Математический анализ

1. Функция. Предел функции в точке.

Понятие функции. Числовые функции числового аргумента. График функции. Способы задания функции. Элементарные глобальные свойства функций (ограни­ченность, неограниченность, монотонность, периодичность, четность, нечетность). Предел функции в точке по Коши и по Гейне. Эквивалентность двух определений. Единственность предела функции.

2. Непрерывность функции.

Различные определения непрерывности функции в точке. Локальные свойства непрерывной в точке функции (ограниченность, сохранение функцией знака). Непре­рывность суммы, произведения и частного двух непрерывных функций. Понятие сложной функции. Непрерывность сложной функции. Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывных на сегменте функций и их применения. Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на сегменте функ­ции. Вторая теорема Вейерштрасса о достижении непрерывной на сегменте функци­ей своих граней.

3. Производная и дифференцируемость функции. Правила дифферен­цирования.

Понятие производной функции в точке. Геометрический и механический смысл производной функции в точке. Уравнение касательной и нормали к графику функции в точке. Дифференцируемость функции в точке. Правила дифференцирова­ния суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций. Дифферен­цирование сложной и обратной функции. Производные основных элементарных функций (тригонометрических, логарифмической, показательной и степенной функций).

4. Условия монотонности функции на промежутке. Выпуклость функ­ции на промежутке. Точки перегиба функции.

Теорема Лагранжа и её геометрическое истолкование. Необходимое и доста­точное условие постоянства функции на промежутке. Необходимое и достаточное условие монотонности функции на промежутке. Экстремумы функции. Условия существования точек экстремума функции. Определение выпуклости (вогнутости) функции на промежутке. Достаточное условие выпуклости дважды дифференцируе­мой функции. Точки перегиба. Необходимое условие существования точки перегиба функции. Достаточное условие существование точки перегиба функции.

5. Первообразная и неопределенный интеграл функции. Методы интег­рирования функций.

Задачи, приводящие к восстановлению функции по её производной (задача о вычислении пройденной пути по мгновенной скорости, задача о вычислении мгно­венной скорости по ускорению, задача о вычислении переменной массы по известной плотности). Понятие первообразной функции. Свойства первообразных функций.

Понятие неопределенного интеграла и его свойства. Таблица интегралов основных элементарных функций. Метод непосредственного интегрирования. Интегрирование методом подстановки и по частям.

6. Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла (задача о площади

криволинейной трапеции, задача о вычислении работы под действием переменной силы). Понятие определенного интеграла. Суммы Дарбу и их свойства (обзорно). Не­обходимое и достаточное условие интегрируемости. Интегрируемость непрерывной функции. Основные свойства определенного интеграла.

7. Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.

Определение функции- определенного интеграла с перемен­

ным верхним пределом. Свойства функции F(х): непрерывность и дифференцируе- мость. Существование первообразной для непрерывной функции. Формула Ньюто­на-Лейбница и её значение для интегрального исчисления. Связь между определен­ным и неопределенным интегралами функции.

8. Приложения определенного интеграла.

Площадь криволинейной трапеции. Площадь криволинейного сектора в поляр­ной системе координат. Объем тела вращения. Вычисление длины кривой. Вычисле­ние площади поверхности вращения. Работа силы. Вычисление статических момен­тов и координат центра тяжести кривой.

Ответы

1. Функция. Предел функции в точке.

Понятие функции. Числовые функции числового аргумента. График функции. Способы задания функции. Элементарные глобальные свойства функций (ограни­ченность, неограниченность, монотонность, периодичность, четность, нечетность). Предел функции в точке по Коши и по Гейне. Эквивалентность двух определений. Единственность предела функции.

Пусть даны два множества произвольной природы:.ОтношениеfмеждуAиB, при котором каждому элементу из множества А соответствует не более одного элемента изB, называетсяфункцией или отображением.

- область определения,- область значения. Функцию называютобратимой, если двум различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции. Еслиfотношение обратимое, то обратное к нему отношение, также будет функцией. Эту функцию называютобратнойк функцииf.

Если – числовое множество, то функциюfназываютчисловойфункцией. Если– числовое множество, тоfназываютчисловой функцией числового аргумента.

В декартовой системе координат упорядоченная пара однозначно определяет точку. Множество точек плоскостисопоставлено функцииf, такие чтоназываетсяграфикомфункцииfи обозначается. Геометрическое определение функции: любая прямая, параллельная оси 0Yимеет не более одной общей точки с графиком.

Способы задания функции: табличный, аналитический с помощью формул, параметрический, графический, словесный, рекуррентный (явно или неявно задаются несколько первоначальных членов и дается формула для нахождения остальных членов).

Функцию fназовемограниченной сверху на М, если. Наименьший из верхних границ для функцииfназываетсяверхней граньюэтой функции. Функцияfназываетсянеограниченной сверхуна М, если. Функциюfназовемограниченной снизу на М, если. Наибольшее из нижних границ для функцииfназываетсянижней гранью этой функции. Функцияfназываетсянеограниченной снизуна М, если. Функцияfназываетсяограниченной, если она ограничена сверху и снизу. Функцияfназываетсянеограниченной, если она не ограничена сверху и снизу.

Функцию fназовеммонотонно возрастающейна М если, т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции,строго возрастающей. Функциюfназываюткусочно-монотонной на М, если М можно разбить на конечное число подмножеств, в каждом из которыхfмонотонна.

Множество М называется симметричнымотносительноx=0, еслиФункцияfназываетсячетнойна М, если М-симметричное множество иФункцияfназываетсянечетнойна М, если М-симметричное множество и

Множество М подмножества называетсяпериодическимс периодом Т>0, если оно наряду с каждым числомxсодержит в себе числаx+Tиx-T,т.е.Периодическое множество неограниченно. Период Т – наименьшее положительное число. Функцияпериодическаяс периодом Т если:D(f) периодическое множество и

Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности такой, чтосходящейся к числуa, соответствующая последовательность значений функции сходится к числуA.

Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.

Если функция в точке а имеет предел, то он единственный.

2. Непрерывность функции.

Различные определения непрерывности функции в точке. Локальные свойства непрерывной в точке функции (ограниченность, сохранение функцией знака). Непре­рывность суммы, произведения и частного двух непрерывных функций. Понятие сложной функции. Непрерывность сложной функции. Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывных на сегменте функций и их применения. Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на сегменте функ­ции. Вторая теорема Вейерштрасса о достижении непрерывной на сегменте функцией своих граней.

Пусть на множестве Dопределена. Функциюf(x) называютнепрерывнойв точкепо Коши, если. Функциюf(x) называютнепрерывнойв точкепо Гейне, еслит.е. для любойэлементов множестваD, сходящейся к т.aпоследовательностьсоответсвующих значений функции имеет своим пределомf(a). Изэквивалентность определений. Функцию назовемнепрерывнойв т.аслева (справа), если существует левый (правый) предели он равен

Локальное св-во ограниченности. Если функция f(x) непрерывна в т.a, то найдется такая окрестность этой точки, в которой функция f(x) будет ограничена. Если функцияfнепрерывна т.аи, то в достаточно малой окрестности т.афункцияfположительна (отрицательна).

Локальное св-во сохранение функцией знакаЕсли функции f(x) и g(x) непрерывны в точке а, то их сумма и произведение так же будут непрерывны в этой точке. Если дополнительно:, то частное функций f(x) и g(x) есть функция непрерывная.

Сложная функция, функция от функции. Если величина yявляется функцией отu, то естьу=f(u), и, в свою очередь, функцией отх, то естьu=j(х), тоуявляется сложной функцией отх, то естьy=f[(x)],определённой для тех значенийх, для которых значенияj(х)входят в множество определения функцииf(u). В таком случае говорят, чтоуявляется сложной функцией независимого аргументах, аu- промежуточным аргументом.

Если функция u(x)непрерывна в точкеа, а функцияf(u)непрерывна в соответствующей точкеu0=f(x0),то сложная функцияf(u(x))непрерывна в точкеа.

Th1 Больцано-Коши. Пустьf(x)определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает разные по знаку значения. Тогдатакая, чтоf(c) = 0.

Th2 Больцано-Коши. Пусть f(x) определена и непрерывна на отрезке [a;b] иТогда.

Th1 Вейерштрасса. Пустьf(x)определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a,b]. Тогда существуют конечныеmиMтакие, что.Другими словами, функция, непрерывная на замкнутом отрезке, ограничена на этом отрезке и сверху и снизу.

Th2 Вейерштрасса.Пустьf(x)определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a,b]. Тогда, такие, что.Другими словами, непрерывная функция, определенная на замкнутом отрезке, достигает в нем своих супремума и инфимума.

Производная и дифференцируемость функции. Правила дифференцирования.

Понятие производной функции в точке. Геометрический и механический смысл производной функции в точке. Уравнение касательной и нормали к графику функции в точке.Дифференцируемость функции в точке. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций. Дифференцирование сложной и обратной функции.Производные основных элементарных функций (тригонометрических, логарифмической, показательной и степенной функций).

Если приращение можно записать в видегдеA-независимое отдейст. число,-бесконечно малая функция аргументапри, то функциюfназываютдифференцируемойв т.. Главная часть приращенияназываетсядифференциаломфункцииfв т.и обозначается.

Всякая дифференцируемая в точке функция является и непрерывной в ней. Функция fдиф-ема в т.ТиТТ,К существует конечный предел. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента приназываетсяпроизводнойфункцииfв т.и обозначается.Тогда дифференциал, приращение

Геометрический смысл производной.  Рассмотрим график функцииy =f(x ). Из рис.1  видно, что для любых двух точек A и B графика функции:где- угол наклона секущей AB. Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, тонеограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. Другими словами, производная функции в точке x₀ равняется тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. В этом и состоитгеометрический смысл производной. Геометрическидифференциалфункции df – это приращение ординаты касательной к графику функции в данной точке при изменении абсциссы точки на dx.Выведем уравнение касательнойк графику функции в точке A (x₀,f(x₀ ) ). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом  f’(x₀ )  имеет вид:y=f’(x₀ ) · x + b . Чтобы найтиb, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:f(x₀ ) =f’(x₀ ) ·x₀ + b , отсюда,b=f(x₀ ) –f’(x₀ ) · x₀ , и подставляя это выражение вместоb, мы получимуравнение касательной:y=  f(x₀ ) +f’(x₀ ) · (x – x₀  ) .Нормалью к графику функции y = f (x) в точке A (x₀; y₀) называется прямая, проходящая через точку A и перпендикулярная касательной к этой точке. Она задается уравнением что следует из свойства угловых коэффициентов перпендикулярных друг другу прямых. В случае бесконечной производнойкасательная в точкеx₀ становится вертикальной и задается уравнением x = x₀, а нормаль – горизонтальной: y = y₀. Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан:  координатаxдвижущейся точки – известная функцияx(t) времениt. В течение интервала времени отt₀доt₀+  точка перемещается на расстояние:  x(t₀+) - x(t₀) =, а еёсредняя скорость равна:  v_a = /. При0  значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называетсямгновенной скоростью  v(t₀)  материальной точки в момент времениt₀. Но по определению производной мы имеем:отсюда,  v(t₀)=x’(t₀), т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоитмеханический смыслпроизводной. Аналогично,ускорение – это производная скорости по времени:a=v’ (t). Дифференциал показывает путь пройденной точкой за времяпри равномерном движении со скоростью.

Th Правила диф-ния. Если функции f и g дифференцируемы в точке то в этой же точке дифференцируемы сумма, произведение и частное (если) этих функций, причем .

Th Производная обратной функции. Пусть функция y=f(x) непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности т.и присуществует производная, тогда обратная функцияимеет производную в точкепричем, т.о. производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Th Производная сложной функции. Пусть на множестве D существует сложная функция Пусть функцияy=f(x) диф-ема в т.и функцияz=g(y) диф-ема в соответствующей точке , тогда сложная функцияв т.также диф-ема причемПроизводная сложной функции по независимой переменной равна произведению этой функции по промежуточному аргументу и производной внешней функции по независимой переменной.

Производные элементарных функций.

а) Тригонометрические функции.

Мы воспользовались первым замечательным пределом и свойством предела произведения. Итак, Аналогично Производные тангенса и котангенса можно найти как производные частного:

б) Обратные тригонометрические функции. Рассмотрим функцию y = arcsin x. На отрезке обратной к ней функцией будетx = sin y. Продифференцируем эту функцию по x, считая y функцией от x: . Аналогично выводятся формулы и для других обратных функций. Получаем:

в) Степенная и показательная функции. Рассмотрим функцию . Для нее, еслиa > 0, a ≠ 1, то

При x > 0, .

г) Логарифмическая функция. Рассмотрим функцию . Еслиa > 0, a ≠ 1, то .

д)Степенно-показательная функция. Рассмотрим функцию т.о. производная функцииравна сумме двух слагаемых, из которых первое совпадает с производной из того предположения, что функция рассматривается как показательная, а второе – в предположении, что функция степенная.

е)Параметрически заданные функции. Если диф-емы в т.истрого монотонна в неокторой окрестности т.t и соответсвующий точкебудет также диф-ема и производная