poz053
.pdf
80
Раздел 8. Статика
Статика – раздел механики, в котором рассматривается равновесие тел, состояние системы, в котором тела остаются неподвижными по отношению к выбранной системе отсчета.
Момент силы равен произведению силы на плечо: M = F d .
Плечо силы – кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия
силы. |
|
|
M1= -F1d1<0 |
|
|
||
Будем считать моменты сил, стре- |
F2 |
d2 |
F3 M2=F2d2>0 |
мящихся вызвать вращение тела по часо- |
|
O |
M3=0 d3=0 |
|
|
d1 |
|
вой стрелке, положительными, а моменты |
|
|
|
|
|
|
|
сил, стремящихся вызвать движение в об- |
|
|
F1 |
ратном направлении, отрицательными. |
|
|
|
|
ТочкаО– центрвращения |
||
Условия равновесия тел: |
|
||
|
|
|
|
1.Векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю: ∑F = 0 .
2.Алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, равна нулю: ∑M = 0 .
Если твердое тело имеет закрепленную ось вращения, следует учитывать только второе условие равновесия, т.к. сила реакции оси автоматически обеспечивает выполнение первого условия.
Виды равновесия:
|
|
r |
N |
N |
N |
|
||
r |
mg |
mgr |
mg |
|
Безразличное Устойчивое Неустойчивое
Вположении устойчивого равновесия тело обладает минимальной потенциальной энергией; при выведении тела из этого положения его потенциальная энергия увеличивается. Если работу над телом совершает только сила тяжести, то в положении устойчивого равновесия центр тяжести тела находится на наименьшей высоте.
Центр тяжести – точка приложения силы тяжести, действующей на
тело.
Воднородном поле силы тяготения (если размеры тела малы по сравнению с радиусом Земли) центр тяжести и центр масс тела совпадают.
Центр масс – точка, через которую должна проходить линия действия силы, чтобы под действием этой силы тело двигалось поступательно. Центр масс
81
тела или системы тел движется так же, как и материальная точка, на которую действует та же результирующая сила, что и на тело (систему тел).
Координаты центра масс определяются по формулам:
X |
цм |
= |
m1x1 + m2x2 +... + mn xn |
, Y |
= |
m1y1 + m2 y2 +... + mn yn |
, |
|
|
||||||
|
|
|
цм |
|
m1 + m2 +... + mn |
||
|
|
|
m1 + m2 +... + mn |
|
|||
Zцм = m1z1 ++m2z2++...++ mn zn . m1 m2 ... mn
где m1 , m2 , …, mn – массы тел или материальных точек; x1 , x2 , …, xn и т.д. –
– координаты соответствующих тел или материальных точек.
Примеры решения задач
Пример 1. На баржу, привязанную к берегу тросом длиной 10 м, действует сила течения воды 400 Н и сила давления ветра 300 Н, дующего с берега. С какой силой натянут трос и на каком расстоянии от берега она находится, если
баржа находится в равновесии? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
l =10 м |
|
На баржу действуют три силы F1 , F2 , |
FH . По условию задачи |
|||||||||||||||||
F1 = 400 Н |
|
баржа находится в равновесии, |
|
следовательно, |
векторная сумма |
|||||||||||||||
F2 = 300 Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
всех сил, приложенных к ней, |
равна нулю: F1 + F2 + FH = 0 , или |
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
FH = ? |
|
r |
|
|
r |
+ F2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = ? |
|
F + FH = 0 , где |
F = F1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим сумму сил |
F1 , F2 |
. Так как рассматриваемые силы взаимно пер- |
||||||||||||||||||
пендикулярны, то по теореме Пифагора имеем: |
|
|
|
|
F1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
F = |
F2 + F2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
α |
|
Тогда в проекции на ось ОХ, |
направленную |
A |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
α |
|
O |
|
F2 |
|||||||||||||
вдоль каната: F |
− F = 0 , т.е. |
F = F = |
F2 |
+ F2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
H |
|
|
H |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
FH |
|
|
|
|
|
Для |
определения |
расстояния |
воспользуемся |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
тем, что ∆АВС |
прямоугольный |
и |
S = l cosα, где |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
cos α = F / F из треугольника сил, т.е. |
S = l |
F2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
х |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведем вычисления: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
300 Н |
|
|
|
|
|
|
|||
|
FH = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(400 H) |
+ (300 H) = 500 H , |
S =10 м |
500 Н |
= 6 м. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: FH = 500 H , |
S = 6 м. |
||||||||
82 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Определите силы, растягивающие тросы АВ и СВ, на которых |
||||||||||
висит груз массой 200 кг, если угол α между тросом СВ и вертикалью равен 45°. |
|||||||||||
Дано: |
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
||
m = 200 кг |
По третьему закону Ньютона силы, растягивающие трос, рав- |
||||||||||
α = 40° |
ны по величине и противоположны по направлению силам натя- |
||||||||||
T1 |
= ? |
жения |
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
T |
и T . В точке В приложено три силы: силы натяжения |
||||||||||
|
|
r |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
T2 |
= ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 и T2 и сила, равная силе тяжести тела массой m. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
Точка В находится в равновесии, следователь- |
|
С |
||||||||
но, векторная сумма всех сил равна нулю: |
|
у |
|||||||||
|
r α |
||||||||||
|
|
r |
r |
|
+ mgr = 0 . |
|
|
α |
|||
|
|
T |
+ T |
|
|
|
T2 |
||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
А |
В |
|
|
|
В проекции на оси имеем: |
|
|
|
х |
||||||
|
|
|
|
T1 |
|
||||||
|
ОХ: − T1 + T2 sin α = |
0 , ОУ: T2 cos α − mg = 0 , |
v |
||||||||
|
|
||||||||||
|
|
mg |
|
||||||||
откуда |
= m g , T = T sin α = T tgα, т.е. T = T , т.к. tg 45° =1. |
|
|||||||||
|
T |
|
|||||||||
|
2 |
cos α |
1 |
|
2 |
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
Произведем вычисления: |
T |
200 кг 9,81м/ с2 |
= 2783Н. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: Т1 = Т2 = 2783 Н. |
||
|
Пример 3. Рычаг с плечами 45 и 60 см находится в равновесии, если на |
||||||||||
короткое плечо рычага действует сила 80 Н. Определите силу давления рычага |
|||||||||||
на опору и силу, приложенную ко второму концу рычага. |
|
|
|||||||||
Дано: |
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
d1 |
= 45 см |
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
d2 |
= 60 см |
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F1 = 80 Н |
|
|
|
|
d 1 |
|
|
d 2 |
|
|
|
Fдав = ? |
|
|
|
|
|
|
0 |
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ? |
|
|
|
|
|
|
|
F 2 |
|
|
|
F2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
r |
|
|
F дав |
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Силы, действующие на рычаг, изображены на рисунке – это сила |
F1 , при- |
|||||||||
ложенная к короткому плечу рычага, F2 |
– приложенная к длинному плечу рыча- |
||||||||||
га, и сила реакции со стороны опоры – N . |
|
|
|
||||||||
|
На опору со стороны рычага оказывается воздействие силой давления. По |
||||||||||
третьему закону Ньютона сила давления равна по величине силе реакции опоры |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
83 |
и противоположна ей по направлению, |
т.е. |
Fдав = −N или Fдав = −N . |
Следова- |
|||||||||||||||||
тельно, при решении задачи мы будем определять силу реакции опоры. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
Воспользуемся первым условием равновесия: F1 + F2 + N |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
В проекции на вертикальную ось ОУ: − F1 − F2 + N = 0 , или N = F1 + F2 . |
|
||||||||||||||||||
|
Для количественного определения силы реакции опоры, а значит и силы |
|||||||||||||||||||
давления, необходимо определить величину силы F2 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Запишем второе условие равновесия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
M1 + M2 + M3 = 0 , |
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
М1 = − F1 d1 |
– момент силы F1 |
отрицателен, т.к. данная сила способна по- |
|||||||||||||||||
вернуть тело против часовой стрелки, d1 |
– плечо силы; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
М2 = F2 d2 |
– момент силы F2 , который положителен, |
т.к. данная сила |
|||||||||||||||||
способна повернуть тело по часовой стрелке, d2 |
– плечо силы; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
М3 = N d3 |
|
= 0 – момент силы N, который равен нулю, т.к. плечо этой си- |
|||||||||||||||||
лы d3 |
относительно точки О равно нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Тогда F d |
2 |
− F d |
1 |
= 0 или F d |
1 |
= F d |
2 |
и, следовательно, F |
= |
F1 |
d |
1 |
. |
||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
d2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Произведем вычисления: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
F = |
|
80 H |
0,45м = 60 Н, F |
|
= N = 80 H + 60 H =140 H . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
0,6 Н |
|
|
|
дав |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: F2 = 60 Н, |
Fдав =140 H . |
|||||
Пример 4. Балка длиной 4 м подперта на расстоянии 1,9 м от левого конца. На каком расстоянии от правого конца должен встать человек массой 80 кг, чтобы балка пришла в равновесие? Масса балки 800 кг.
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
||
l = 4 м |
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а = 1,9 м |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
m = 80 кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|||
М = 800 кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
b = ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mg |
|
|
|
|
|
|
|
l |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mg |
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На балку действуют три силы: сила тяжести балки Mg , сила, равная силе тяжести человека mgr , сила реакции опоры N . Так как балка находится в равно-
84
весии, т.е. не вращается, то по второму условию равновесия алгебраическая сумма вращающих моментов относительно любой точки равна нулю:
M1 + M2 + M3 = 0 .
Определим моменты сил, действующих на балку, относительно точки О:
M1 = −m g x ,
где х – расстояние от точки О до точки приложения силы mg , т.е. плечо этой силы. Знак минус означает, что данная сила способна повернуть тело против часовой стрелки.
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
M2 |
= M g |
|
−a , |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
l |
|
|
r |
|
|
|
|
где |
|
− a |
– плечо силы |
Mg . Момент положителен, т.к. сила способна повер- |
|||
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
нуть тело по часовой стрелке.
M3 = N 0 = 0 ,
r
т.к. сила N не имеет плеча относительно оси вращения, проходящей через точку О.
l |
|
l |
|
|
|||
Тогда имеем: M g |
|
− a |
− m g x = 0 , или M g |
|
−a |
= m g x , т.е.: |
|
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
M |
l |
|
|
800 кг |
|
4 м |
|
=1м. |
||
x = |
|
|
|
−a |
= |
|
|
|
−1,9 м |
||
m |
2 |
80 кг |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Из рисунка следует, что искомое расстояние равно: b = l −a + x = 4 м−1,9 м+1м = 3,1м.
Ответ: b = 3,1 м.
Пример 5. Тонкая палочка плотностью ρ = 750 кг/м3 закреплена шарнирно на одном конце и опущена свободным концом в воду. Какая часть длины палочки будет погружена в жидкость при равновесии, если плотность воды ρВ = 1000 кг/ м3? Шарнир находится на небольшой высоте над уровнем воды.
Дано: |
Решение: |
|
|
|
|
||
ρ = 750 кг/м3 |
Так как палочка закреплена шарнир- |
|
|
|
О |
||
ρВ = 1000 кг/м3 |
но в точке О, она может совершать |
|
|
|
|||
|
|
α |
|
||||
|
|
|
только вращательное движение. Усло- |
Fарх |
|
||
|
l |
= ? |
|
||||
|
|
вием её равновесия будет равенство ну- |
|
|
|
|
|
|
lo |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Lо |
||
|
|
лю суммы моментов всех действующих |
|
|
r |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
сил относительно оси, проходящей че- |
|
|
mg |
L |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
рез шарнир. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85 |
||
Пусть lo |
– длина палочки, l – длина погружённой части, α - угол, обра- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
зуемый палочкой с горизонтом при равновесии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Запишем условие равновесия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
l |
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
F |
|
|
|
cos α − F |
|
l |
|
|
− |
|
cos α = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
T |
|
2 |
|
|
|
|
|
ВЫТ |
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где: FT = mg = ρgV = ρgloS, |
|
FВЫТ = ρВglS. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
ρl2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
ρl |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
l2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
l2 |
|||
Имеем |
|
o |
−ρBl lo − |
|
|
|
= 0 , |
|
o |
−ρBllo |
− |
|
B |
|
= 0 |
и, |
разделив на |
|
o |
, |
||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
l |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
получим: ρ − 2ρB |
|
|
+ρB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
lo |
|
|
|
lo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решим это уравнение относительно |
|
l |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
lo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
ρ |
|
|
± |
ρ2 −ρρ |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
B |
|
|
|
B |
|
B |
, |
|
|
|
|
|
|
=1± 0,5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
lo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку отношение должно быть меньше 1, выберем |
|
l |
= 1 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lo |
2 |
|
|
|
|
|
|
Если шарнир расположен так, что в воду не может быть погружена поло- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вина палочки, то палочка будет висеть вертикально. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
l |
|
= 1 . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lo |
2 |
|
||
Пример 6. Два шара массой 3 кг и 5 кг скреплены стержнем, масса которого 2 кг. Определите положение общего центра масс, если радиус первого шара
5 см, второго шара 7 см, длина стержня 30 см. |
|
|
|
|
|||||||
Дано: |
|
СИ |
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
m1 = 3 кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 = 5 кг |
|
|
|
|
|
R1 |
l |
C |
R2 |
||
m3 = 2 кг |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 = 5 см |
|
0,05 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 = 7 см |
|
0,07 м |
|
|
|
|
0 |
|
|
х |
|
l = 30 см |
|
0,30 м |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Х1 |
Х3 |
ХC |
Х2 |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
XC = ? |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проведем ось ОХ параллельно стержню и зафиксируем на ней начало ко- |
|||||||||||
ординат в точке, соответствующей середине стержня. Координату центра масс
86
данной системы тел, рассматривая их как материальные точки с массами m1, m2, m3, находящиеся в центре масс каждого из тел, определим по формуле:
XC = m1x1 ++m2x2++ m3x3 , m1 m2 m3
где х1, х2, х3 – координаты центров масс тел.
Из рисунка видно, что относительно выбранной оси центр масс первого
|
|
|
|
l |
|
|
|
шара имеет координату |
x1 |
= − |
|
+ R1 , центр масс второго шара имеет коорди- |
|||
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
нату x2 = |
|
+ R2 , центр масс стержня имеет координату x3 |
= 0. Тогда: |
||||
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
XС = −3кг (0,15м+ 0,05м)+ 5кг (0,15м+ 0,07 м)+ 2 кг 0 |
= 0,05м = 5см. |
||||||
|
|
|
|
3кг + 5кг + 2 кг |
|
||
Центр масс находится между вторым шаром и серединой стержня на расстоянии 5 см от последней.
Ответ: ХС = 5 см.
Пример 7. Шар массой 6 кг висит на веревке, прикрепленной к стене. Определите силу натяжения веревки и силу давления шара на стену. Веревка обра-
зует со стеной угол 30° и проходит через центр шара. |
|
|
|
|
|
||||
Дано: |
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
α |
° |
|
По условию равновесия векторная сумма всех |
|
|
|
|
|
|
|
= 30 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
m = 6 кг |
|
сил, приложенных к телу, равна нулю: |
|
Fнат |
|||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
r |
+ N + mgr = 0 . |
|
|
|||
Fнат = ? |
|
|
|
||||||
|
F |
|
|
α |
|||||
|
|
|
НАТ |
|
|
|
|
|
|
Fдав = ? |
|
Запишем данное равенство в проекциях на оси |
|
|
N |
||||
|
|
|
ОХ и ОУ: |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
mg x |
||
|
|
|
FНАТ sin α = N , FНАТ cos α = mg . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Тогда |
|
N = m g tgα . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
По третьему закону Ньютона, с какой силой шар давит на стену, с такой |
||||||||
же силой стена действует на шар силой реакции опоры, т.е. |
FДАВ = N , тогда |
||||||||
FНАТ = N / sin α.
Произведем расчеты:
FДАВ = tg30° 6 кг 9,81м/ с2 = 34 Н,
FНАТ = 34 Н/ 0,5 = 68 Н.
Ответ: FДАВ = 34 Н, FНАТ = 68 Н.
87
Задачи для самостоятельного решения
1.Килограммовая гиря стоит на столе и поддерживается динамометром. Какова сила давления гири на стол, если показания динамометра 1 Н?
2.На парашютиста массой 80 кг, приближающегося к земле, действует боковой ветер с силой 300 Н. Определите равнодействующую сил, приложенных к данному телу, если по вертикали вверх со стороны парашюта к нему приложена сила, равная 700 Н. Изобразите равнодействующую графически.
3.Под действием силы 300 Н конец рычага равномерно переместился на высоту 0,2 м. Груз, лежавший посредине рычага, поднялся на 0,1 м. Чему равен КПД рычага, если сила тяжести, действующая на груз, 480 Н? Другим концом рычаг опирается о землю.
4.Гаечным ключом отвинчивают гайку. Длина его рукоятки составляет 20 см. К концу рукоятки приложена сила 50 Н под углом 90° к рукоятке. Какой момент создает эта сила? Какова должна быть сила, если ее приложить в середине рукоятки?
5.Будет ли находиться в равновесии невесомый стержень длиной 50 см, если на его левый конец действует сила 3 Н, на правый – 2 Н, а сам стержень подвешен на нити, закрепленной на расстоянии 20 см от левого края?
6.С помощью неподвижного блока равномерно поднимают ведро из колодца. С какой силой действуют на веревку, если сила тяжести, действующая на ведро с водой, составляет 100 Н? Трение и силу тяжести, действующую на веревку, не учитывайте.
7.Длина шлагбаума 7,8 м, его масса 210 кг. Ось вращения находится на расстоянии 6,3 м от правого конца. Определите силу, необходимую для опускания шлагбаума при действии на его правый конец. Сила тяжести шлагбаума приложена в точке на расстоянии 1,2 м от левого конца.
8.К средней точке горизонтально подвешенного провода длиной 20 м подвешен груз массой 1,7 кг, вследствие чего провод провис на 10 см. Определите силу упругости, с которой каждая половина действует на груз.
9.Какую силу нужно приложить к автомобилю, чтобы удержать его на наклонной плоскости длиной 10 м и высотой 1 м, если масса автомобиля с грузом равна 8 т, а коэффициент трения составляет 0,02?
10.Два шара массой 10 и 5 кг скреплены стержнем, масса которого 0,2 кг. Определите положение общего центра тяжести, если радиус первого шара 20 см, второго 40 см, длина стержня 100 см.
88
11.На тело, имеющее ось вращения, действуют по часовой стрелке силы 20 и 10 Н, а против часовой стрелки силы 10, 50 и 70 Н. Плечи этих сил соответственно равны 30 см, 10 см, 40 см, 20 см и 50 см. Определите модуль и направление результирующего момента. Каким должен быть момент добавочной силы, чтобы тело оставалось в равновесии?
12.Два однородных цилиндра соединены между собой так, что их оси лежат на одной линии. Масса одного цилиндра 3 кг, его длина 1 м. Масса второго 1 кг, а его длина 0,6 м. На каком расстоянии от центра большого цилиндра находится центр тяжести системы?
13.Стержень длиной 0,8 м и шар радиусом 0,2 м соединены вместе, причем ось стержня и центр шара лежат на одной прямой. На каком расстоянии от середины стержня находится центр тяжести системы, если стержень и шар имеют одинаковые массы?
14.Однородная тонкая пластинка радиусом 6 м имеет форму круга, в котором вырезано круглое отверстие вдвое меньшего радиуса, касавшееся края пластинки. На каком расстоянии от центра большого круга находится центр тяжести пластинки?
15.Два шара диаметрами 0,6 м скреплены в точке касания их поверхностей. На каком расстоянии от точки касания находится центр тяжести системы, если масса одного шара в 3 раза больше массы другого?
16.Лестница, масса которой 20 кг и длина 2 м, прислонена к гладкой вертикальной стене под углом α = 30°. Центр тяжести лестницы находится на высоте 1 м от пола. С какой силой человек тянет лестницу за середину в горизонтальном направлении, если она не давит на стену?
89
Раздел 9. Импульс. Энергия. Работа. Законы сохранения в механике
r
Импульсом тела P (количеством движения) называется векторная физи-
ческая величина, равная произведению его массы на скорость: Pr = m υr .
r
Импульс силы F ∆t – физическая величина, равная произведению силы на промежуток времени, в течение которого эта сила действует.
Второй закон Ньютона при использовании данных понятий может быть сформулирован так: изменение импульса тела равно импульсу силы, действую-
r
щей на тело ∆P = F ∆t .
Векторная сумма импульсов замкнутой системы остается величиной не-
r |
r |
r |
r |
изменной: P1 |
+ P2 |
+ P3 |
+... + Pn = const . |
Замкнутой (изолированной) называется система тел, взаимодействующих только друг с другом и не взаимодействующих с другими телами.
При взаимодействии двух тел их импульсы изменяются на одинаковую величину, но направления приращений импульсов противоположны друг другу,
поэтому можно записать:
m1 (υr1 − υr1′)= −m2 (υr2 − υ′2 ), или m1 υ1 + m2 υ2 = m1 υr1′ + m2 υr′2 .
Законом сохранения импульса можно пользоваться и для незамкнутых систем в случаях:
1)если сумма внешних сил, действующих на тела системы, равна нулю (т.е. внешние силы компенсируют друг друга);
2)если проекция суммы внешних сил на какую-либо координатную ось равна нулю, то проекция суммарного импульса тел системы на данную ось также сохраняется;
3)если внешние силы много меньше внутренних (Fвнеш << Fвнутр). Внешними силами называются силы, действующие на тела системы со
стороны тел, не входящих в нее. Внутренними силами называют силы, возникающие в результате взаимодействия тел, входящих в систему.
Пусть на тело действует постоянная
r |
и тело перемещается на ∆s . Меха- |
Fs |
|
|
|
|||
сила F |
|
|
|
|||||
ническая работа равна произведению мо- |
|
|
|
|
|
|||
дулей |
силы |
и |
перемещения |
|
|
|
А |
|
точки приложения силы на косинус угла |
|
|
|
|
||||
между вектором силы и вектором переме- |
|
|
|
|
|
|||
щения: A = F s cos α . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
s1 |
s |
|||
|
|
|
||||||