№

Условие

Возможные ответы

1.

Укажите неопределённые интегралы,

все;

при нахождении которых придётся

а) и б);

использовать один и тот же

а) и в);

табличный интеграл.

б) и в);

а) ∫x dx ; б) ∫x e

x2

dx ; в)

другой ответ.

∫

sin x

dx

cos2 x

2.

Найти неопределённый интеграл

cos(3 – 2x)+C;

∫2sin(3 −2x) dx .

0,5 cos(3 – 2x)+C;

– cos(3 – 2x)+C;

– 2 cos(3 – 2x)+C;

– 4 cos(3 – 2x)+C.

3.

Найти неопределённый интеграл

0,5 ln

x −2,5

+C ;

dx

x +2,5

∫4x2 −25 .

0,2 ln

2x −5

+C

2x +5

0,1 ln

2x −5

+C

2x +5

x −2,5

+C .

0,05 ln

x +2,5

4.

Найти неопределённый интеграл

0,5 arcsin 0,4x +C ;

∫

dx

−0,5 arcsin 0,4x +C ;

.

4x2 −25

0,5 ln

x +

4x2 −25

+C ;

0,5 ln

2x +

4x2 −25

+C .

5.

Найти неопределённый интеграл

−e1−2x

+C ;

∫2 e1−2x dx

e1−2 x +C

−2 e1−2x +C

2 e1−2x +C

−4 e1−2x +C .

∫

A dx

−A

1

+c .

II.

=

(x −a)m

m −1

(x −a)m−1

III.

∫

dx

=

2

arctg

2x + p

+c ,

x2 + px + q

4q − p2

4q − p2

где

p2 − 4q <0 , т.е. квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

ОБРАЗЕЦ 16.

Вычислить неопределенный

−

1

arctg

(x +1)

+C

dх

2

интеграл ∫

.

2

х

2

+ 2х +3

1

arctg

(x +1)

+C

;

2

(x +1)

2

arctg

+C

2

Данная

подынтегральная

функция

является

дробно-рациональной

функцией. Здесь следует в знаменателе дроби

1

выделить полный

х2 + 2х +3

квадрат.

1

dх

х2+2х+3=(х2+2х+1)+2=(х+1)2+2 ∫

dх ∫

.

(х +1)2

+ 2

(х +1)2 +( 2)2

Используем метод подстановки:

Получим ∫

dх

=

х +1 = t

= ∫

dt

=

1

arctg

t

=

(х +1)2 +( 2)2

dx = dt

t2 +( 2)2

2

2

=

1

arctg

(x +1)

.

2

2

∫

3x −1

Пример.

dx .

x2 − x +1

m

r

n

s

Интегралы вида

∫R x, x

,..., x

dx , где R

– рациональная функция

своих аргументов; m,..., r, n,...,

s - целые числа, подстановкой x = t k , (где k

– наименьшее общее кратное чисел

n,...s )

приводятся

к интегралам от

рациональных функций.

Подобным образом находятся интегралы вида

m

r

ax

+ b n

ax + b s

∫R x,

,...,

dx.

cx + d

cx + d

ax + b

Здесь используется подстановка

=t k .

dx

cx + d

Пример.

∫

x(3 x +1).

Решение.

Производим подстановку x = t6 , так как

K = НОК(2; 3) =6.

t

2

=

1

+ x

,

x =

t 2

−1

,

1 + x =

2t 2

,

dx =

4tdt

.

1

− x

t 2

+1

t 2 +

(t 2

+1)2

1

Следовательно, искомый интеграл примет вид

∫ 1 + x

1

dx

= 2∫

t

2dt

= 2arctgt + c = 2arctg

1 + x + c.

1 − x

+ x

+

1

1 − x

ОБРАЗЕЦ 17.

dx

x +1 e−x +C

Найти

∫

; 2ln

x +1

+C

x +

x

ln

x +1

+C

2

x +1

+C

Решение. Произведем подстановку

x = t , тогда

x = t2 и dx = 2 t dt .

Получим

∫

dx

= ∫

2tdt

=∫

2dt

= 2∫

dt

= 2ln

t +1

+c = 2ln

x +1

+C .

x + x

t2 +t

t +1

t +1

Например,

интегралы вида

∫sin mx cos nxdx ; ∫cos mx cos nxdx ;

∫sin mxsin nxdx находятся с помощью формул

cosα cos β = 12 (cos (α − β )+cos (α + β));

sinα sin β = 12 (cos (α − β )−cos (α + β));

sinα cos β = 12 (sin (α − β )+sin (α + β )).

ОБРАЗЕЦ 18.

Найти

∫cos2x sin5xdx

1 cos7x +

1 cos3x +C

4

6

1 cos7x −

1 cos3x +C

4

6

;−1 cos7x − 1 cos3x +C

4

6

−cos7x −cos3x +C

Решение. Применив формулу

sinα cos β = 12 (sin (α + β )+sin (α − β )), получим