- •СОДЕРЖАНИЕ
- •Введение
- •Спецификация теста
- •Тематические тестовые задания
- •Задания по всему курсу на владение основными понятиями, терминами и положениями
- •Функции двух переменных
- •Функция многих переменных, область определения и область изменения
- •Частные производные 1-го и 2-го порядка
- •Полный дифференциал и его приложения
- •Экстремумы функций двух переменных
- •Неопределенный интеграл
- •Определение и свойства. Таблица основных неопределенных интегралов
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование некоторых видов иррациональностей
- •Интегрирование некоторых видов тригонометрических функций
- •Определенный интеграл
- •Определение и свойства. Формула Ньютона – Лейбница. Метод подстановки и интегрирование по частям
- •Приложения определенного интеграла (площади, длины линий, объемы тел вращения, экономические приложения)
- •Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от разрывных функций
- •Дифференциальные уравнения
- •Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Числовые и степенные ряды
- •Признаки сходимости знакоположительных рядов
- •Знакопеременные ряды
- •Примерные варианты тестов для самостоятельного решения
|
m = |
|
|
1 |
|
∫b K(x)dx , найти |
m в случае |
|
|
|
b |
−a |
|
|
|||||
|
|
|
a |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
a = 0, b = 3, K (x) = −x2 +8x +9 |
|
||
|
Зная, что среднее значение |
m издержек |
K (x) при изменении |
||||||
|
объема производства х от |
а до b вычисляется по формуле |
|||||||
6. |
m = |
|
|
1 |
|
b K (x)dx , |
найти |
m |
в случае |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
b −a ∫a |
|
|
|
|||
|
a = 0, b = 9, K (x) = −x2 +8x +9 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема «Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от разрывных функций»
Пусть функция f (x)непрерывна на [a,+∞), тогда
+∞∫ |
f (x)dx = blim→+∞ ∫b |
f (x)dx |
a |
a |
|
Если существует конечный предел в правой части формулы, то говорят, что несобственный интеграл сходится, если же предел равен бесконечности или вообще не существует, то интеграл расходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечной нижней границей
∫b |
f (x)dx = alim→−∞ ∫b |
f (x)dx . |
|
||
−∞ |
|
a |
|
|
|
Несобственный интеграл с двумя бесконечными границами |
|||||
определяется равенством |
|
|
|
|
|
+∞∫ f (x)dx = alim→−∞ ∫c |
f (x)dx + blim→+∞ ∫b |
f (x)dx |
|||
−∞ |
a |
|
c |
|
|
где с – любая фиксированная точка оси ОХ, при этом |
∞∫ f (x)dx сходится |
||||
|
|
|
|
|
−∞ |
только в том случае, если сходятся оба интеграла правой части. |
|||||
Если функция f (x) непрерывна для |
x [a;b) и в точке x =b имеет |
||||
бесконечный разрыв, то по определению полагают |
|
|
|||
∫b |
f (x)dx = limε→0 b∫−ε |
f (x)dx. |
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
Если существует конечный предел в правой части формулы, то несобственный интеграл называется сходящимся; если этот предел равен бесконечности или не существует, то интеграл называется расходящимся.
Если функция f (x) непрерывна для x [a;b) и в точке x = a имеет бесконечный разрыв, то
40
∫b |
f (x)dx = limε→0 |
∫b |
f (x)dx. |
a |
|
a+ε |
|
Если предел в правой части формулы существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример. |
Вычислить интеграл |
∫2 |
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
xln3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
dx |
|
|
|
|
|
b |
d ln x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
b |
|
||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
= blim→+∞ |
∫ |
|
|
|
3 |
|
|
=blim→+∞ |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||
|
|
xln |
3 |
x |
|
ln |
x |
2ln |
2 |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||
Решение. |
e |
2 |
|
|
|
|
|
e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
e |
|
|||||||||||||
= lim |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
− |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2ln |
2 |
b |
|
|
2ln |
2 |
e |
2 |
2 |
4 |
8 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
b→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл сходится и выражает площадь криволинейной трапеции,
ограниченной прямыми |
x = e2 , |
y = 0 |
|
|
и графиком функции |
y = |
1 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
xln3 x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Пример. Вычислить интеграл +∞∫cos2 xdx. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
+∞ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
b |
1+cos2xdx |
|
|
|
|
1 b |
|
|
|
1 |
b |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∫cos |
|
xdx = blim→+∞ ∫ |
|
|
|
|
2 |
|
= blim→+∞ |
|
|
∫ dx + |
|
|
|
|
∫ cos2xd 2x = |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
= lim |
1 x |
|
b |
+ 1 sin 2x |
|
b |
|
= lim |
1 b + |
1 sin 2b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
b→+∞ |
2 |
|
|
|
0 |
4 |
|
|
|
0 |
|
b→+∞ 2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Так как |
lim sin 2b не существует, то несобственный интеграл расходится. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Пример. Вычислить интеграл −∞∫ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1+ 4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
|
dx |
|
= lim 0 |
|
|
|
dx |
|
= lim |
1 |
0 |
|
|
|
d 2x |
= |
1 lim arctg2x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
−∞∫ |
1+ 4x2 |
|
|
|
a→−∞ ∫a |
1+(2x)2 |
a→−∞ |
2 |
∫a |
1+(2x)2 |
|
|
|
2 a→−∞ |
|
|
a |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
= |
1 lim (arctg 0 − arctg a) = |
1 |
π = |
π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 a→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Следовательно, несобственный интеграл сходится. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Пример. Вычислить интеграл −∫2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(x + 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. |
|
Подынтегральная |
функция |
|
f (x) = |
|
1 |
|
является |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x |
+ 2)2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неограниченной при x = −2, в которой знаменатель дроби обращается в нуль, следовательно, в этой точке функция терпит бесконечный разрыв. Согласно определению имеем
41
0 |
dx |
|
|
0 |
dx |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫ |
|
|
= αlim→0 |
∫ |
|
|
= αlim→0 |
− |
|
|
|
|
= αlim→0 |
− |
|
+ |
|
|
=∞. |
(x + 2) |
2 |
(x + 2) |
2 |
x + 2 |
2 |
α |
|||||||||||||
−2 |
|
|
−2+α |
|
|
|
|
−2+α |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Несобственный интеграл расходится. |
|
|
|
|
|
|
||
Пример. Вычислить интеграл |
∫e |
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||
|
1 |
x |
ln x |
1 |
|
|||
Решение. Подынтегральная |
функция f (x) = |
|
в точке x =1 |
|||||
x 3 |
ln x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
терпит бесконечный разрыв, так как знаменатель дроби обращается в нуль
при |
|
|
x =1. По определению имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
e |
|
|
dx |
|
|
= lim |
|
|
e |
|
|
dx |
|
= lim |
e |
|
|
d ln x |
= lim 3 3 ln2 x |
|
e = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
3 |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
α→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α→0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
α→0 |
2 |
|
|
|
|
1+α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
x |
|
|
ln x |
|
|
|
|
1+α x |
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
1+α |
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
ln |
2 |
e |
|
− |
3 |
|
3 ln |
2 |
(1+α) |
|
= |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл сходится. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
= lim |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
α→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Пример. |
Вычислить интеграл ∫ |
|
ctg x dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
f (x)= ctg x в точке х = 0 терпит |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Решение. Подынтегральная функция |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
бесконечный разрыв. По определению имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫ |
ctgxdx = lim ∫ |
|
ctgxdx = lim |
∫ |
|
cos x dx |
= lim |
∫ |
|
d sin x = lim ln |
|
sin x |
|
|
4 |
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
→0 |
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
→0 |
ε |
|
|
sin x |
|
|
|
|
ε |
→0 |
ε |
|
sin x |
|
|
ε →0 |
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
π |
|
|
−ln |
|
sinε |
|
|
=∞. |
|
|
Интеграл расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= lim ln |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ε |
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Пример. Вычислить интеграл ∫0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Решение. |
|
Подынтегральная функция |
|
f (x)= |
|
|
dx |
|
в точке |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −1)2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
х = 1 терпит бесконечный разрыв. По определению имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
dx |
|
|
1 |
|
dx |
|
|
3 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫0 |
= ∫0 |
+ ∫0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −1)2 |
(x −1)2 |
(x −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Вычислим несобственный интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
1−ε |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 − ε |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= limε →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= limε →0 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −limε →0 |
|
|
|
|
+1 |
=∞. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
( |
|
x |
|
|
|
2 |
|
( |
x −1 |
|
|
2 |
|
x −1 |
|
ε |
|
|
1−ε −1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если один из интегралов равен бесконечности, то несобственный интеграл расходится.
42
Задачи для самостоятельного решения
№ |
|
|
|
|
|
|
Задания |
|
|
|
Варианты ответов |
|
п/п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сколько интегралов в следующей группе |
|
|
|||||||||
|
являются несобственными? |
|
|
|
|
|
||||||
|
а) +∞∫ xdx ; б) |
∫2 ln xdx ; |
|
|
|
|
|
|||||
1. |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
в) |
∫2 ln x xdx; |
г) |
−∫1 dx2 ; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
−∞ x |
|
|
|
|
|
|
д) |
∫2 |
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Вычислить |
+∞∫ |
2dx2 . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
Вычислить несобственный интеграл или |
1) |
1; |
|||||||||
|
2) |
е; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
ln x |
|
||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
3) |
расходится; |
||
установить его расходимость ∫ |
x |
4) е – 1; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
e2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
расходится; |
|
Вычислить несобственный интеграл или |
2) |
е; |
|||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
3) |
1; |
установить его расходимость |
∫ |
|
4) |
–1; |
||||||||
|
dx |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
5) |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43