
1 |
à á室¨âáï |
|
||||
1 |
|
|
p |
|
1 |
à á室¨âáï, |
|
|
P |
p > 1 |
|
|
|
||||
n=1 |
1 |
|
|
|
(á¬. ¯à¨¬¥à 15). |
|||
np |
á室¨âáï |
|
14 x2. „®áâ â®ç-ë¥ ¯à¨§- ª¨ á室¨¬®á⨠¯®«®¦¨â¥«ì-ëå à冷¢
•à¨¬¥à 16. ˆáá«¥¤®¢ âì - á室¨¬®áâì àï¤
X
1 n2
n=1 en :
•¥è¥-¨¥: •®á«¥¤®¢ ⥫ì-®áâì en ¯à¨ n ! 1 à á╥⠡ëáâ॥, 祬 «î- ¡ ï á⥯¥-ì n; ¯®í⮬㠤«ï «î¡®£® s > 0 áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ ç¨á«® N0(s) (§ ¢¨áï饥 ®â s), çâ® ¤«ï «î¡®£® n > N0(s) ¢ë¯®«-¥-® -¥à ¢¥-á⢮ en > ns:
Žâáî¤ , ¤«ï ç«¥-®¢ àï¤ |
¢ë¯®«-ï¥âáï á®®â-®è¥-¨¥ |
n2 |
< n2 = |
1 |
¯à¨ «î- |
||||||||||||||||||
ns 2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
en |
ns |
|
|
||
¡®¬ n > N0(s): „«ï ⮣® ç⮡ë àï¤ |
1 |
á室¨«áï, -¥®¡å®¤¨¬® ¢ë¯®«-¥-¨¥ |
|||||||||||||||||||||
n=1 |
ns 2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
s |
|
|
> |
|
; |
|
|
s > |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ãá«®¢¨ï |
|
|
2 |
|
1 |
|
â® ¥áâì |
|
3 |
P |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
n2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
en |
< |
|
: |
’®£¤ , ¢ ᨫ㠯¥à¢®£® ¯à¨§- ª áà ¢-¥-¨ï, ¯®«ã稬, çâ® àï¤ |
en |
||||||||||||||||||
n3 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
á室¨âáï, ¯®áª®«ìªã á室¨âáï àï¤ |
1 |
1 |
: |
|
|
|
|
P |
|
||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n |
|
|
|
|
|
|||
|
•à¨¬¥à 17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆáá«¥¤®¢ âì - |
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
1
X lnn
n=1 n3=2:
|
•¥è¥-¨¥: ‹®£ à¨ä¬¨ç¥áª ï äã-ªæ¨ïs |
lnx ¯à¨ x ! +1 à á╥⠬¥¤- |
||||||||||||||||||||||||||
«¥--¥¥, 祬 «î¡ ï á⥯¥-- ï äã-ªæ¨ï x (s > 0): ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï «î- |
||||||||||||||||||||||||||||
¡®£® s > 0 áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ N0(s); çâ® lnn < ns |
¯à¨ n > N0(s): Žâáî¤ |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lnn |
|
|
ns |
|
1 |
|
lnn |
1 |
|
|||
¯®«ãç ¥¬ -¥à ¢¥-á⢮ |
|
|
< |
|
: •®«®¦¨¬ s = 3 |
; ⮣¤ |
|
< |
|
: •ï¤ |
||||||||||||||||||
n3=2 |
n3=2 |
n3=2 |
n7=6 |
|||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
á室¨âáï, ¯®í⮬ã, ¢ ᨫ㠯¥à¢®£® ¯à¨§- ª |
áà ¢-¥-¨ï, á室¨âáï ¨ |
|||||||||||||||||||||
|
|
n |
7=6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P |
|
|
1 |
|
|
lnn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
àï¤ |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
n3=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
‡ ¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫ì-®£® à¥è¥-¨ï |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
ˆá¯®«ì§ãï ¯à¨§- ª¨ áà ¢-¥-¨ï, ¨áá«¥¤®¢ âì - |
á室¨¬®áâì àï¤: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
29) n=1 |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(n + 2)2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30) |
|
P |
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
n=1 |
|
|
n |
n |
+12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
P |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
31) |
|
|
1 |
p |
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
(n2+ 2)(n + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
32) |
|
|
|
|
p n |
+ 3n + 2 |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 3n4 + n3 + 2n + 1
x2. „®áâ â®ç-ë¥ ¯à¨§- ª¨ á室¨¬®á⨠¯®«®¦¨â¥«ì-ëå à冷¢ |
15 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
33) |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 1 + 3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
34) |
P1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n=1 |
|
(1 + 2n)3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35) n=1 |
2n2 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36) n=2 |
lnn |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
38) |
P1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ln n4 + 3n3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
37) |
n=2 |
|
(lnn)lnn |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n4 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
39) n=1 |
1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n 1 : |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
40) n=1 |
|
|
n + 1 |
|
|
|
n 1 |
: |
|
|
|||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
1 |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41) n=1 n arcsin |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3n + 1 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42) n=1 |
|
|
|
n + 1 |
|
n + 2 |
ln |
|
: |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3n 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
ˆá¯®«ì§ãï ¯à¨§- ª „ « ¬¡¥à , ¨áá«¥¤®¢ âì - á室¨¬®áâì àï¤: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
P |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|||||||||||||||
43) |
1 |
2n 1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44) n=1 |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(2n + 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45) n=1 |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
n(n + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
46) |
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
47) |
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n=1 |
|
2n(2n + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
48) |
P1 n2 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n=1 3n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49) n=1 |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
(5n 4)(4n 1) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50) n=1 |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
3 |
n |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
51) |
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
x2. |
„®áâ â®ç-ë¥ ¯à¨§- ª¨ á室¨¬®á⨠¯®«®¦¨â¥«ì-ëå à冷¢ |
|||||||||||||||||
ˆá¯®«ì§ãï ¯à¨§- ª Š®è¨, ¨áá«¥¤®¢ âì - á室¨¬®áâì àï¤: |
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
n + 1 |
|
n |
|||||||||||||||||
52) n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
||||||||
2n + 5 |
|
||||||||||||||||||||||
53) |
P1 |
(5 ( 1)n)n |
: |
|
|||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
n |
4n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2n |
+ 1 |
|
n |
|||||||||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
||||||||
54) n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n + 5 |
|
||||||||||||||||||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
55) n=1 |
|
|
|
|
3: |
|
|
|
|
||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
56) n=1 |
cos |
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
ˆá¯®«ì§ãï ¨-â¥£à «ì-ë© ¯à¨§- ª, ¨áá«¥¤®¢ âì - á室¨¬®áâì àï¤: |
|||||||||||||||||||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57) |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n=2 n ln |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
58) |
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
n=2 |
|
n |
|
|
lnn |
|
|
lnlnn |
|||||||||||||||
|
P |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
59) n=1 |
|
p |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60) n=1 |
|
|
|
|
: |
||||||||||||||||||
(2n 1)2n |
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61) P |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|||
3n 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•à¨¬¥-ïï à §«¨ç-ë¥ ¯à¨§- ª¨ á室¨¬®áâ¨, ¨áá«¥¤®¢ âì á室¨¬®áâì §- ª®- ¯®«®¦¨â¥«ì-ëå à冷¢:
1 |
1 |
1 |
|
||||||
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pn |
|
||||||
62) n=1 p3 n sin n2 |
: |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
63) n=1 |
(n + 1)2 |
: |
|
||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64) n=1 n sinn :
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
P pn + 1 |
|
|||||||
65) |
ne n: |
|
|
|
||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
66) n=1 |
|
n3 + 5 |
: |
|
||||
1 |
|
lnn |
|
|
|
|
||
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
67) n=2 |
|
n5 |
: |
1 |
|
|
||
1 |
|
2n |
|
|
|
|||
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
68) |
|
(n + 1)2 |
: |
|||||
n=1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2. „®áâ â®ç-ë¥ ¯à¨§- ª¨ á室¨¬®á⨠¯®«®¦¨â¥«ì-ëå à冷¢ |
17 |
|||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
n5 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
69) |
P |
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n=1 |
|
|
|
|
n5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
arctgn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1=n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
70) n=1 10n |
n |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
71) n=1 |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
sin |
n |
: |
|
|||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72) |
P |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
3n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
73) |
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
74) |
P |
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|||||
n=1 |
2n + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
75) n=2 p7 n lncos |
|
|
: |
|
||||||||||||||||||
n |
|
|||||||||||||||||||||
|
P |
|
|
|
|
|
arcsin |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||
76) |
P |
|
|
|
|
: |
|
|||||||||||||||
p + 1 p |
|
|||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1p
77)P n10e n:
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78) |
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
P n2e pn: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
79) |
n=1 |
|
lnn : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 |
|
en |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
lnn |
|
|
|
|
|
|
|
pn |
2 |
|
|
|
|
||||||||
80) |
P pn + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n=3 |
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
; a > 0; a 6= 1: |
|||||||||
82) n=1 |
a n |
2 + a n |
||||||||||||||||||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
p1 |
+ 1 pn |
1 |
: |
|||||||||||||||||||
83) n=1 |
arctg n |
|||||||||||||||||||||||
|
P cos |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
84) |
1 |
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
P1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
n + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n=1 |
|
5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
85) n=1 |
3n 1 |
: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
87) |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
P1 |
|
|
n 3 |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
86) n=1 |
p |
n |
arccos |
n |
: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n=4 n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2. |
|
|
|
|
|
„®áâ â®ç-ë¥ ¯à¨§- ª¨ á室¨¬®á⨠¯®«®¦¨â¥«ì-ëå à冷¢ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
2n + 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
88) n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
n + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
P |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
: : : |
|
|
|
(3n |
|
|
|
1) |
|
|
|
||||||||||||||||
89) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
||||||||||||
P1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
n |
|
12 |
|
: : : |
|
|
(5n |
|
3) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
90) |
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
n2 |
|
|
|
n |
|
|
|
: |
|||||||||||||
|
n=1 |
|
|
3 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
91) n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
p |
|
|
+ |
|
|
|
+ 3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
92) |
P1 |
|
|
|
p |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
93) |
1 |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
P |
|
|
n |
|
|
|
ln(n |
+ 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
P1 |
|
(2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
1)!! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
94) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
3n |
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 pn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
95) |
P |
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n=1 |
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
96) n=1 log2n 1 + |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
P1 |
n1=n |
3 |
|
|
1 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
97) n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
98) |
P1 n sin |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
99) |
P1 pn ln n + 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
101) P1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
100) n=1 |
cos pn |
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
n |
|
|
|
lnn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
npn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
102) n=1 |
arcsin |
n |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
103) n=2 pn ln npn |
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
104) n=1 |
cos n |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
||||||||||||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
105) n=1 |
n |
lnsin |
n |
|
x3. ‡- ª®¯¥à¥¬¥--ë¥ àï¤ë |
19 |
|||||||||||||||
|
1 |
ln |
2n + 3 |
|
n |
|
||||||||||
106) n=1 |
|
|
|
|
: |
|
|
|||||||||
n + 1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
P1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
107) |
P |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
lnn |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
109) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
= 0: |
|
||||||
P1 e 2n; |
|
|||||||||||||||
108) |
n=2 |
|
n |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
31=n 1 |
|
|
|
|
|
||||||
110) |
P |
|
n |
|
|
: |
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
lncos n |
: |
|
|
|
|||||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
111) n=2 |
lncos n3 |
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lnn |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
112) n=2 n |
|
ln2 lnn : |
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
(n!) |
|
|
|
|
|
|
|
||
113) |
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
3=2 |
|
|
|
|||||
|
|
[(2n + 1)!] |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3. ‡- ª®¯¥à¥¬¥--ë¥ àï¤ë
3.1. ‡- ª®ç¥à¥¤ãî騥áï àï¤ë. •à¨§- ª ‹¥©¡-¨æ
…᫨ á।¨ ç«¥-®¢ ¤ --®£® àï¤ ¨¬¥îâáï ª ª ¯®«®¦¨â¥«ì-ë¥, â ª ¨ ®âà¨- æ ⥫ì-ë¥ (¯à¨ç•¥¬ ¨ â¥å ¨ ¤àã£¨å ¡¥áª®-¥ç-®¥ ç¨á«®), â® â ª®© àï¤ - - §ë¢ ¥âáï §- ª®¯¥à¥¬¥--ë¬. ‡- ª®¯¥à¥¬¥--ë© àï¤ - §ë¢ ¥âáï §- ª®ç¥à¥¤ã- î騬áï, ¥á«¨ «î¡ë¥ ¤¢ à冷¬ áâ®ï騥 ç«¥- ¨¬¥îâ ¯à®â¨¢®¯®«®¦-ë¥ §- ª¨. ‡- ª®ç¥à¥¤ãî騩áï àï¤ ¬®¦-® § ¯¨á âì â ª:
1
X
( 1)n 1an = a1 a2 + a3 a4 + : : : + ( 1)n 1an + : : :
n=1
¨«¨ â ª:
1
X
( 1)nan = a1 + a2 a3 + a4 : : : + ( 1)nan + : : : ;
n=1
£¤¥ ¢á¥ ç¨á« an (n = 1; 2; 3; : : :) ¯®«®¦¨â¥«ì-ë.
„«ï §- ª®ç¥à¥¤ãîé¨åáï à冷¢ á¯à ¢¥¤«¨¢ á«¥¤ãî騩 ¯à¨§- ª á室¨¬®- á⨠‹¥©¡-¨æ .
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3. |
‡- ª®¯¥à¥¬¥--ë¥ àï¤ë |
|||
‡- ª®ç¥à¥¤ãî騩áï àï¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1)n 1an = a1 a2 + a3 a4 + : : : + ( 1)n 1an + : : : ; an > 0 |
|||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
á室¨âáï, ¥á«¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) an > an+1 ¤«ï ¢á¥å n; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2) lim an = 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•à¨¬¥à 1. „®ª § âì á室¨¬®áâì àï¤ |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ : : : |
+ ( 1)n 1 |
|
+ : : : |
|
||
|
2 |
3 |
4 |
n |
|||||||||||||
•â®â àï¤ - §ë¢ ¥âáï à冷¬ ‹¥©¡-¨æ . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
•¥è¥-¨¥: |
„ --ë© àï¤ ã¤®¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨ï¬ ¯à¨§- ª ‹¥©¡-¨æ . |
||||||||||||||||
—«¥-ë àï¤ ¯® |
¡á®«îâ-®© ¢¥«¨ç¨-¥ ¬®-®â®--® ã¡ë¢ îâ, â ª ª ª |
||||||||||||||||
1 > |
1 |
> |
1 |
> |
1 |
> : : : ¨ |
lim an = lim |
1 |
= 0: |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
4 |
|
||||||||||||||
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
n!1 |
n!1 n |
‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¯® ¯à¨§- ªã ‹¥©¡-¨æ íâ®â àï¤ á室¨âáï.
‡ ¬¥ç -¨¥. „«ï á室¨¬®á⨠§- ª®ç¥à¥¤ãî饣®áï àï¤ -¥¤®áâ â®ç-®, çâ®¡ë ¥£® ®¡é¨© ç«¥- áâ६¨«áï ª -ã«î. ‚ ¯à¨§- ª¥ ‹¥©¡-¨æ áãé¥á⢥--
-®, ç⮡ë |
|
¡á®«îâ- ï ¢¥«¨ç¨- |
®¡é¥£® ç«¥- |
àï¤ áâ६¨« áì ª -ã«î ¬®- |
|||||||||||||||||||||||
-®â®--®. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
•à¨¬¥à 2. ˆáá«¥¤®¢ âì, á室¨âáï ¨«¨ à á室¨âáï àï¤ |
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
1 |
+ |
1 |
|
1 |
+ : : : + |
1 |
|
1 |
+ : : : |
|||||||||||||||
|
p |
|
|
p |
|
|
p |
|
|
p |
|
|
p |
|
|
p |
|
|
|||||||||
|
|
2 1 |
|
|
2 + 1 3 1 |
3 + 1 |
|
|
|
n 1 n + 1 |
|||||||||||||||||
•¥è¥-¨¥: •ï¤ §- ª®ç¥à¥¤ãî騩áï, ®¡é¨© ç«¥- ¤ --®£® àï¤ áâ६¨â- |
áï ª -ã«î ¯à¨ n ! 1; -® ç«¥-ë àï¤ ã¡ë¢ îâ -¥¬®-®â®--® (- àãè¥-® ®¤-® ¨§ ãá«®¢¨© ¯à¨§- ª ‹¥©¡-¨æ ).
|
p |
|
1 |
> |
p |
|
1 |
; |
p |
|
1 |
< |
p |
|
1 |
¨ â ª ¤ «¥¥. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 1 |
2 + 1 |
|
2 + 1 |
|
|
3 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Œ®-®â®--®áâì - àãè ¥âáï ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ®â ç«¥- |
|
p |
1 |
ª ç«¥-ã |
p |
1 |
|
1 |
: |
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
n+1 |
n+1 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆáá«¥¤ã¥¬ á室¨¬®áâì í⮣® àï¤ , ¯®«ì§ãïáì ®á-®¢-ë¬ ®¯à¥¤¥«¥-¨¥¬. ‘®áâ ¢¨¬ ç áâ¨ç-ãî á㬬㠨§ 2n ¥£® ç«¥-®¢.
n+1 |
1 |
1 |
pk1+ 1 |
|
|
n+1 |
k |
2 |
1 |
n |
1 |
: |
|||||||
S2n = k=2 |
pk |
|
= k=2 |
|
= 2 k=1 |
k |
|||||||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
X |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
nlim S2n = 2nlim |
|
k |
= +1; |
|
|
|
|
||||||||||
|
!1 |
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1