poz053

90

С учетом того, что проекция силы на вектор перемещения может быть записана как Fs = F cos α , следовательно, A = Fs s . Работа положительна, т.е. А >

0 при α ≤ π/2, отрицательна, т.е. А < 0 при α > π/2.

Величину работы силы F можно определить по графику, где представлена зависимость Fs = f (s). Она численно равна площади фигуры под графиком данной зависимости.

Механическая энергия характеризует способность тела совершать механическую работу. Полная механическая энергия тела складывается из кинетиче-

ской и потенциальной энергии.

Кинетическая энергия – это энергия, которой обладает движущееся тело,

она определяется по формуле: Eкин = m 2υ2 , где m – масса тела, υ – скорость

его движения. Поскольку скорость тела зависит от выбора системы отсчета, то и кинетическая энергия различна в разных системах отсчета.

Изменение кинетической энергии тела равно произведенной при этом ра-

боте:

Потенциальной энергией обладает система тел, находящихся во взаимодействии друг с другом, если силы взаимодействия консервативны. Консервативной (потенциальной) силой называется сила, работа которой не зависит от формы траектории, а определяется только положением начальной и конечной точек траектории.

Потенциальная энергия определяется в зависимости от ситуации по различным формулам. Например, для системы "Земля – тело, поднятое на высоту h", принимая потенциальную энергию тела, лежащего на земле, равной нулю, имеем:

Eпот = m g h .

Энергию деформированных упругих тел, например пружины, определяем по формуле

Eпот = k 2∆l2 ,

считая энергию недеформированной пружины равной нулю.

Любое тело может одновременно обладать как потенциальной, так и кинетической энергией. В механических явлениях возможен переход кинетической энергии тела в потенциальную и наоборот, но полная механическая энергия изо-

91

лированной системы тел, в которой не действуют силы трения, сохраняет неизменное значение:

E = Eкин + Eпот ,

где Е – полная механическая энергия системы, Екин – кинетическая, а Епот – потенциальная энергия.

В присутствии сил трения полная механическая энергия системы уменьшается, ее убыль равна работе сил трения (приращению внутренней энергии).

Примеры решения задач

Пример 1. Граната, летевшая со скоростью 10 м/с, разорвалась на два осколка. Большой осколок, масса которого 60% массы всей гранаты, продолжал двигаться в прежнем направлении со скоростью 25 м/с. Найти скорость

осколка (меньшей массы).

Запишем данное векторное выражение в проекциях на ось Х, предполагая, что второй осколок массой 0,4m начинает двигаться в обратную сторону:

m υ = m1 u1 − m2 u2 , откуда u2 = (− m υ+ m1 u1 )/ m2 .

Учитывая, что m1 = 0,6m, m2 = 0,4m, получаем u2 = (− υ+ 0,6 u1 )/ 0,4 . Выполним вычисления:

u2 = (0,6 25м/ с−10 м/ с)/ 0,4 =12,5м/ с.

Знак "плюс" означает, что второй осколок действительно начинает двигаться в направлении, показанном на рисунке.

Ответ: u2 = 12,5 м/с.

Пример 2. Мальчик догнал тележку, движущуюся со скоростью 3 м/с, и вскочил на неё. Чему равна скорость тележки после этого, если скорость маль-

92

чика в момент прыжка была 4 м/с, масса мальчика 50 кг, а масса тележки 80 кг? Чему будет равна скорость тележки, если мальчик прыгнет навстречу движу-

действия.

В первом случае мальчик догоняет тележку. Исходя из рисунка, в проекциях на ось Х имеем:

m1 υ1 + m2 υ2 = (m1 + m2 ) u1 .

Выразим величину скорости тележки после взаимодействия:

u1 = (m1 υ1 + m2 υ2 )(m1 + m2 )

и произведем вычисления:

u1 = (80 кг 3м/ с+ 50 кг 4 м/ с)(80 кг + 50 кг)= 3,38м/ с.

x

Во втором случае мальчик бежит навстречу тележке и вскакивает на нее, при этом векторное выражение не изменяется, а в проекциях на ось Х имеем:

m1 υ1 − m2 υ2 = (m1 + m2 ) u2 .

Тогда

u2 = (m1 υ1 − m2 υ2 )(m1 + m2 ).

Произведем вычисления:

u2 = (80 кг 3м/ с−50 кг 4 м/ с)(80 кг + 50 кг)= 0,31м/ с.

Ответ: u1 = 3,38м/ с, u2 = 0,31м/ с.

93

Пример 3. Снаряд массой m1 = 20 кг, летевший со скоростью υ1 = 500 м/с под углом α = 30° к горизонту, попадает в платформу с песком массой m2 = 10 т и застревает в песке. Определите скорость движения платформы, если первоначально платформа двигалась навстречу снаряду со скоростью υ2 = 2 м/с.

взаимодействия. Взаимодействие неупругое, т.к. тела после взаимодействия двигаются вместе.

Исходя из рисунка, в проекциях на ось Х имеем:

− m1 υ1 cos α + m2 υ2 = (m1 + m2 ) u .

Выразим скорость платформы после попадания снаряда и произведем вычисления:

Ответ: υ = 1,91 м/с.

Пример 4. Плот массой М = 2000 кг находится на расстоянии S = 2 м от берега. Автомобиль массой m = 1000 кг перемещается от одного края плота к другому. Сможет ли при этом плот пристать к берегу, если длина плота L = 7 м?

94

Систему плот-автомобиль можно считать замкнутой, если рассматривать ее относительно горизонтального направления. Согласно следствию из закона сохранения импульса, внутренние силы замкнутой системы тел не могут изменить положение центра масс системы. Применяя это следствие к системе плотавтомобиль, можно считать, что при перемещении автомобиля по плоту центр масс не изменит своего положения в пространстве, т.е. останется на прежнем расстоянии от берега.

Пусть центр масс системы плот-автомобиль находится на вертикали СС, проходящей в начальный и конечный моменты времени через точки С, соответствующие положению общего центра масс. Так как вертикаль СС должна быть неподвижной относительно берега, то искомое перемещение плота Х относительно берега равно перемещению плота относительно вертикали. Данное перемещение легко определить по смещению от первоначального положения центра масс плота С2, т.е. Х = 2 СС2 (если считать плот однородным телом).

Для определения Х воспользуемся законом сохранения импульса. При движении автомобиля он смещается на расстояние, равное L за время t. За это же время плот смещается на расстояние Х. По закону сохранения импульса, т.к. до начала движения импульс системы равнялся нулю, то он равен нулю и в

любой момент времени. Тогда

M υr2 + m υ1 = 0 , или M υ2 = m υ1 ,

Мы получили, что возможное смещение плота значительно превышает расстояние до берега, следовательно, плот пристанет к берегу.

Ответ: плот пристанет к берегу.

Пример 5. Два абсолютно упругих шара одинаковых размеров и масс висят, касаясь друг друга так, что их центры масс расположены на расстоянии l ниже точек подвеса. Один из них отводят в сторону, чтобы его нить отклонилась от вертикали на угол α, и отпускают. Какие скорости получат шары после соударения? На какую высоту поднимутся шары после соударения?

96

нится на угол α от вертикали, и далее такой же процесс пойдёт в обратную рону.

Ответ: h = l(1 − cos α), u1 = 2gl(1− cos α), u2 = 0 .

Пример 6. По горизонтальному столу движется брусок массой 7 кг под действием горизонтальной силы 49 Н. Коэффициент трения о стол равен 0,2. Найти ускорение бруска. Во сколько раз работа силы тяги больше работы силы

трения определяется как Fтр = µ N, имеем Fтр = µ m g, т.е. F – µ m g = m a или a = (F – µ m g) / m .

Оценим величину ускорения: a = 49 Н − 0,2 7 кг 9,81м/ с2 = 5,04 м/ с2 .

7 кг

Определим работу силы тяги по формуле A = F s cos α , где F – сила тяги, s – перемещение тела, cos α – косинус угла между направлением силы тяги и перемещением. Из рисунка видно, что угол α = 0, т.е. cos α =1. По аналогичной формуле определяется и величина работы силы трения A = Fтр s cos α2 , где

Fтр = µ m g, cos α2 = −1, т.к. α2 =180°. Перемещение в данных выражениях одно и то же. Найдем отношение работ, оценивая модуль величины, т.к. работа силы

97

Пример 7. Тело массы m = 2 кг соскальзывает с наклонной плоскости на неподвижную платформу. Какую скорость будет иметь платформа, когда груз упадёт на неё? Масса платформы М = 20 кг, высота начального положения тела h = 50 см, угол наклона плоскости к горизонту α = 45°, коэффициент трения между наклонной плоскостью и телом µ = 0,1. Платформа движется без трения.

Систему отсчета связываем с наклонной плоскостью, координатные оси проводим так, как показано на рисунке: одну – по направлению движения, другую – перпендикулярно первой. На вагонетку действуют силы: тяжести mg , ре-

r

акции опоры N , сила трения Fтр . Ускорение направлено в сторону движения

бруска. Запишем основное уравнение динамики (второй закон Ньютона) в векторном виде: m gr + Fтр + N = m ar .

Перепишем его в проекциях на оси координат:

на ось ОХ: m g sin α − Fтр = m a ;

на ось ОУ: N − m g cos α = 0 или N = m g cos α.

Тогда с учетом того, что Fтр = µ Ν, имеем: Fтр = µ m g cos α.

По закону сохранения и превращения энергии изменение полной механической энергии тела равно работе внешних сил, в данном случае силы трения: EМЕХ2 − EМЕХ1 = Атр , где EМЕХ1 = m g h , т.к. первоначально тело поднято на высоту, равную высоте наклонной плоскости, и находится в покое;

EMEX 2 = m2υ2 , т.к. в конце наклонной плоскости тело выходит на нулевой уро-

вень (h = 0) и приобретает скорость, направленную параллельно наклонной плоскости; Aтр = −Fтр s , работа силы трения отрицательна, т.к. сила направлена в сторону, противоположную направлению перемещения.

Тогда m 2υ2 m g h = Fтр s и с учетом s = sinhα и Fтр = µ m g cos α, т.е.

Aтр = µ m g h cos α/ sin α = µ m g h ctgα

98

имеем для конечной скорости тела: υ = 2 g h (1−µ), где ctgα =1.

По закону сохранения импульса тела в проекции на горизонтальное на-

правление имеем: m υ cos α = (m + M) u , или u = (m( υ cos)α), m + M

u = (m cos α 2 g h (1−µ))(m + M).

Произведем вычисления с учетом sin α = cos α = 2 / 2 .

u = (2 кг 2 / 2 2 10 м/ с2 0,5м (1−0,1))(2 кг + 20 кг)= 0,193м/ с2 .

Ответ: u =19,3см/ с2 .

Задачи для самостоятельного решения

1.Снаряд массы 30 кг, летящий со скоростью 120 м/с под углом 30° к вертикали, попадает в платформу с песком и застревает в нем. Найти скорость платформы после попадания снаряда, если ее масса 16 т.

2.Санки съезжают с горы высотой 10 м и углом наклона 60° и движутся дальше по горизонтальному участку. Коэффициент трения на всем пути одинаков и равен 0,02. Найти расстояние, которое пройдут санки до полной остановки.

3.Четыре одинаковых тела массы 20 г каждое расположены на одной прямой на некотором расстоянии друг от друга. С крайним телом соударяется такое же тело, имеющее скорость 10 м/с и движущееся вдоль прямой, на которой расположены тела. Найти кинетическую энергию системы после соударений, считая соударения тел абсолютно неупругими.

4.Мяч падает с высоты 7,5 м на гладкий пол. Какую скорость нужно сообщить мячу, чтобы после двух ударов о пол он поднялся до первоначальной высоты, если при каждом ударе теряется 40% энергии?

5.Снаряд при вертикальном выстреле достиг высшей точки полета 3000 м и разорвался на два осколка с массами 3 кг и 2 кг. Осколки продолжают лететь по вертикали – первый вниз, второй вверх. Найти скорости осколков через 2 с после взрыва, если их полная энергия в момент взрыва 247 кДж.

6.Конькобежец массой 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой 3 кг со скоростью 8 м/с относительно Земли. Какую работу совершил при этом конькобежец и на какое расстояние он откатится, если коэффициент трения коньков о лед равен 0,02?

99

7.Клин массы М находится на идеально гладкой горизонтальной плоскости. На клине лежит брусок массы m, который под действием силы тяжести может скользить по клину без трения. Наклонная плоскость клина имеет плавный переход к горизонтальной плоскости. В начальный момент система покоилась. Найти скорость клина в тот момент, когда брусок с высоты h соскользнет на горизонтальную плоскость.

8.При выводе спутника на круговую орбиту, проходящую вблизи поверхности земли, была совершена работа 3,2 1010 Дж. Найти массу спутника. Радиус Земли равен 6400 км.

9.Какую минимальную скорость должен иметь самолет, делающий петлю Нестерова, в верхней точке траектории, радиус кривизны которой R = 400 м, чтобы летчик не повис на ремнях, которыми он пристегнут к креслу? Ускорение силы тяжести 9,8 м/с2.

10.Два груза массами 10 кг и 15 кг подвешены на нитях длиной 2 м так, что соприкасаются между собой. Меньший груз отклонили на 60° и отпустили. На какую высоту поднимутся оба груза после удара? Удар грузов считать неупругим. Какое количество теплоты при этом выделится?

11.Тело без трения соскальзывает с внешней поверхности неподвижной сферы радиусом 0,2 м. На какой высоте оно оторвется от поверхности сферы?

12.Математический маятник отклонили от вертикали на угол 90° и отпустили с нулевой начальной скоростью. Найти натяжение нити в момент времени, когда вектор полного ускорения горизонтален.

13.Автомобиль имеет вес P = 18 103 H и мощность мотора N = 36 кВт. Коэффициент трения µ = 0,1. С какой максимальной скоростью может двигаться автомобиль по горизонтальной дороге и в гору с уклоном в 1 м на каждые 20 м пути?

14.При помощи подвижного блока груз, на который действует сила тяжести 400 Н, равномерно поднят на 2 м. Конец веревки, к которому приложена сила 250 Н, переместился при этом на 4 м. Определите КПД подвижного блока.

15.Определите КПД наклонной плоскости при подъеме тела, если учащийся с помощью динамометра и измерительной ленты получил следующие данные: сила тяжести, действующая на брусок, – 1,4 Н, высота наклонной плоскости – 0,2 м, длина наклонной плоскости – 0,56 м, сила, при которой брусок равномерно перемещается вдоль наклонной плоскости, – 1 Н.