Стрмех_3_У_2002

якщо врахувати, що

Q

dM

P

dx

,

то

dx

dy

1P

2 l

2

UQ

y

dx

(2)

2

0

Робота зовнішніх сил:

2

Р

L

А Р

y dx ,

(3)

2

0

1

l

де

y 2 dx

з вираження:

2

0

Uм + UQ = A,

одержимо:

l

2 l

l

P

1P

P

y2dx

y 2 dx

y2dx

2EJ

2

2

0

0

0

чи

P

l

l

l

y2dx 1P2

y 2 dx y 2 dx

EJ

0

0

0

y asin

,

яка задовольняє граничним умовам задачі:

l

Тоді:

y

a

cos

x

l

l

Pa2 l

x

1

Pa2 2

l

x

a2 2 l

x

sin2

dx

cos2

dx

cos2

dx

EJ

l

2

l

l

2

0

l

0

0

l

II l

II

l

II

l

2

2

2

у результаті одержуємо:

P

l

1

p 2

l

2

l

EJ

2

l2

2

l2

2

1

1

2

2

Р

l2

EJ

l2

звідси:

2

Рк р

l 2

1

1

2

EJ

l 2

помножимо чисельник і знаменник на EJ

2 EJ

Рк р

l 2

1

2

EJ

1

Позначимо

l 2

2

1

(4)

2 EJ

1

1

l2

Р к р

2 E J

2 E J

(5)

2 l 2

l 2

Q=1

нехай довжина розкосу d

k

k1

КК1

a

d

1

d

1

а

n

m

Q=1

поперечну силу сприймає на себе

розкіс, подовження якого:

b

Np

Q

1

cos

cos

довжина розкосу

a

d

,

тоді

sin

a

d

,

EF cos sin

p

крім того

d = KK1 · cos

чи:

KK1

d

a

cos

EF cos2

sin

p

1

(6)

1

EF cos2 sin

p

b

n

n1

1

2nn1

(7)

tg 1

b

ymax=nn1

1/2

Mp

M p

b/2

b/4

b/2

ymax nn1

1

1 в

в

2 в

в3

чи

EJB

2 2 4 3 2

48EJв

1

2в3

в2

48 EJ в в

24 EJ в

де Jв - момент інерції однієї галузі колони.

Лекція 10

Розрахунок на стійкість колони східчастого перетину

x

P

P

P

l1

I1

M = -P ( - y)

l

y

l2

I2

x

y

Запишемо диференціальне рівняння осі стійки для кожної ділянки

d2 y

M

d2 y

2

M

1

dx2

EJ1

dx2

EJ2

d2 y

Р y1

1

чи

dx2

EJ1

d2 y

Py

P

1

1

аналогічно

dx2

EJ1

EJ1

d2 y

Py

P

2

2

позначимо

dx2

EJ2

EJ2

P

P

К2

;

К2

;

1

EJ1

2

EJ2

d2 y

P

1

К12 у1

(1)

dx

2

EJ1

d2 y

P

2

К22 у2

(2)

dx

2

EJ2

Загальне рішення диференціального рівняння (1)

y1 C1 sin K1x C2 cos K1x Ф1

(3)

P

A

P

;

А =

EJ1

EJ1

y1 C1 sin K1x C2

cosK1x

(4)

аналогічно

y1 d1 sin K2x d2

cosK2x

(5)

Визначимо коефіцієнти рівнянь (4) і (5) із граничних умов задачі:

1)

При Х = 0

у2 = 0

0 d2 ;

d2 = -

2)

При Х=l

у1 = 0

C1 sin K1l C2 cosK1l

C2

C1 tgK1l

3)

При Х = l2

у1 = у2

d sin K

l

cosK l

C sin K l

CtgK lcosK l

2

2

1

1 2

1

1

1 2

1

2

C1 cosK1l2 tgK1l2

tgK1l d1 sin K2l2

cosK l2

(6)

4)

При Х = l2

dy1

dy2

dx

dx

l

M y2 dz

P2

l

U My

0

Z 2 2dz ,

2EJ y

8EJ y

0

2

l

2

U My

P

Z2 2dz

(1)

4EJ

0

Визначимо потенційну енергію, що накопичується в смузі за рахунок її крутіння

М

к рl

GJк р

,

чи

Мкр dz

d

,

GJк р

звідси

d

Мкр GJкр

.

dz

Потенційна енергія в елементі нескінченно малої довжини

dUкр

Mкрd

,

2

dU к р

GJк р

d

d .

2

dz

Помножимо це вираження і розділимо на dz

dU к р

GJк р

d

2

dz .

2

Потенційна енергія в смузі крутіння

dz

U к р dU к р

GJк р

d

2

dz

2

чи

l

l

dz

l

d

2

2

U

GJ

dz

(2)

к р

к

р

dz

0

P2

l

l

d

2

2

2

U U

U

0

z2 2dz GJ

кр 0

dz

(3)

4EJy

Му

кр

dz

P

Через малість переміщень, робота зовнішніх

P

сил при повороті перерізу = 0

l

M M

y

dz

0

y

,

EJy

P

де Му - момент, що викликає бічний вигин силою Р :

My

z ;

2

1