Стрмех_3_У_2002
.pdf
1.Вільні коливання систем із двома ступенями свободи відбуваються з двома частотами 1 і 2. Більш низька частота 1 називається основною чи основним тоном, більш висока частота 2 - називається другою частотою чи обертоном.
Вільні коливання систем з n-ступенями свободи є n-тонними, що складаються з n вільних коливань.
2.Переміщення мас m1 і m2 виражаються наступними формулами:
y |
1 |
A |
|
sin |
1 |
t |
1 |
|
B |
1 |
sin |
2 |
t |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|||||||||||||
|
2 |
A |
2 |
sin |
|
|
1 |
t |
1 |
B |
2 |
sin |
|
|
2 |
t |
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
причому |
|
|
|
|
|
|
|
|
А1 |
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В1 |
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
А2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В2 |
|
А1 |
|
|||||||
тобто, якщо коливання відбуваються з частотою 1, |
0, то в будь-який момент |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
часу переміщення мас мають однакові знаки.
m1 m2
A1 |
A2 |
|
|
Якщо коливання відбуваються тільки з частотою 2, |
В1 |
0, то переміщення мас у |
|
|
|
В |
|
будь-який момент часу мають протилежні знаки. |
2 |
|
|
|
|
||
B1 |
m2 |
|
|
|
|
|
|
m1 |
B2 |
|
|
При одночасному коливанні мас з частотами 1 і 2 система в основному коливається по частоті 1 і в ці коливання вписується обертон з частотою 2.
Якщо на систему з двома ступенями свободи діє змушуюча сила з частотою , то необхідно щоб:
0,7 1 .
Лекція 17
Коливання систем з нескінченним числом ступенів свободи.
Теорія механічних коливань має багатозначні і дуже різноманітні приклади застосовани у всіх областях техніки. Незалежно від призначення і конструктивного рішення різних механічних систем їхні коливання підкоряються тим самим фізичним закономірностям, вивчення яких і складає предмет теорії коливань пружних систем. Найбільш повно розроблена лінійна теорія коливань. Теорія коливань систем з декількома ступенями свободи була дана ще в XVIII столітті Лагранжем у його класичній праці "Аналітична механіка".
Жозеф Луи Лагранж (1736 - 1813) - з 19-літнього віку професор математики в Туріні. З 1759 року - член, а з 1766 року - президент Берлінської Академії наук; з 1787 року
жив у Парижі. У 1776 році був обраний почесним іноземним членом Петербурзької Академії наук.
Наприкінці XIX століття Рэлеем були закладені основи лінійної теорії коливань систем з нескінченним числом ступенів свободи (тобто з безупинним розподілом маси по всьому обсязі деформованої системи). У XX столітті лінійна теорія, можна сказати, була довершена (метод Бубнова-Гальоркіна, що дозволяє за допомогою послідовних наближень визначати також вищі частоти коливань).
Джон Вільям Стрет (лорд Рэлей) (1842 - 1919) - англійський фізик, автор ряду робіт з теорії коливань.
Іван Григорович Бубнов (1872 - 1919) - один з основоположників будівельної механіки корабля. Професор Петербурзького політехнічного інституту, з 1910 року - Морської академії.
Борис Григорович Гальоркін (18711945) - професор Ленінградського політехнічного інституту.
Формула Рэлея найбільш популярна в теорії коливань і стійкості пружних систем. Ідея, що лежить в основі висновку формули Рэлея, зводиться до наступного. При багатогармонічних (однотонних) вільних коливаннях пружної системи з частотою , переміщення її точок відбуваються в часі по гармонійному закону:
uf1 (x, y, z) sin t,
vf2 ( x, y, z) sin t,
wf3 (x, y, z) sin t,
де 1(x,y,z), 2(x,y,z), 3(x,y,z) - функції просторових координат крапки, що визначають розглянуту форму коливань (амплітудну).
Якщо ці функції відомі, то частоту вільних коливань можна знайти з умови сталості суми кінетичної і потенційної енергії тіла. Ця умова приводить до рівняння, що містить лише одну невідому величину .
Однак зазначені функції заздалегідь невідомі. Керівна ідея методу Рэлея полягає в тому, щоб задаватися цими функціями, керуючи їх вибір у відповідності із граничними умовами й очікуваною формою коливань.
Докладніше розглянемо реалізацію цієї ідеї для плоских згинальних коливань стержня, форма коливань якого описується функцією = (x). Вільні коливання описуються залежністю
v(x,t) f (x)sin t, |
(1) |
|||||||||||
потенційна енергія вигнутого стержня |
|
|
|
|
||||||||
1 |
l |
|
2 v 2 |
|
||||||||
П |
|
|
EI |
|
|
|
|
dx, |
(2) |
|||
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
2 |
0 |
|
x |
|
|
|
|
|||||
кінетична енергія |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
1 |
|
l |
|
v |
|
|
|
|||||
T |
|
|
m |
|
|
|
|
dx, |
(3) |
|||
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
0 |
|
t |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де l - довжина стержня, m=m(x) інтенсивність розподіленої маси стержня;
2v
x2 - кривизна вигнутої осі стержня;
З огляду на (1)
2v
x2 f sin t,
v
- швидкість поперечних коливань.
t
v
f cos t.
t
Тоді
|
|
1 |
|
l |
2 |
|
|
П |
|
sin2 t EI f |
dx, |
(4) |
|||
2 |
|||||||
|
|
0 |
|
|
|||
|
2 |
l |
|
|
|||
T |
|
|
|
cos2 t mf 2dx, |
(5) |
||
2 |
|||||||
|
0 |
|
|
||||
З часом кожна з цих величин безупинно міняється, але, відповідно до закону збереження енергії їх сума залишається постійною, тобто
d П Т
0 |
(6) |
dt
чи підставляючи сюди вираження (4), (5)
l |
2 |
|
д |
|
|
EI f |
dx 2 |
mf 2dx, |
(7) |
||
0 |
|
|
0 |
|
|
Звідси випливає формула Рэлея: |
|
|
|
|
|
|
|
l |
2 |
|
|
|
|
EI f |
dx |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
(8) |
д |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
mf 2dx
0
Якщо зі стержнем з розподіленою масою m, зв'язані зосереджені вантажі з масами Mi, то формула Рэлея здобуває вид:
l 2
EI f dx
2 |
0 |
(9) |
|
д |
|||
|
|
mf 2dx Mi fi2
0
Як відноситися до цієї формули - вважати її точною чи наближеною?
Весь хід висновку показує, що в рамках прийнятих допущень (справедливість технічної теорії вигину стержнів, відсутності непружних опорів) ця формула точна, якщо ((x) - справжня форма коливань. Однак функція f(x) заздалегідь невідома. Практичне значення формули Рэлея полягає в тому, що з її допомогою можна знайти власну частоту u, задаючи форму коливань f (x). При цьому в рішення вностися більш-менш серйозний елемент наближеності. З цієї причини формулу Рэлея іноді називають наближеною.
Приклад:
y
m=cosnt |
Приймемо як форму коливань функцію: (x)=ax2, |
|
що задовольняє кінематичним граничним умовам |
x |
задачі. |
|
EI
l
Визначаємо:
l |
2 |
|
|
l 2 |
||||
EI f dx EI 4a dx EI4a2l2 |
||||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
д |
д |
|
|
|
|
ma2l5 |
||
mf 2dx ma2 x4dx |
|
|
|
|||||
|
|
|||||||
0 |
0 |
|
|
5 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
По формулі (8) |
|
|
|
20EI |
|
|
|
|
|
2 |
|
. |
|
||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
ml4 |
||||
Цей результат значно відрізняється від точного |
||||||||
|
2 |
|
|
12,36EI |
. |
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ml4 |
||||
Більш точною є формула Граммеля, що дотепер ще не стала такою популярною, як формула Рэлея (можливо, унаслідок своєї відносної "молодості" - вона запропонована в 1939 році).
Знову зупинимося на тій же задачі про вільні згинальні коливаннях стержня.
Нехай (x) - форма вільних коливань стержня, що задається,. Тоді інтенсивність максимальних сил інерції визначається вираженням m 2 , де по колишньому m=m(x) - інтенсивність розподіленої маси стрижня; 2 - квадрат власної частоти. Ці сили досягають зазначеного значення в той момент, коли прогини максимальні, тобто визначаються функцією ((x).
Запишемо вираження найбільшої потенційної енергії вигину через згинальні моменти, викликувані максимальними силами інерції:
|
1 l |
2 |
|
|
|
п |
МЗГ dx |
|
|||
|
|
|
. |
(10) |
|
2 |
|
||||
|
0 |
EI |
|
||
Тут Мзгин Мзгин (x) - |
згинальні моменти, |
викликувані навантаженням m 2 . |
|||
Позначимо М згин - згинальний момент, викликуваний умовним навантаженням m , тобто в2 разів менший, чим сили інерції.
Тоді:
Мзгин 2 |
|
згин , |
(11) |
||||||||
М |
|||||||||||
і вираження (10) можна записати у вигляді: |
|
|
2 dx |
|
|||||||
|
|
4 |
|
l |
|
|
|
||||
|
|
|
М |
|
|||||||
|
|
П |
|
|
|
|
изг |
. |
(12) |
||
|
|
2 |
|
|
EI |
||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Найбільша кінетична енергія, як і вище |
|
||||||||||
2 |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|||
T |
|
mf 2dx . |
(13) |
||||||||
|
|||||||||||
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дорівнюючи вираження (12) і (13) приходимо до формули Граммеля:
l
mf 2dx
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
2 dx |
(14) |
||||
|
|
|
М |
|||||
|
|
|
|
|
|
згин |
|
|
|
|
|
|
EI |
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
||
Для обчислень по цій формулі необхідно насамперед задатися придатною функцією(x). Після цього визначається умовне навантаження m =m(x) (x) і записуються вираження М згин викликувані умовним навантаженням m . По формулі (14) визначають частоту власних коливань системи .
Приклад: (розглядаємо попередній)
Умовне навантаження: m(x)=m=const; (x)=ax2
y
m(x)· (x)=max2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ma |
x4 4xl3 3l4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
М |
изг |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
ma2 l5 |
|
|
|
|
|
|||||||||
mf |
|
2 dx ma2x4dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
l |
|
|
|
2 dx L m2 a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13m2a2 l9 |
||||||||||||||||
М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
изг |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
x4 |
4xl3 |
3l4 |
dx |
|
||||||||||||||
|
|
|
EI |
|
|
144EI |
810EI |
||||||||||||||||||||||||
Знаходимо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mf 2dx |
ma |
2 |
l |
5 |
810 |
|
|
1246.EI |
|
||||||||||||||
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ml |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
М 2 dx 5 13m2 a2l3 |
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
изг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1246.EI |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ml4 |
|
|
|
|
|
|
|||
Лекція 18
Метод заміни розподілених мас зосередженими
Цей метод заснований на ідеї наближеної заміни системи з нескінченною ступінью свободи системою з кінцевим ступенем, шляхом заміни розподіленої маси зосередженими, що може бути виконано двома способами.
По першому способі розподілена маса розбивається на ділянки, і на кожній ділянці розподілена маса заміняється зосередженою масою, розташовуваною в центрі ваги ділянки (див. мал. а).
По другому способі маси на ділянках розподіляються за законом важеля (мал. б)
m(x)
m1 m2 m3 m4
а)
m1 m2 m3
б)
Часто другий спосіб дає більш просту систему з меншим числом ступенів свободи, ніж перший.
Метод переносу мас для визначення першої частоти вільних коливань
Розглянемо систему з одним ступенем свободи, у вигляді невагомої балки з однією зосередженою масою mi. Частота коливань такої системи 2
mi |
mi i |
|
|
|
|
Xi P=1 |
a |
P=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II |
aa |
Перенесемо масу mi з деяким поправочним коэффиентом в інше місце на балці,
одержимо нову систему з частотою 2 1 . Зажадаємо, щоб обидві системи мали
imi ii
однакову частоту, тобто
1 1
mi ii imi aa .
Звідси й одержуємо значення поправочного коефіцієнта i при переносі маси з одного місця на інше
i ii aa .
Якщо тепер ми маємо аналогічну систему з n ступенями свободи, то збираючи всі маси в одну точку, замінимо приблизно таку сисетму системою з однією степенью свободи.
m1 m2 mi
a 
M
n |
n |
|
|
|
M imi |
|
ii |
|
|
mi |
|
|
||
i 1 |
i 0 |
|
aa |
|
|
|
|
||
Приблизно частота коливань
2 |
1 |
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
M aa |
n |
|||||
|
|
|
mi ii |
|||
Зворотна їй величина |
|
i 1 |
||||
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
mi ii |
|||
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
i 1 |
|||
Формула дуже проста. Вона не вимагає вибору місця розташування приведеної маси M, ні визначення її величини, чим досягається однозначність рішення. Достоїнство формули ще й у тім, що вона завжди дає занижене значення обумовленої частоти, як говорять, дає наближення знизу.
Недолік формули полягає в тому, що вона іноді дає грубе наближення.
Якщо поряд із зосередженими масами система має розподілені маси, то формула для визначення частоти власних коливань запишеться
1 |
n |
|
|
mi ii |
m x xxdx |
||
2 |
|||
|
i 1 |
l |
де xx - переміщення нескінченно малої маси m(x)dx від одиничної сили, прикладеної в точці з координатою x.
Навчальне видання
КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ з дисципліни
«БУДІВЕЛЬНА МЕХАНІКА»
(для студентів будівельних спільностей)
Частина 3
МУЩАНОВ ВОЛОДИМИР ПИЛИПОВИЧ
ЖУК МИКОЛА РОМАНОВИЧ
ГІЖКО ВІКТОР ТЕРЕНТЬОВИЧ