m =

1

∫b K(x)dx , найти

m в случае

b

−a

a

a = 0, b = 3, K (x) = −x2 +8x +9

Зная, что среднее значение

m издержек

K (x) при изменении

объема производства х от

а до b вычисляется по формуле

6.

m =

1

b K (x)dx ,

найти

m

в случае

b −a ∫a

a = 0, b = 9, K (x) = −x2 +8x +9

+∞∫

f (x)dx = blim→+∞ ∫b

f (x)dx

a

a

∫b

f (x)dx = alim→−∞ ∫b

f (x)dx .

−∞

a

Несобственный интеграл с двумя бесконечными границами

определяется равенством

+∞∫ f (x)dx = alim→−∞ ∫c

f (x)dx + blim→+∞ ∫b

f (x)dx

−∞

a

c

где с – любая фиксированная точка оси ОХ, при этом

∞∫ f (x)dx сходится

−∞

только в том случае, если сходятся оба интеграла правой части.

Если функция f (x) непрерывна для

x [a;b) и в точке x =b имеет

бесконечный разрыв, то по определению полагают

∫b

f (x)dx = limε→0 b∫−ε

f (x)dx.

a

a

∫b

f (x)dx = limε→0

∫b

f (x)dx.

a

a+ε

+∞

Пример.

Вычислить интеграл

∫2

dx

.

xln3 x

e

+∞

dx

b

d ln x

1

b

∫

= blim→+∞

∫

3

=blim→+∞

−

=

xln

3

x

ln

x

2ln

2

2

Решение.

e

2

e

2

x

e

= lim

1

1

1

1

.

−

+

=

=

2ln

2

b

2ln

2

e

2

2

4

8

b→+∞

ограниченной прямыми

x = e2 ,

y = 0

и графиком функции

y =

1

.

xln3 x

Пример. Вычислить интеграл +∞∫cos2 xdx.

Решение.

0

+∞

2

b

1+cos2xdx

1 b

1

b

∫cos

xdx = blim→+∞ ∫

2

= blim→+∞

∫ dx +

∫ cos2xd 2x =

2

2

2

0

0

0

0

= lim

1 x

b

+ 1 sin 2x

b

= lim

1 b +

1 sin 2b .

b→+∞

2

0

4

0

b→+∞ 2

4

Так как

lim sin 2b не существует, то несобственный интеграл расходится.

b→+∞

0

dx

Пример. Вычислить интеграл −∞∫

.

1+ 4x2

Решение.

0

dx

= lim 0

dx

= lim

1

0

d 2x

=

1 lim arctg2x

0 =

−∞∫

1+ 4x2

a→−∞ ∫a

1+(2x)2

a→−∞

2

∫a

1+(2x)2

2 a→−∞

a

=

1 lim (arctg 0 − arctg a) =

1

π =

π .

2 a→−∞

2

2

4

Следовательно, несобственный интеграл сходится.

0

dx

Пример. Вычислить интеграл −∫2

.

(x + 2)2

Решение.

Подынтегральная

функция

f (x) =

1

является

(x

+ 2)2

0

dx

0

dx

1

0

1

1

∫

= αlim→0

∫

= αlim→0

−

= αlim→0

−

+

=∞.

(x + 2)

2

(x + 2)

2

x + 2

2

α

−2

−2+α

−2+α

Несобственный интеграл расходится.

Пример. Вычислить интеграл

∫e

dx

.

3

1

x

ln x

1

Решение. Подынтегральная

функция f (x) =

в точке x =1

x 3

ln x

при

x =1. По определению имеем

e

dx

= lim

e

dx

= lim

e

d ln x

= lim 3 3 ln2 x

e =

∫

3

∫

3

∫

α→0

α→0

3

α→0

2

1+α

1

x

ln x

1+α x

ln x

1+α

ln x

3

3

ln

2

e

−

3

3 ln

2

(1+α)

=

3

.

Интеграл сходится.

= lim

2

2

2

α→0

π 4

Пример.

Вычислить интеграл ∫

ctg x dx.

0

f (x)= ctg x в точке х = 0 терпит

Решение. Подынтегральная функция

бесконечный разрыв. По определению имеем

π

π

π

π

π

4

4

4

4

∫

ctgxdx = lim ∫

ctgxdx = lim

∫

cos x dx

= lim

∫

d sin x = lim ln

sin x

4

=

0

ε

→0

ε

ε

→0

ε

sin x

ε

→0

ε

sin x

ε →0

ε

sin

π

−ln

sinε

=∞.

Интеграл расходится.

= lim ln

4

ε

→0

3

dx

Пример. Вычислить интеграл ∫0

.

(x −1)2

Решение.

Подынтегральная функция

f (x)=

dx

в точке

(x −1)2

х = 1 терпит бесконечный разрыв. По определению имеем:

3

dx

1

dx

3

dx

∫0

= ∫0

+ ∫0

.

(x −1)2

(x −1)2

(x −1)2

Вычислим несобственный интеграл

1

dx

1−ε

dx

1

1 − ε

1

∫

∫

= limε →0

= limε →0

−

= −limε →0

+1

=∞.

(

x

2

(

x −1

2

x −1

ε

1−ε −1

0

−1

ε

)

)

№

Задания

Варианты ответов

п/п

Сколько интегралов в следующей группе

являются несобственными?

а) +∞∫ xdx ; б)

∫2 ln xdx ;

1.

1

1

в)

∫2 ln x xdx;

г)

−∫1 dx2 ;

0

−∞ x

д)

∫2

dx

.

1

x +1

2.

Вычислить

+∞∫

2dx2 .

2

x

Вычислить несобственный интеграл или

1)

1;

2)

е;

+∞

ln x

3.

dx

3)

расходится;

установить его расходимость ∫

x

4) е – 1;

e

5)

e2 .

1)

расходится;

Вычислить несобственный интеграл или

2)

е;

4

1

x

3)

1;

установить его расходимость

∫

4)

–1;

dx

0

5)

0.