∫cos2x sin5xdx = 12 ∫(sin 7x +sin3x)dx =
= 217 ∫sin 7x d(7x) + 213 ∫sin3x d(3x) = −14 cos7x − 16 cos3x +C.
Раздел 3. Определенный интеграл
Тема «Определение и свойства. Формула Ньютона – Лейбница. Метод подстановки и интегрирование по частям»
Определённый интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница, которая гласит: определённый интеграл равен приращению первообразной на отрезке интегрирования.
b
∫ f (x)dx = F(x) ba = F(b) − F(a)
a
Из формулы следует, что необходимо знать первообразную, поэтому методы интегрирования определённого интеграла практически не отличаются от методов интегрирования неопределённого. Исключение составляет метод подстановки. Различие состоит в том, что, выполняя подстановку в определённом интеграле и найдя первообразную, к прежней переменной не возвращаются, вместо этого ищут новые пределы интегрирования, подставляя в формулу, связывающую новую и старую переменные прежние пределы интегрирования.
ОБРАЗЕЦ 19.
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
8 |
dx |
|
|
|
|
|
Вычислить |
∫0 |
|
|
|
||
|
π |
1+ x2 |
|||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл |
|
|
табличный, первообразная – arctgx. |
||||
Следовательно, её приращение на отрезке [0, 1] arctg 1 – arctg 0 = π/4 – 0 = π/4. С учётом множителя, ответом является 2.
ОБРАЗЕЦ 20.
8 |
x dx |
32 |
|
Вычислить J = ∫ |
. В ответе записать 3 J |
||
1+ x |
|||
3 |
|
Решение. Надо вычислить определённый интеграл. Соответствующий ему неопределённый интеграл не является табличным. Так как в подынтегральном выражении содержится корень квадратный, то сделаем
замену переменной по формуле 1+ x = t . Тогда 1+х = t2 х= t2 – 1, dх=
35
d(t2 – 1), т.е. dх=2 t dt. |
Подынтегральное выражение |
|
x dx |
превратится в |
||
|
1+ x |
|||||
выражение |
(t2 |
−1) 2t dt |
,т.е. в выражение 2 (t2 – 1) dt, |
для которого найти |
||
|
t |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
первообразную не составит труда. Так как интеграл определённый, то следует перейти к новым пределам интегрирования. Для этого в формулу
1+ x = t , по которой меняем переменную, |
подставим х=3 t=2 и |
х=8 |
|
|||||||||||
t=3. Решение сведётся к вычислению определённого интеграла |
|
|
||||||||||||
3 |
3 |
|
3 |
3 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|||||||||||
I = ∫2(t2 −1) dt = 2∫(t2 −1) dt = 2(∫t2 dt −∫dt) |
= 2 t |
|
−t |
|
|
=2·(9 |
– 3 |
– |
||||||
2 |
2 |
|
2 |
2 |
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|||||||||||
8/3+2)=32/3. Следовательно, 3 I=32. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ОБРАЗЕЦ 21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить ∫x sin |
x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Данный пример на вычисление определённого интеграла по частям. Формула получается из соответствующей формулы для неопределённого интеграла и формулы Ньютона-Лейбница.
b b
∫u dv = uv ba −∫v du
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
u = x du = dx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
dv |
=sin |
x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
π |
x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
|
π |
π |
x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∫x sin |
dx = |
∫ |
|
|
∫ |
|
|
|
x |
|
= −2x cos |
|
|
|
+ 2∫cos |
dx = |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
dv |
|
|
|
|
|
dx |
2 |
|
|
|
2 |
|
||||
0 |
|
= |
sin |
2 |
|
0 |
0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
v= −2cos 2x
=−2(π cos(π / 2) −0 cos0) + 4sin(x / 2) π0 =4 (sin(π/2) –sin 0) = 4.
Замечание. При нахождении интегралов от sin(х/2) и cοs(х/2) использовали метод подведения под знак интеграла.
Задачи для самостоятельного решения
№ |
|
|
|
|
|
Условие |
Ответ |
1 |
Вычислить |
27∫ |
dx |
. |
|
||
3 2 |
|
||||||
|
|
8 |
x |
|
|||
2 |
Вычислить |
2∫π sin |
x |
dx . |
|
||
|
|
||||||
|
|
−π |
2 |
|
|
||
3 |
При помощи формулы интегрирования по частям |
|
|||||
36
вычислить определенный интеграл π∫x sin x dx
0 2
4При помощи формулы интегрирования по частям вычислить определенный ∫3 x e1/ 3xdx
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Вычислить |
интеграл |
с |
помощью |
замены |
переменной |
1) е ; |
|
|
5 |
π |
|
|
|
|
|
2) |
е –1; |
|
2 |
|
|
|
|
|
3) |
е + 1; |
||
|
∫esin 2x cos x dx . |
|
|
|
|
4) 1; |
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
5) |
е + 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
19 |
; |
|
Вычислить |
интеграл |
с |
помощью |
замены |
переменной |
|
15 |
|
|
3) |
38 |
; |
||||||
6 |
1 |
|
|
|
|
|
|||
∫x 5x2 + 4 dx . |
|
|
|
|
|
15 |
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
4) |
19 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
Тема «Приложения определенного интеграла (площади, длины линий, объемы тел вращения, экономические приложения)»
ОБРАЗЕЦ 22.
Рассмотрев рисунок, вычислите площадь S заштрихованной фигуры.
2
Решение. Из геометрического смысла определённого интеграла (площадь криволинейной трапеции), глядя на рисунок, следует, искомая площадь равна:
S = π∫sin x dx = −cos π0 = −(cosπ −cos0) = 2
0
ОБРАЗЕЦ 23.
Рассмотрев рисунок, вычислите площадь S заштрихованной
фигуры.
2
37
В ответ запишите 2S.
Решение. В данном случае верхний предел интегрирования, как это видно из рисунка, равен +∞. Интегралы, у которых хотя бы один из пределов интегрирования равен бесконечности, относятся к несобственным. Для их вычисления вместо ∞ вводится переменная, обычно обозначаемая буквой, соответствующей пределам интегрирования в определённом интеграле, т.е. интеграл как бы сводится к определённому, и рассматривается предел, когда введенная новая переменная стремится к ∞.
|
+∞ |
b |
|
b |
|
|
b |
|
|
b |
|
S = |
|
e−x dx = lim |
e−x dx = lim (− |
|
e−x d (−x)) = −lim |
|
e−x d(−x) = − lim e−x |
|
= |
||
|
∫ |
b→+∞ ∫ |
b→+∞ |
∫ |
|
b→+∞ |
∫ |
b→+∞ |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
= −lim(e−b −e0 ) = − lim (e−b −1) = − lim e−b + lim 1 =1. Удвоенная площадь |
|||||||||||
b →+∞ |
b →+∞ |
|
b →+∞ |
b→+∞ |
|
|
|
|
|
||
равна 2.
ОБРАЗЕЦ 24.
Рассмотрев рисунок, вычислите объём V тела, полученного
вращением заштрихованной фигуры вокруг оси Ох .
3
10V
В ответ запишите π .
Решение. Если криволинейную трапецию (фигура, заключённая между кривой у=f(х), осью Ох и прямыми х=a и х =b) вращать вокруг оси Ох, то
объём получаемого при этом тела вращения равен: V =π∫b f 2 (x) dx . Так как
a
в примере заштрихованная фигура получается, если от криволинейной трапеции, образуемой верхней линией вычесть криволинейную трапецию, образуемую нижней линией, то искомый объём будет равен разности двух объёмов:
V =V 2 - V1, |
V1 =π∫1 |
x dx =π |
x2 |
|
|
1 |
= 0,5π , |
V2 =π∫1 |
x4 dx =π |
x5 |
|
|
1 |
= |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
10V |
2 |
|
|
0 |
|
0 |
5 |
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||||||
= 0,2π V=0,3π. Поэтому |
=3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38
Пример. Определить объем продукции, произведенной рабочим за
третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией f(t) = 3/(3t +1) + 4.
Решение. Если непрерывная функция f(t) характеризует производительность труда рабочего в зависимости от времени t, то объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от t1 до t2 будет
выражаться формулой V = t∫2 f(t)dt .
t1
В нашем случае
3 |
3 |
+ 4)dt = (ln(3t +1) + 4t) |3 |
|
||
V = ( |
= ln 10 + 12 - ln 7 - 8 = ln 10/7 + 4. |
||||
|
|||||
∫2 |
3t +1 |
2 |
|
||
|
|
||||
Пример. Определить запас товаров в магазине, образуемый за три дня, если поступление товаров характеризуется функцией f(t) = 2t + 5.
|
3 |
2t |
2 |
|
3 |
|
|
||||
Решение. Имеем: V = ∫(2t +5)dt = ( |
+5t) |
|
0 =9 +15 = 24 . |
||
|
0 |
2 |
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
№ |
Задание |
|
|
||
п/п |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями |
||||
|
y = 3 x + 2, y = 0, x = 0, x = 4 |
||||
Рассмотрев рисунок, вычислите площадь заштрихованной фигуры.
2
|
Найти объем V тела вращения, образованного при вращении |
|||||
3. |
вокруг оси |
Ох фигуры, ограниченной линиями |
V . |
|||
|
f (x) = 4 |
, |
x = 2, x =8, |
y = 0. |
В ответ записать |
|
|
x |
|
|
|
|
π |
|
Зная, что объем V продукции, произведенной рабочим с |
|||||
|
производительностью p(t) с момента времени t1 |
до момента |
||||
4. |
|
|
|
|
t2 |
|
времени |
t2 , |
вычисляется по формуле V = ∫p(t)dt , найти V в |
||||
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
случае |
p(t) = 2 +3 t , |
t1 =1, |
t2 = 4. |
|
|
5.Зная, что среднее значение m издержек K (x) при изменении объема производства х от а до b вычисляется по формуле
39