poz053

Скорость падающего тела, движущего равноускоренно с ускорением g:

υ= υ0 + g t .

Кисходу четвертой секунды она равна: υ =10 м/ с2 4 с = 40 м/ с.

Ответ: h = 80 м; υ = 40 м/ с.

Пример 4. Сигнальная ракета запущена вертикально вверх с начальной скоростью 58,8 м/с. Определите наибольшую высоту подъема ракеты и ее скорость через 10 с после начала полета. Ускорение свободного падения принять

Или в проекциях на заданное направление оси ОУ: y = υo t − g 2t2 , υy = υo −g t .

В верхней точке траектории скорость тела равна нулю, следовательно, можно определить время полета до верхней точки tB из соотношения:

51

Тогда наибольшая высота подъема ракеты составляет:

hМАКС = y = 58,8м/ с 6 с− 9,8м/ с2 (6 с)2 = 352,8м−176,4 м =176,4 м.

Определим скорость ракеты через 10 с после начала движения:

υy = 58,8м/ с−9,8м/ с2 10 с = −40 м/ с,

где знак "минус" означает, что в данный момент времени скорость дает отрицательную проекцию на ось ОУ, т.е. тело движется вниз.

Ответ: hМАКС =176,4 м; υ = 40м/ с.

Пример 5. Луна движется вокруг Земли по окружности, радиус которой равен 384000 км с периодом 27 сут 7 ч 45 мин. Какова линейная скорость Луны и

Для определения линейной скорости Луны воспользуемся форму-

лой: υ = 2πTR и произведем расчеты:

υ = 2 3,14 3,84 108 м =1020 м/ с. 2360700с

Центростремительное ускорение равно:

Ответ: υ =1020 м/ с; aЦС = 0,027 м/ с2 .

Пример 6. Тело брошено горизонтально со скоростью 20 м/с. Определить перемещение тела от точки бросания, если в данный момент его скорость ориентирована под углом 45° к горизонту. Ускорение свободного падения принять равным 9,8 м/с2.

Выберем оси координат, как показано на рисунке, при этом начало координат совместим с начальной точкой полета. Тогда по оси ОХ движение тела равномерное с постоянной скоростью υx = υox = υo и x = υo t . По оси ОУ движение тела равнопеременное с постоянным ускорением, равным ускорению свободного падения, т.к. a y = g и начальной скоростьюυoy = 0 , т.е. y = gt2 / 2 ,

υy = g t .

Если скорость в точке направлена под углом 45° к горизонту, то:

Пример 7. Мяч брошен под углом 45° к горизонту со скоростью 10 м/с. На каком расстоянии он упадет на землю и какой наибольшей высоты он достигнет? Какова скорость тела через 1 с после начала движения? Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с2.

53

Выберем оси координат, как показано на рисунке, при этом начало координат совместим с начальной точкой полета.

Для определения координаты и скорости тела относительно любой из осей воспользуемся общими выражениями: x = υox t + ax2t2 , υx = υox +a x t .

Относительно оси ОХ движение тела равномерное с постоянной скоростью, т.к. проекция ускорения тела на ось равна нулю ( ax = gx = 0 ), тогда

υx = υox = υo cosα и x = υo cosα t .

Относительно оси ОУ движение тела равнопеременное с постоянным ускорением, равным по величине ускорению свободного падения, т.к. проекция ускорения свободного падения на ось составляет ay = gy = −g , с начальной ско-

ростьюυoy = υo sin α, т.е. y = υo sin α t − g 2t2 , υy = υo sin α − g t . До верхней точки тело относительно оси ОУ движется равнозамедленно (скорость υry ↑↓ gr ),

азатем равноускоренно (скорость υry ↑↑ gr ).

Вверхней точке траектории вертикальная составляющая скорости υry ста-

новится равной нулю: υy = υo sin α − g tB = 0, следовательно, можно найти время движения до верхней точки: tB = (υo sin α) / g . Тогда мы сможем узнать полное время полета тела от места бросания до места падения и координату y = HМАКС в верхней точке:

y = HМАКС = υo sin α tB − g 2tB2 .

Произведем расчеты:

tB = (10 м/ с 0,7) /10 м/ с2 = 0,7 с,

54

Полное время полета в два раза больше времени полета до верхней точки. В момент падения тела на землю координата тела относительно оси ОХ приобретает конкретное значение: S = x = υo cosα 2tB . Рассчитаем дальность полета:

S =10 м/ с 0,7 1,4 с = 9,8м.

Определим скорость для момента времени t =10 c . Проекции скорости в этот момент времени можно определить из равенств:

υx = υo cosα, υy = υo sin α−g t .

Вычислим проекции скорости:

υx =10 м/ с 0,7 = 7 м/ с, υy =10 м/ с 0,7 −10 м/ с2 1с = −3м/ с,

знак минус означает, что проекция вектора скорости на ось ОУ отрицательна, т.е. вектор υry направлен вниз.

Полную скорость определим по теореме Пифагора: υ = υx 2 + υy2 . Она

будет равна υ = (7 м/ с)2 + (−3м/ с)2 = 58 ≈ 7,62 м/ с.

Ответ: S = 9,8м, НМАКС = 2,45м, υ = 7,62 м/ с.

Задачи для самостоятельного решения

1.Самолет, стартовав в Москве, держит по компасу курс на север, летя на высоте 10 км со скоростью 720 км/ч. Какими будут координаты самолета относительно аэропорта через 2 ч после начала полета, если во время полета дует восточный ветер со скоростью 10 м/с? Каково перемещение самолета?

2.При равноускоренном движении из состояния покоя точка за третью секунду движения прошла 15 см. Какой путь она пройдет за шестую секунду?

3.Ракета стартует с ускорением 20 м/с2 и к некоторому моменту времени достигает скорости в 800 м/с. Какой путь она пройдет в следующие 5 с? Какова средняя скорость движения ракеты за все время движения?

4.По шоссе навстречу друг другу из точек А и В движутся два автомобиля. Начальная скорость первого 2 м/с, ускорение 0,4 м/с2, второй движется равномерно со скоростью 4 м/с. В начальный момент времени расстояние между автомобилями 80 м. Найти расстояние между автомобилями через 5 с. Через сколько времени и на каком расстоянии от точки А произойдет их встреча?

55

5.По двум взаимно перпендикулярным дорогам двигаются равномерно грузовая и легковая автомашины со скоростями, соответственно равными 54 и 72 км/ч. На каком расстоянии окажутся друг от друга автомобили через 10 мин после встречи у перекрестка?

6.Тело свободно падает с некоторой высоты в течение 5 с. С какой высоты падало тело и какова его скорость в момент падения?

7.Камень, брошенный вертикально вверх, дважды был на одной и той же высоте: спустя время 3 с и время 5 с после начала движения. Найти начальную скорость и данную высоту.

8.Тело брошено под углом 30° к горизонту со скоростью 10 м/с. Какова дальность полета тела?

9.Тело брошено под углом 60° к горизонту с начальной скоростью 20 м/с. Через какой промежуток времени после бросания скорость тела будет составлять с горизонтом угол 45°?

10.Сверхзвуковой самолет летит горизонтально со скоростью 1440 км/ч на высоте 20 км. Когда самолет пролетает над зенитной установкой, из орудия производится выстрел. Какова должна быть минимальная начальная скорость снаряда и угол ее с горизонтом, чтобы снаряд попал в самолет?

11.Тело брошено с башни под углом 30° к горизонту с начальной скоростью 10 м/с. Каково кратчайшее расстояние между местом бросания и местом нахождения тела спустя время 4 с после бросания?

12.С высоты 2 м вниз под углом 60° к горизонту брошен мяч с начальной скоростью 8,7 м/с. Найти расстояние S между двумя последовательными ударами мяча о землю. Удары считать абсолютно упругими.

13.Два шкива, радиусы которых 5 см и 10 см, соединены бесконечным ремнем. Период вращения меньшего шкива равен 0,5 с. Каков период обращения второго шкива?

14.Материальная точка, двигаясь равноускоренно по окружности радиуса 1 м, прошла за время 10 с путь 50 м. С каким центростремительным ускорением двигалась точка спустя время 5 с после начала движения?

15.Во сколько раз отличаются друг от друга центростремительные ускорения точек поверхности Земли на экваторе и на широте 60°. Считать радиус Земли равным 6400 км.

16.Маховое колесо, вращающееся с частотой 240 об/мин, останавливается в течение промежутка времени 0,5 мин. Найти число оборотов N, сделанных колесом до полной остановки.

56

17.Материальная точка, двигаясь равноускоренно по окружности радиуса 20 см, прошла за время 10 с путь 50 см и имеет некоторое центростремительное ускорение. Через какое время центростремительное ускорение точки удвоится?

18.Минутная стрелка часов в 1,5 раза длиннее часовой. Определите, во сколько раз линейная скорость конца часовой стрелки меньше, чем линейная скорость конца минутной стрелки.

19.Во сколько раз отличаются друг от друга центростремительные ускорения точек поверхности Земли на экваторе и на широте 60°? Считать радиус Земли равным 6400 км.

57

Раздел 6. Механика. Динамика

Динамика изучает законы движения тел и причины, которые его вызывают. Инерциальная система отсчета – система отсчета, относительно которой свободная материальная точка, не подверженная воздействию других тел, движет-

ся равномерно и прямолинейно (по инерции).

Инертностью тела называют свойство, присущее всем телам и заключающееся в том, что тела оказывают сопротивление изменению их скорости (как по модулю, так и по направлению).

Масса тела m – скалярная физическая величина, являющаяся мерой инерционных (инертная масса) и гравитационных (гравитационная масса) свойств.

Сила F – векторная физическая величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение (дина- мическое проявление силы) или изменяет свою форму и размеры (статическое проявление силы).

Законы Ньютона:

1.Существуют такие системы отсчета (инерциальные системы отсчета), относительно которых поступательно движущиеся тела сохраняют свою скорость постоянной, если на них не действуют другие тела.

2.Ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силой, совпадает с ней по направлению и обратно пропорцио-

нально массе материальной точки (тела): ar = mF .

3.Всякое действие материальных точек (тел) друг на друга имеет характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки (тела), всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки: F12 = −F21 .

Эти силы приложены к разным матери- F12 F

альным точкам (телам), всегда действуют парами и являются силами одной природы.

21

Ускорение, сообщаемое телу при одновременном действии нескольких сил, равно векторной сумме ускорений, которые сообщила бы этому телу каждая сила,

действующая в отдельности:

ar = a1 + a2 + a3 +... + an .

58

Векторная сумма всех сил, действующих на тело, называется равнодейст-

вующей:

r

R = F1 + F2 + F3 +... + Fn .

Ускорение, сообщаемое телу в результате одновременного воздействия на него нескольких сил, равно ускорению, которое сообщает их равнодействующая:

ar = mR .

Силы в природе:

Силы тяготения. Падение тел на землю, движение спутников вокруг Земли, обращение планет вокруг Солнца и т.д. происходят под действием сил тяготения. Силы тяготения, с которыми взаимодействуют тела, определяются законом всемирного тяготения: все тела притягиваются друг к другу с силой, модуль которой прямо пропорционален произведению их масс и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними:

F = G m1r2m2 ,

где F – величина силы притяжения; m1 и m2 – массы материальных точек; r – расстояние между ними; G – гравитационная постоянная, численное значение кото-

рой определяется величиной: G = 6,67 10−11 H м2 2 . Осуществляется гравитацион-

кг

ное взаимодействие через поле тяготения, т.е. гравитационное поле.

•Одно из проявлений силы всемирного тяготения – сила тяжести (сила притяжения данного тела к Земле). Сила тяжести приложена к телу и равна произве-

дению массы тела на ускорение свободного падения g (ускорение силы тяжести): Fr = m gr.

•Вследствие притяжения к Земле тело действует с некоторой силой на опору, на которой оно находится, или на подвес, к которому оно подвешено. Эту силу, приложенную не к телу, а к опоре или подвесу, неподвижным в выбранной системе отсчета, называют весом тела и обозначают буквой Р. Вес тела Р численно равен действующей на тело силе тяжести только в том случае, когда опора или подвес находятся в покое или в состоянии прямолинейного равномерного движения относительно Земли. Для количественной оценки веса тела Р необходимо определить величину силы реакции опоры N или величину силы натяжения подвеса Т, т.к. по третьему закону Ньютона данные силы равны весу тела.

Механическое напряжение σ, возникающее в твердом теле, численно равно отношению силы F к площади поперечного сечения тела S, на которое действует

сила: σ = SF .