Задачи для самостоятельного решения
№ |
|
Задание |
|
Варианты ответов |
||
п/п |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
Вычислить полный дифференциал функции |
1. |
-0.1 |
|||
1. |
z = arctg( y / x) в точке x = 2, |
y = 2 при |
2. |
0.1 |
||
|
x = 0.1, |
y = 0.1 |
|
3. |
0 |
|
|
|
4. |
0.2 |
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1. |
1.01 |
|
2. |
Найти приближенное значение |
1.01 0.99 |
2. |
0.99 |
||
3. |
1 |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
4. |
1.02 |
|
Тема «Экстремумы функций двух переменных»
Если для функции z = f(x, y) в некоторой окрестности точки М0(х0, у0), принадлежащей области определения, верно неравенство f (x0 , y0 ) > f (x, y) ,
то точка М0 называется точкой локального максимума.
Если для функции z = f(x, y) в некоторой окрестности точки М0(х0, у0), принадлежащей области определения, верно неравенство
f (x0 , y0 ) < f (x, y) то точка М0 называется точкой локального минимума.
Функция многих переменных может иметь максимум или минимум (экстремум) только в точках, лежащих внутри области определения функции, в которой все ее частные производные первого порядка равны нулю или не существует хотя бы одна из них. Такие точки называются критическими.
Названные условия являются необходимыми условиями экстремума, но не достаточными (т.е. эти условия могут выполняться и в точках, где нет экстремума). Чтобы проверить является ли критическая точка точкой экстремума, используют достаточные условия экстремума.
Сформулируем достаточные условия экcтремума для функции двух переменных. Пусть точка Mo(xo, yo) - критическая точка функции z = f(x, y), в которой fx′(x0 ,y0 ) = 0, fy′(x0 ,y0 ) = 0 , и кроме того функция z = f(x, y)
имеет непрерывные вторые частные производные в некоторой окрестности
точки |
Mo(xo, |
yo). |
Обозначим |
z′′x x (x0 , y0 ) = A, z′′x y (x0 , y0 ) = B, |
z′′y y (x0 , y0 ) = C, |
= AC- B2 . Тогда: |
|
||
1)если > 0, то функция z имеет экстремум в точке Mo: максимум при A
<0, минимум при A > 0;
2)если < 0, то экстремума в точке Mo нет;
3)если = 0, то требуется дополнительное исследование.
Пример. Исследовать функцию z = y4 - 2xy2 + x2 + 2y + y2 на экстремум. Решение. Находим частные производные: z′x = - 2y2 + 2x, z′y = 4y3 - 4xy
+2 +2y. Для отыскания критических точек решим систему уравнений:
23