Раздел 5. Числовые и степенные ряды

Тема «Признаки сходимости знакоположительных рядов»

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая_математика__2_семестр_ (1).pdf

Скачиваний:

126

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

1.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Числовой ряд – это выражение вида

+∞

∑an = а1 + а2 + … + аn+ …

n=1

где а1, а2 , … , а… – члены числового ряда (действительные числа); аn– n- ый (общий) член.

Если существует конечный предел nlim→+∞ Sn = S , где Sn = ∑ak = а1+а2 +

k =1

…+ ак, – n-ая частичная сумма, то ряд называется сходящимся (число S –

сумма ряда), в противном случае – расходящимся.

Если ряд сходится, то lim an = 0 (необходимый признак сходимости).

n→+∞

Из этого признака, как следствие, вытекает: достаточное условие

расходимости числового ряда: если lim an ≠ 0 , то ряд расходится.

n→+∞

Например, если дан ряд,

1/5+ 2/8+3/11+4/14+ …+ n/(3n+2)+ …

то lim	an = lim	n		∞		lim	n	=1/3 ≠ 0 . Следовательно, данный ряд
			=		=

n→+∞	n→+∞ 3n +3			∞		n→+∞ 3n

расходится.

+∞

1 =1+ 1/2+ 1/3+ …+ 1/ n + … называется гармоническим. Можно

Ряд ∑

n=1

показать, что он расходится.

+∞

Ряд ∑

=1+

называют обобщенным

n=1 n

гармоническим. Он расходится при α ≤1 и сходится при α >1.

+∞

Ряд ∑aqn−1 =а + а·q+ а·q2 +… + а·qn +… представляет собой обычную

n=1

геометрическую прогрессию. Если |q | < 1 – ряд сходится, если |q | ≥ 1 –

расходится.

Зная эти три ряда и признаки сравнения, можно легко решать многие тестовые задачи на сходимость знакопостоянных числовых рядов.

Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда

∞	∞
∑an = a1 + a2 +... + an +... и	∑bn =b1 +b2 +... +bn +...
n=1	n=1

с неотрицательными членами: Если для всех n , или начиная с некоторого

∞

номера n = N , выполняется неравенство an ≤ bn , то из сходимости ряда ∑bn

n=1

∞	∞
следует сходимость ряда ∑an	, а из расходимости ряда ∑an следует
n=1	n=1

∞

расходимость ряда ∑bn . Иначе говоря, если «больший» ряд сходится, то и

n=1

«меньший» ряд сходится; если «меньший» ряд расходится, то и «больший» ряд расходится.

Второй признак сравнения. Если существует конечный, отличный от

нуля, предел lim an = L,

L ≠ 0,

L ≠∞,

∞

то ряды ∑an и

∑bn сходятся или

n→∞ b

n=1

расходятся одновременно.

∞

Признак Даламбера. Если для ряда ∑an,

an > 0,

существует предел

lim an+1 =l, то при l <1

n=1

ряд сходится,

при l >1 ряд расходится, при l =1

n→∞ a

вопрос остается открытым ― нужно применять другие признаки.

Признак Даламбера удобно применять в тех случаях,

когда в

записи

общего члена ряда участвуют факториалы (!) и степени.

∞

Признак

Коши.

Если для

ряда

∑an ,

an > 0,

существует

предел

n=1

l = lim n an , то при l <1 ряд сходится, при l >1 ряд расходится,

а при l =1

n→∞

вопрос остается открытым.

∞

Интегральный

признак.

Если

члены

ряда

∑an,

an > 0,

не

n=1

f (x) , которая

возрастают

a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥... ≥ an ≥...

и существует

функция

определена

на

промежутке

1;+∞),

непрерывна,

не

возрастает

∞

an = f (n),

n =1,2,...,

то

для

сходимости

ряда

∑an

необходимо

n=1

достаточно, чтобы несобственный интеграл ∞∫ f (x)dx сходился.

в формуле общего члена an

число n на переменную x ,

(n +1)ln(n +1)

получаем функцию f (x) =

Вычисляем несобственный

(x +1)ln(x +1)

∞

Пример. Исследовать ряд ∑

на сходимость.

1+ 2

n=1

∞

Решение.

Сравним

данный

ряд

геометрическим

рядом

∑

который сходится как геометрический ряд со знаменателем q = 1

n=1

<1. Имеем

для всех

n ,

значит,

на

основании первого

признака

1+ 22n

22n

сравнения ряд сходится.

∞

Пример. Исследовать ряд ∑

на сходимость.

ln(n +1)

n=1

Решение. Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом

∞

∑

Поскольку

гармонический ряд

∑

n +1

ln(n +1)

n +1

n=1

расходится, то на основании первого признака сравнения заключаем, что ряд

∞

∑

расходится.

n +1

n=1

∞

2n −1

Пример. Исследовать на сходимость ряд

∑

−3n +5

n=1 n

∞

, который

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом ∑1

расходится. Имеем

n=1 n

lim

= lim

(2n −1)n

= lim

2n2 −n

= lim

(2 − n)

= lim

− n

3 5

n→∞ bn

n→∞

(n2 −3n +5)

n→∞ n2 −3n +5

n→∞

− n

+ n2 )

− n + n2

Поскольку

2 ≠ 0, то на основании второго признака сравнения заключаем,

что исследуемый ряд расходится.

∞

Пример. Исследовать на сходимость ряд

∑

n=1

Решение. Так как

a =

, a

(n +1)!

то l = lim

(n +1)!5n

5n+1

n+1

n→∞

lim

n!(n +1) 5n

= lim

n +1

= ∞. Так как

∞ >1,

то исследуемый ряд

5 n!

n→∞

расходится.

∞

(n +1)n2 .

Пример.

Исследовать на сходимость ряд ∑

n=1

Решение. Применим признак Коши, для чего найдем

lim n

(n +1)n2

= lim

(n +1)n

1 lim(1+

1)n

= e .

n→∞

3 n→∞

Так как

e ≈ 2,72

<1, то на основании признака Коши заключаем, что

исследуемый ряд сходится.

∞

Пример. Исследовать сходимость ряда ∑

(n +1)ln(n +1)

n=1

Решение. Применим интегральный признак Коши-Маклорена. Заменяя

интеграл

∞	f (x)dx = ∞	1	dx = lim B d (ln(x +1))		=	lim ln(ln(x +1))
1		(x +1)ln(x +1)
	1		1	ln(x +1)		B→+∞
∫	∫		B→+∞ ∫

= lim (ln(ln B) −ln(ln 2)) =∞.

B→+∞

Интеграл расходится, и следовательно, исходный числовой расходится.

1B =

ряд также

Задачи для самостоятельного решения

№

Задание

Варианты ответов

Если

n-й

член

числового

ряда

2; 2) 3;

3) –31 ;

= (−1)n−1(3n + 2) , то сумма a

+ a

равна

32;

5) другой ответ.

Найти

(n +1) -й член

an+1 ряда,

n-й член

3n +3

;

3n + 4

;

2n +1

которого a

3n + 2

3n +5

;

3n +6

;

2n −1

2n +1

2n + 2

другой ответ.

∞

все утверждения верны;

Пусть

∑an и

∑bn −ряды

все утверждения

n=1

неверны;

положительными членами. Известно, что

∞

lim an =l . Укажите

верно только а);

ряд ∑an сходится и

верно только в);

n=1

n→∞ b

верно только с).

верные утверждения:

а) если l =1, то вопрос о сходимости ряда

∞

∑bn остается открытым;

n=1

∞

в) если l >1, то ряд ∑bn

расходится;

n=1

∞

с) если l <∞, то ряд ∑bn

сходится.

n=1

Написать формулу общего члена ряда

;

n +5

5n +1

+… .

+ 8

;

3n +1

6n −1

3n + 2

∞

1, 2, 4, 5;

Какие из рядов 1) ∑sin πn ; 2) ∑

;

1, 2, 4;

n=1

n=1 n

2, 4, 5;

∞

(n +1)

3) ∑(−1)n

; 4) ∑

;

4) 2, 4;

n=1

+ 4

n=1

Все.

являются знакопостоянными?

∞

2 ; 2)

1, 2, 3, 5;

Для каких из рядов 1) ∑

3n2

−

Для всех;

n=1

∞

2, 3;

∑ 1

−

;

3) ∑arctg n ; 4) ∑

;

−3

n=1

5) 1, 4, 5.

∞

не выполняется необходимое

5) ∑n +1

n=1

условие сходимости ряда?

∞

Все;

Какие из данных рядов 1) ∑

; 2)

1, 2, 5;

n=1 5n −3

3, 4;

∞

∑

; 3)

∑

; 4)

∑

;

2, 3, 4;

n=1

5) 1, 2, 3, 4.

∞

5) ∑cosπn являются сходящимися?

n=1

∞

Для всех;

Для каких рядов 1) ∑

; 2)

1, 2, 5;

(

n=1 5n −3

2, 3, 4;

∞

lnn

n +1

∞

)

1, 5;

∑

; 3) ∑ 1+

; 4) ∑arctg

n ;

n=1

5) 2, 3, 5.

∞

применение признака Коши не

5) ∑6

n=1

даёт ответа на вопрос о сходимости ряда?

С помощью признаков сравнения,

а); в)

установить какие из перечисленных рядов

все, кроме в)

сходятся:

только а)

∞

а); г)

а) ∑

; б) ∑

; в) ∑

;

другой ответ

ln(n +1)

n=1

1+ 2

n=1 n +1

n=1

г) ∑n −2

∞

n=1

−n

10.

С помощью интегрального признака

только а)

установить, какие из перечисленных

а); в); г)

рядов сходятся:

а); в)

б); г)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.02.20163.1 Mб102Высшая математика 3 семестр часть 2.doc
#
20.02.2016450.37 Кб73высшая математика 3семестр.pdf
#
20.02.20162.91 Mб193Высшая математика. Практикум, часть 1.pdf
#
20.02.20161.12 Mб60Высшая математика. Ряды. Уч-метод. пособие.pdf
#
20.02.20162.82 Mб243Высшая математика.Практикум.pdf
#
20.02.20161.59 Mб126Высшая_математика__2_семестр_ (1).pdf
#
20.02.201636.86 Кб14высшка 3 семестр примерный перечень вопросов.doc
#
20.02.201619.69 Кб24Выш мат.docx
#
20.02.2016182.58 Кб36Вышка часть 2.docx
#
09.09.2019320.51 Кб8вышка2.doc
#
19.11.2019252.42 Кб7вэд полностью.doc