Стрмех_3_У_2002
.pdf
Y
Z2 |
|
V2 |
V1 |
|
|
Н |
Z1 |
Z3 =V3 |
|
a |
|
Z3 |
|
V3 |
V4 |
|
|
К |
Z4 |
Z6 =V6
X
V1 = Z1 cos + Z2 sin
V2 = -Z1 sin + Z2 cos
V3 = Z3
V6 = Z6
V4 = Z4 cos + Z5 sin
V5 = -Z4 sin + Z5 cos
У матричній формі приведений вище запис буде мати вигляд
V1 |
|
cos |
sin |
0 |
0 |
0 |
0 |
Z1 |
|
|||
|
|
|
|
cos |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
V2 |
|
sin |
0 |
Z2 |
|
|||||||
V |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Z |
|
|
|||
3 |
|
0 |
0 |
0 |
cos |
sin |
|
3 |
, |
|||
V4 |
|
|
0 |
Z4 |
|
|||||||
V |
|
|
0 |
0 |
0 |
sin |
cos |
0 |
Z |
|
|
|
5 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
5 |
|
|
V |
|
0 |
1 |
Z |
6 |
|
||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чи в блоковій формі |
|
|
|
|
с |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
[c]j = |
н |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
cк |
|
|
|
|
|
де для жорсткого вузла
|
соsa |
sina |
0 |
[c]п,к = |
sina |
cosa |
0 , |
|
|
0 |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
для шарнірного вузла
|
cosa |
sina |
[c]п,к = |
sina |
. |
|
cosa |
Враховуючи що ми розглядаємо плоскі пружні системи, вектори вузлових зусиль і вузлових переміщень, як для окремого елемента, так і для споруди в цілому, зв'язані між
собою лінійно |
|
{S}j’ = [r]j’{V}j |
- у місцевій системі осей координат. |
{S}j = [r]j {Z}j |
- у загальній системі осей координат |
Крім того |
{V}j = [c]j{Z}j, |
|
|
Аналогічно |
{S}j’ = [c]j{S}j, |
|
|
де {S}’,{S} - вузлові зусилля КЕ відповідно, у місцевій і загальній системах осей |
|
координат. |
|
Тоді |
|
{S}j = [c]j-1 {S}j’ = [c]j-1[r]j’{V}j = [c]j-1[r]j’[c]j{Z}j.
Для матриці направляючих косинусів виконується рівність
[c]j-1 = [c]j,
Тоді
{S}j = [c]j [r]j’ [c]j{Z}.
Позначимо
[r]j = [c]j [r]j’ [c]j - це вираження і є формулою для обчислення матриці жорсткості КЕ в загальній системі осей координат.
При формуванні матриць жорсткості окремих елементів [r]j’ повинні бути зафіксовані початок і кінець кожного стержня, тому що від цього залежить знак кута , що визначає орієнтацію стержня в загальній системі осей координат ХОY.
Матриця жорсткості для споруди в цілому
Розглянемо тепер як формується матриця жорсткості для споруди в цілому, коли маються матриці жорсткості для всіх окремих елементів.
Нехай задана яка-небудь стержнева система
Y |
|
|
|
3 |
|
4 |
5 |
|
2 |
||
|
||
3 |
4 |
|
|
||
1 |
2 |
|
1 |
X |
Усі вузли будемо вважати жорсткими, тобто з кожним з них зв'язано по 3 можливі переміщення.
Матрицю жорсткості для всієї споруди покажемо в блоковому вигляді, з розмірами блоків 3x3, тому що з кожним вузлом зв'язано по 3 можливі переміщення (горизонтальне, вертикальне і поворот вузла).
r11 |
r12 |
0 |
r14 |
|
|
r |
r |
r |
r |
|
|
r 21 |
22 |
23 |
24 |
, |
|
0 |
r |
r |
r |
|
|
|
32 |
33 |
34 |
|
|
r42 |
r43 |
r44 |
|||
r41 |
|
тут r12 - перший індекс указує номер вузла, у якому виникає блок реакцій, а другий - номер вузла, від переміщень якого ці реакції виникли. Нульові блоки позначають, що відповідні вузли не зв'язані безпосередньо стержнем і прямо не взаємодіють, тобто не передають реакції з вузла у вузол.
Загальна матриця жорсткості [r] отримується шляхом підсумовування відповідних блоків матриць жосткості окремих стержнів.
Наприклад, перший рядок блокової матриці [r] отримується шляхом підсумовування
блоків матриць жорсткості окремих елементів
r11 = r111+r112, r12 = r121, r14 = r143 і т.д.
Лекція 4
Порядок розрахунку стержневих систем методом кінцевих елементів
Порядок розрахунку споруд МКЕ можна розбити на три основні етапи: підготовчий, обчислювальний і обробку результатів.
1.Підготовчий етап містить у собі зображення розрахункової схеми розглядаємої споруди, розбивку розрахункової схеми на окремі елементи, нумерацію вузлів та елементів,
вибір загальної системи осей координат. Потім складаються вихідні матриці: матриці жорсткості окремих елементів у місцевій системі осей координат [r]j’ і матриці направляючих косинусів [c]j , формують вектор зовнішніх навантажень {P}, попередньо перетворивши поза вузлове навантаження до вузлового.
2.Обчислювальна частина розрахунку містить у собі. Спочатку обчислюють матриці жорсткості окремих елементів у загальній системі осей координат
[r]j = [c]j [r]j’ [c]j ,
потім, із блоків цих матриць формують матрицю жорсткості [r] для споруди в цілому. За формулою
{Z} = [r]-1 {P}
визначають вектор переміщень вузлових точок споруди в загальній системі осей координат. Вектор вузлових зусиль для окремих КЕ в загальній системі осей координат
{S}j = [r]j {Z}j
і в місцевій системі осей координат
{S}j’ = [c]j {S}j .
Результуючі зусилля у вузлах окремих КЕ в місцевій системі осей координат, з
урахуванням перетворень поза вузлових навантажень
{S}j’ = {S}j’ + {S0}j .
3. Обробка результатів. Отримані зусилля {S}j’ прикладають до вузлів окремих елементів і по них будують результуючі епюри M, Q, N.
Приклад.
Порядок розрахунку рами МКЕ розглянемо на конкретному невеликому прикладі. Задана рама показана на рисунку ліворуч
Задана рама й основна система МКЕ
Основну систему МКЕ вибираємо розбиваючи раму на три прямолінійні кінцеві елементи (КЕ). Нумеруємо вузли й елементи.
У вузлі 3 елементи з'єднуються між собою жорстко, з цим вузлом зв'язані три невідомих переміщення. У вузлі 2 елементи з'єднуються шарніром, тут два невідомих переміщення. В опорних вузлах 1 і 2 усі три переміщення дорівнюють нулю. Отже, розглянута рама має п'ять невідомих переміщень у МКЕ. Додатні напрямки переміщень і зовнішніх навантажень приймаємо як показано на малюнку.
Загальну систему осей координат вибираємо таким чином, щоб координати усіх вузлів були додатніми.
Розподілене по ригелю навантаження приводимо до вузлового, використовуючи для цього таблицю методу переміщень.
Перетворення поза вузловим навантаженням до вузлового
Формуємо вихідні матриці. Вектор зовнішніх навантажень Р для споруди в цілому, у загальній системі осей координат і вектори перетворень поза вузлових навантажень до
вузлових для КЕ в місцевих системах осей координат Si0 мають вигляд
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
50 |
|
0 |
|
50 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|||
P 40 , |
S |
1 |
0 , |
S |
2 |
40 , |
S3 |
. |
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Матриці жорсткості для КЕ в місцевій системі осей координат складаються таким чином. Матриця жорсткості для першого елемента має розмірність 3х3, тому що три переміщення зв'язані з вузлом 1 дорівнюють нулю, тому з матриці для елемента з двома жорсткими вузлами викреслюємо три перших рядки і три перших стовпці. Для другого елемента матриця жорсткості має розмір 5х5. Для третього 2х2. Локальна (місцева) система осей координат зв'язана з окремим елементом, вісь X спрямована уздовж стержня від початкового вузла до кінцевого, а вісь Y нормально до неї.
|
|
EA |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
25, |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
12EJ |
|
|
|
6EJ |
|
|
|
|
|||||||||||||
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
r1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
01875, |
0375, |
|
|
||||||
|
|
l3 |
|
|
|
|
l2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6EJ |
|
|
4EJ |
|
|
|
0375, |
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
l |
2 |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
5 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
5 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
0094, |
|
|
|
0375, |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
' |
|
|
|
|
|
0094, |
|
|
2 |
0 |
||||||||||||||
|
|
0 |
0375, |
|
|
|
15, |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
0375, |
|
' |
|
|
||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
5 |
|
0 |
|
|
r3 |
|
||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0003, |
|||||||||
|
|
|
0 |
0094, |
0375, |
0 |
0094, |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Матриці направляючих косинусів, мають ту ж розмірність, що і матриці жорсткості: для першого елемента 3х3, для другого 5х5, для третього 2х2. Поворот елементів здійснюється проти годинкової стрілки, навколо початкового вузла з горизонтального положення до положення як у конструкції. У нашому випадку 1=900, 2=00, 3=1270. Матриці направляючих косинусів записуються
|
|
|
|
cos |
sin |
0 |
|
0 |
|
1 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
с |
|
|
sin |
cos |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|||
|
|
|
0 |
0 |
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 0 1 0 0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
0 |
0 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
||||
|
|
|
|
|
06, |
08, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
08, |
06, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матриці жорсткості окремих елементів у загальній системі осей координат |
||||||||||||||||||||
обчислюють за формулою |
|
r i |
c iT r i' c i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
де с iT - транспонована матриця направляючих косинусів для i-того елемента. Після перемноження відповідних матриць, одержуємо
|
01875, |
0 |
0375, |
|
5 |
0 |
0 |
5 |
0 |
|
|||
|
|
0 |
25, |
0 |
|
|
|
0 |
0,094 |
0,375 |
0 |
0,094 |
|
r1 |
|
r2 |
|
|
|||||||||
|
|
0375, |
0 |
1 |
|
0 |
0,375 |
15, |
0 |
0,375 |
|||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0 |
0 |
5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
07219, |
09586, |
|
|
0 |
0,094 |
0,375 |
0 |
0,094 |
|
|||
r3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
12811, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
09586, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Матриця жорсткості споруди в цілому формується з блоків матриць жорсткості окремих елементів таким чином:
|
|
|
|
|
|
|
|
51875, |
0 |
0375, |
5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2594, |
0375, |
0 |
0094, |
|
|
r |
1 |
r |
2 |
r |
2 |
|
|
|
|||||
r |
3,3 |
3,3 |
3,4 |
0375, |
0375, |
25, |
0 |
0375, |
||||||
|
|
r42,3 |
|
r42,4 r43,4 |
|
5 |
0 |
0 |
57219, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
09586, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0094, |
0375, |
09586, |
1375, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
де r1 |
- блок реакцій, що виникають за рахунок пружних властивостей першого елемента, у |
||||||||||
3,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зв'язках накладених на третій вузол, від одиничних переміщень цих же зв'язків і т.д. |
|||||||||||
|
Після отримання обратної матриці r по відомих стандартних процедурах, вектор |
||||||||||
переміщень Z визначається по формулі |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
4,306 |
01384, |
02302, |
4,2502 |
2,91 |
|
|
0 |
8501, |
|
|
|
01384, |
03987, |
00646, |
01318, |
01063, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
2054, |
||||||
Z r 1 P 02302, |
00646, |
044, |
02058, |
00279, * 40 |
1353, |
||||||
|
|
4,2502 |
01388, |
02058, |
4,3942 |
30168, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
89,21 |
|||||
|
|
2,91 |
01063, |
00279, |
30168, |
28301, |
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
891, |
||||||
Вектори вузлових зусиль в стержнях в загальній системі осей координат обчислюємо по формулі
врезультаті обчислень маємо :
21
|
|
|
S1 5135, |
||
|
454, |
|
|
|
|
Si |
ri |
Zi , |
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
135, |
|
|
|
|
21 |
|
|
|
S |
|
|||
S2 |
|
54, |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2863, |
||||
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
135, |
|
|
|
|
||
Зусилля в вузлах кінцевих елементів в місцевій системі осей координат, з урахуванням векторів перетворень навантажень, визначаються
S' c |
i |
S |
i |
S0 |
, |
i |
|
i |
|
у нашому випадку, в результаті обчислень маємо
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
5135, |
|
|
|
|
|
|
355, |
||||
|
|
|
5135, |
|
3' |
|||||||
' |
|
21 |
|
S |
' |
|
454, |
S |
|
038, |
|
|
S1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
454, |
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2865, |
|
|
|
|
|
|
Маючи вектори зусиль в місцевій системі осей координат, прикладаємо їх до відповідних вузлів окремих елементів і будуємо епюри внутрішніх зусиль.
Епюри внутрішніх зусиль
Для виконання статичної перевірки, покажемо розрахункову схему рами з заданими навантаженнями й опорними реакціями. Напрямки й величини опорних реакцій визначаємо з епюр.
Умови статичної рівноваги записуються
Х 0, |
21 |
+ 0.38 sin - 35.5cos = 0; |
|
Y 0, |
51.35 |
+ 0.38 cos + 35.5 sin -q · 4 = 0; |
|
MB 0, |
q · |
4 · |
5 - 51.35 · 7 - 38.6 - 35.5 = 0. |
Додаток
Формування матриці жорсткості плоского трикутного кінцевого елемента в локальній системі осей координат
Для розрахунку конструкцій, що випробують плоский напружений стан, плоский трикутний кінцевий елемент є одним з найбільш зручних типів кінцевих елементів, тому що дозволяє найбільш просто і зручно одержати на конструкції сітку вузлів необхідної густоти.
Розглянемо процес формування матриці жорсткості плоского трикутного 3-х вузлового кінцевого елемента з вузлами i, j, m, позначеними в напрямку обходу проти годинкової стрілки.
y1
m xm 
vi
ym
i |
ui |
j |
x1 |
|
До побудови матриці жорсткості трикутного КЕ
Переміщення вузлів мають 2 компоненти - ui елемента може бути представлений як
|
|
ui |
|
|
|
|
|
|
|
vi |
|
z e |
|
uj |
|
|
|
|
|
|
|
vj |
|
|
|
um |
|
|
|
|
|
|
|
vm |
|
і vi. Тоді вектор вузлових переміщень
(1)
Найпростіше представлення переміщень u і v точок з координатами x і y в межах елемента через переміщення вузлових точок може бути отримане на основі використання 2-х лінійних багаточленів:
u 1 |
2 x 3y, |
v 4 |
(2) |
5x 6 y |
Постійні можна одержати, вирішуючи дві системи з 3-х рівнянь, увівши координати вузлів і дорівнявши їх переміщення відповідним вузловим :
ui 1 2xi |
3 yi ; |
vi 4 5xi 6 yi ; |
|
uj 1 2xj |
3 yj ; |
vj 4 5xj 6 yj ; |
(3) |
um 1 2xm 3ym ; |
vm 4 5xm 6 ym . |
|
|
Підставивши рішення систем (3) у вираження (2) остаточно отримаємо вираження для
u і v
u |
1 |
ai |
bi x ci y ui aj |
bj x cj y uj am bmx cmy um , |
|||
2 |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
(4) |
|
v |
ai |
bi x ci y vi aj |
bj x cj y vj am bmx cm y vm , |
||||
2 |
|||||||
де - площа трикутника, |
|
|
|||||
|
ai xj ym xm yj ; |
bi yj ym ; |
ci xm xj . |
||||
Коефіцієнти aj, bj, cj, am, bm, cm можна отримати циклічною перестановкою індексів у послідовності i, j, m.
Відносна деформація в будь-якій точці елемента визначається за допомогою трьох компонентів, що вносять внесок у внутрішню роботу, що за допомогою рівнянь (4) може бути записана як
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
b |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x |
|
|
|
|
v |
|
|
|
1 |
i |
||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
y |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
||||
|
xy |
|
u |
v |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
i |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||
0 |
b |
j |
0 |
b |
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
m |
|
e |
B z |
e |
(5) |
||
ci |
0 |
cj |
0 |
||||||||
cm z |
|
|
|||||||||
b |
c |
j |
b |
j |
c |
b |
|
|
|
|
|
i |
|
|
m |
m |
|
|
|
|
|||
З огляду на те, що для трикутного елемента постійної товщини загальне вираження для матриці жорсткості може бути спрощено, тобто
k e |
B T D B dV B T D B t |
(6) |
|
V |
|
і з огляду на те, що матриця пружності ( закону Гука) для випадку плоского напруженого стану має вигляд
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
E |
|
1 |
|
|
|||
D |
|
|
|
1 |
0 |
|
(7) |
|
|
2 |
|||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
остаточне вираження для матриці жорсткості плоского трикутного елемента має вигляд:
|
|
|
|
|
k11 |
k12 |
k13 |
k14 |
k15 |
k16 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
k22 |
k23 |
k24 |
k25 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
k21 |
k26 |
|
|||||||||||
k |
e |
|
Et |
|
k |
31 |
k32 |
k33 |
k34 |
k35 |
k36 |
|
(8) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 1 2 |
|
|
k42 |
k43 |
k44 |
k45 |
|
|
|||||||||
|
|
|
k41 |
k46 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
k |
51 |
k |
52 |
k |
53 |
k |
54 |
k |
55 |
k |
56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
k |
k |
k |
k |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
k |
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
де
|
|
bi2 |
ci2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
k11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
k12 k21 |
bici |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; k13 |
|
k31 bibj |
cicj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
k |
|
k |
|
b c |
|
b |
|
c |
|
|
1 |
; |
k |
|
|
|
|
k |
|
|
bb |
|
c c |
|
|
|
|
1 |
; |
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
b |
c |
|
|
|
c b |
|
|
1 |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
14 |
|
41 |
i |
|
j |
|
|
|
|
|
|
j i |
|
|
|
2 |
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
51 |
|
|
|
|
|
i m |
|
i |
|
m |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
61 |
|
|
|
i |
|
|
|
m |
|
|
|
i |
m |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
k |
|
c |
2 |
b2 |
1 |
; |
|
k |
|
|
|
k |
|
|
b |
|
c |
|
b c |
|
|
1 |
; |
|
|
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
c c |
|
|
bb |
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
22 |
i |
i |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
32 |
|
|
|
j |
|
|
j |
|
|
|
|
|
i |
|
|
j |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|
i |
|
j |
|
|
|
i j |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
k |
|
k |
|
b |
|
|
|
|
c |
|
b c |
|
|
|
1 |
; |
k |
|
|
|
k |
|
|
c c |
|
b b |
|
|
|
|
1 |
; |
|
|
k |
|
|
b |
2 |
c2 |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
25 |
|
52 |
|
m |
i |
|
|
|
|
|
i |
m |
2 |
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
62 |
|
|
|
|
|
|
i |
m |
|
|
|
i |
|
|
m 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||||
k34 |
k43 bjcj |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
k35 k53 bjbm cjcm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
k36 k63 |
bjcm bmcj |
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
k |
|
c |
2 |
b2 |
1 |
; |
|
k |
|
|
|
k |
|
|
b |
|
|
c |
|
|
b |
|
|
c |
|
|
1 |
; |
|
|
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
c |
|
c |
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
44 |
|
j |
j |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
54 |
|
|
|
m |
|
j |
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
m |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46 |
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
|
j |
|
m |
|
|
|
j |
|
|
m |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
bm2 |
cm2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
66 cm2 bm2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
k56 k65 |
bmcm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
k |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Використання |
|
|
отриманої |
|
|
матриці |
|
|
|
жорсткості |
|
|
в |
|
|
подальших |
|
|
|
кінцево-елементних |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
операціях нічим не відрізняється від використання матриці жорсткості стержневого кінцевого елемента. Природно, результатом розрахунку в цьому випадку будуть зусилля
відповідні |
компонентам |
переміщень, |
зазначеним |
на |
рисунку, |
тобто |
Nx,1 ,Ny,1 ,Nx,2 ,Ny,2 ,Nx,3 ,Ny,3, що |
можуть бути |
перетворені до |
напружень у центрі |
ваги |
||
кінцевого елемента x , y , xy . |
|
|
|
|
|
|