Тема «Знакопеременные ряды»

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая_математика__2_семестр_ (1).pdf

Скачиваний:

126

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

1.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

а) ∑ 6

2 ; б) ∑ 1

;

5) все

∞

n=1

9 + n

n=1

4 + n2

в) ∑

; г) ∑

∞

n=1

n −6a +13

n=1

n +1

сходимости.

абсолютно сходящимся, если

Знакопеременный

ряд называется

сходится ряд ∑

составленный из

абсолютных величин членов

Если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные действительные числа, то ряд называется знакопеременным. Частный случай знакопеременного ряда – знакочередующийся ряд а1 – а2+ а3 +… + (– 1)n–1 аn +… , где все аi положительные числа. Любые два его соседних члена имеют различные знаки.

Знакопеременные ряды исследуются на абсолютную и условную

знакопеременного ряда. Если же ряд, составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряда расходится, а сам знакопеременный ряд сходится, то такой знакопеременный ряд называется условно сходящимся.

Сходимость знакочередующегося ряда исследуется при помощи

признака Лейбница: если члены знакочередующегося ряда убывают			а1 <
а2 < а3 … и lim a	n	=0 , то знакочередующийся ряд сходится и его сумма не
n→+∞
превосходит первого члена ряда, т.е. S≤ а1.
Пример. Исследовать на сходимость ряд – 1+1/2 –1/3+ …+ (– 1)n / n+ …
Решение. Данный ряд знакочередующийся. Исследуем его			на

абсолютную и условную сходимости. Составим ряд, взяв члены ряда по абсолютной величине, получим гармонический ряд 1+ 1/2+ 1/3+ …+ 1/ n + …. . Он расходится, поэтому абсолютной сходимости нет. Возможна

условная сходимость, для этого проверим,

выполняются

ли

условия

признака Лейбница.

Члены ряда убывают

< 1/2 <

1/3

…)

lim

= lim

(−1)n

= 0,

следовательно, сам

знакочередующийся

ряд

n →+∞

сходится.

Ответ: Ряд условно сходящийся.

ОБРАЗЕЦ 30.

Если а1, а2, …аn, … - некоторые действительные

все записи;

числа, то среди записей:

все, кроме первых

а)

а1·а2· …·аn;

двух;

b) а1+а2+…+аn;

только запись d);

с) а1·а2· …·аn· …;	только запись е);
d) а1+а2+…+аn+ …;	другой ответ.
е) –а1 – а2 –…–аn – …;
числовыми рядами являются:

Решение. Все записи быть не могут, так как записи а), b), с) не являются числовыми рядами. Только записи d) и е) удовлетворяют требованию. Среди возможных ответов такого ответа нет. Поэтому в столбце ответов следует выбрать последнюю строчку: «другой ответ».

ОБРАЗЕЦ 31.

			+∞	+∞	1		только а);
Среди числовых рядов: а) ∑(−1)n				; b) ∑(−1)n−1	1	;	только b);
Среди числовых рядов: а) ∑(−1)n				; b) ∑(−1)n−1	n	;	только b);
			n=1	n=1	2		все;
+∞		+∞	сходящимися являются….				все;
с) ∑(−1)n 1 ;		d) ∑2	сходящимися являются….				ни один;
n=1	n	n=1					только b) и с).
	Решение. Глядя на n-ый член каждого ряда и проверяя необходимый
признак сходимости			( lim an = 0 ),	видим, что	для рядов а) и d) он не
			n→+∞

выполняется. Ряд с) сходится условно (см пример выше). Ряд b) – геометрический с |q |=1/2, что меньше 1, поэтому он сходится . Среди предложенных рядов только ряды b) и с) – сходящиеся.

Задачи для самостоятельного решения

Формулировка вопроса

Формула общего члена ряда

− 1

+ 1

−

+... имеет вид…

(−1)n−1

a =

(−1)n

; 2) a =

; 3) a

= (−1)n+1

; 4) a

= −

; 5)

a =

n + 2

Какие из рядов

Все;

∞

−

∞

3, 4, 5;

1) ∑cosπn ; 2) ∑5

3 ; 3) ∑(−1)n−1

;

3, 4;

n=1

+ 4

1, 3, 4, 5;

∞

(

)

(

)

∞ −

−1 n ln

n +1

1, 3, 4.

4) ∑

; 5)

∑

n=1

являются знакочередующимися?

Какой из данных рядов сходится условно?

∑(−12)

6n +5 ; 3)∑(−1)

; 4) ∑(−4 1)

; 2) ∑(−1)n+1

; 5) ∑

(−1)n n!

∞

n=1 n +1

n=1

n +1

n=1

Сколько

слагаемых

необходимо

взять,

чтобы найти

сумму ряда

1 − 2

−

−... с точностью 0,01?

243

729

2187

Тема «Сходимость степенных рядов. Применение рядов в приближенных вычислениях»

+∞

Выражение вида ∑Cn xn = С0 + С1 х+ С2 х2 + … + Сn хn+ … где С1, С2 ,

n=0

… , Сn… – действительные числа (коэффициенты степенного ряда), х – переменная, аn=Сn хn – n-ый (общий) член, называется степенным рядом.

Подставив в степенной ряд конкретное значение переменной, например х= х0, получим числовой ряд. Этот ряд может сходиться, а может и расходиться.

Множество D значений переменной х, при которых ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Неотрицательное число R, такое, что при |х| < R ряд сходится, а при |х| > R – расходится, называется радиусом сходимости степенного ряда.

+∞

Для степенного ряда ∑Cn xn радиус сходимости определяется

n=0

формулой: R = lim (Cn Cn+1) .

n→+∞

Из понятия радиуса сходимости ясно, что если известен радиус R, то ряд сходится на интервале (–R; R), вне этого интервала – расходится. Интервал (–R; R) называется интервалом сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости, т.е. при х = – R и х = R, ряд может как сходиться, так и расходиться. Поэтому для нахождения области сходимости надо исследовать сходимость ряда при х = – R и х = R. Результаты исследования и позволят ответить на поставленный вопрос.

+∞

Пример. Найти область сходимости степенного ряда ∑(−1)n

n=0

Решение. Так как C =

(−1)n ,

то Cn+1 =

(−1)n+1

. Радиус сходимости R будет

2n+1

равен:

(−1)n

(−1)n+1

= 2 .

Следовательно, интервал сходимости (–2;

R = lim

n+1

n→+∞

2). Исследуем сходимость ряда на концах интервала. Подставляя в степенной

ряд значение х= –2,	+∞		n +∞
ряд значение х= –2,	получаем числовой ряд ∑(−1)n (−2)n		=∑1, т. е.
	n=0	2	n=0

1+1+1+1+ . Для полученного ряда необходимое условие не выполняется

( lim an	= lim 1 =1).	То же самое будет, если				подставить в степенной ряд
n→+∞	n→+∞
значение х = 2.		+∞	n 2n		, т.е.	∑ (–1)	n	ряд расходится.
значение х = 2.		Получим ∑(−1)	2	n	, т.е.	∑ (–1)	–	ряд расходится.
		n=0	2

Проведенное исследование показало: найденный интервал сходимости одновременно будет и областью сходимости степенного ряда.

ОБРАЗЕЦ 32.					все;
Если аi – действительные числа, а х – переменная,
то среди выражений:					; ни одно;
a) а12+ а22+ а33+… + аnn+… ;					только с);
b) – х – х – х –…– х –…;					другой ответ.
с) 1+ 1 +	1	+... +	1	+...;
	х2
х			хn
d) –а1 – а2 – а3 – … – аn –…. .
степенными рядами являются ….

Решение. а) и d) – числовые ряды. Оставшихся два ряда, - функциональные, но не степенные, так как составлены из функций, не являющимися целыми положительными степенями переменной х. Поэтому правильный ответ: ни одно из предложенных выражений не является степенным рядом.

ОБРАЗЕЦ 33.

+∞

– степенной ряд, то его радиус сходимости равен…

∞;

Если ∑5

n=1

1) ∞;

2) 5;

3)1;

4) 0,2;

5) 0.

; 0,2;

Решение.

Cn =

, Cn+1 =

5n+1

R = lim

n +1

Cn+1

n →+∞

Задачи для самостоятельного решения

№

Задание

Варианты ответов

∞

Найти длину интервала сходимости ряда ∑

3 ;

2) 3 ;

3) 3;

n=1 3

4) 6;

5) 1.

Радиус

сходимости

степенного

ряда

1) (0; 2); 2) (–2; 2);

∞

3) (–1; 1);

4) (4; 8);

∑an (x −6)n равен 2. Найти интервал сходимости.

5) (2; 6).

n=1

Вычислить

приближенно

значение

выражения

1) 500;

1000π ; 3)

1000 cos 0,5 , ограничиваясь суммой первых двух

1125; 4) 1000;

членов ряда Маклорена для функции cos x .

5) 875.

∞

2, 3, 4;

Какие из рядов 1) ∑cosπn ; 2) ∑

(−1)3

;

Все;

n=1

3. 1, 3, 4;

∞

(x −

∞

(x +5)

n+1

∞

(n +1)

3) ∑

; 4) ∑

;5) ∑

2, 3;

n=1

5. 2, 3, 4, 5.

являются степенными?

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.02.20163.1 Mб102Высшая математика 3 семестр часть 2.doc
#
20.02.2016450.37 Кб73высшая математика 3семестр.pdf
#
20.02.20162.91 Mб193Высшая математика. Практикум, часть 1.pdf
#
20.02.20161.12 Mб60Высшая математика. Ряды. Уч-метод. пособие.pdf
#
20.02.20162.82 Mб243Высшая математика.Практикум.pdf
#
20.02.20161.59 Mб126Высшая_математика__2_семестр_ (1).pdf
#
20.02.201636.86 Кб14высшка 3 семестр примерный перечень вопросов.doc
#
20.02.201619.69 Кб24Выш мат.docx
#
20.02.2016182.58 Кб36Вышка часть 2.docx
#
09.09.2019320.51 Кб8вышка2.doc
#
19.11.2019252.42 Кб7вэд полностью.doc