Задачи для самостоятельного решения

8.15. Случайная величина Х имеет плотность

Найти математическое ожидание и дисперсию Х.

Ответ: М(Х) = 0,5909; D(Х) = 0,0781.

8.16. Случайная величина Х имеет плотность

Найти математическое ожидание и дисперсию Х.

Ответ: .

8.17. Случайная величина Х задана плотностью распределения

Найти математическое ожидание функции (не находя предварительно плотности распределения ).

Ответ: .

8.18. Плотность случайной величины Х имеет вид

Найти коэффициент а. Вычислить моду, медиану, математическое ожидание, дисперсию, начальные и центральные моменты первого, второго и третьего порядков случайной величины Х.

Ответ: ,

8.19. Случайная величина Х задана плотностью распределения

Найти начальные моменты случайной величины Х.

Ответ: не существуют при k  6.

8.20. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины

Ответ:

8.21. Случайная величина Х имеет функцию распределения

Найти математическое ожидание случайной величины .

Ответ:

8.22. По данным задачи 8.9 (при ) найти моду и медиану распределения; вероятность того, что случайная величина Х окажется в промежутке математическое ожидание и дисперсию Х.

Ответ: .

8.23. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, плотность вероятности которой имеет вид

(распределение Лапласа).

Ответ:

8.24. Случайная величина Х подчинена закону Симпсона («закону равнобедренного треугольника») на участке от –а до +а (рис. 8.10). Написать выражение плотности распределения; построить график функции распределения; найти числовые характеристики случайной величины Х: , , , . Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал .

Рис. 8.10

Ответ:

.

8.25. Случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью, которая задана формулой

Найти коэффициент асимметрии распределения.

Ответ:

8.26. Найти коэффициент асимметрии и эксцесс случайной величины, распределнной по закону Лапласа с плотностью

Ответ: ;

8.27. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале , задана функцией распределения. Найти моду и медиану случайной величиныХ.

Ответ: ;

8.28. Найти значения для случайной величиныХ, функция распределения которой

Ответ:

8.29. Кривая распределения случайной величины Х представляет собой полуэллипс с полуосями а и b. Полуось а известна. Определить b. Найти и функцию распределения.

Ответ:

8.30. Случайная величина х задана плотностью распределения

Найти коэффициент асимметрии и эксцесс.

Ответ: ;

Равномерный закон распределения

Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на отрезке , если ее плотность вероятности р(х) постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е.

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по равномерному закону, есть

Математическое ожидание дисперсия а среднее квадратическое отклонение .

Пример 8.14. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 3 мин. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше минуты. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х — времени ожидания поезда.

Решение. Случайная величина Х — время ожидания поезда на временном (в минутах) отрезке имеет равномерный закон распределения . Поэтому вероятность того, что пассажиру придется ждать не более минуты, равна от равной единице площади прямоугольника (рис. 8.11), т.е.

мин,

мин.

Рис. 8.11

Пример 8.15. Найти математическое ожидание и дисперсию произведения двух независимых случайных величин ξ и η с равномерными законами распределения: ξ в интервале , η — в интервале .

Решение. Так как математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, то . Для нахождения дисперсии воспользуемся формулой

найдем по формуле

.

Аналогично рассчитаем

.

Следовательно,

.

Пример 8.16. Вычислить математическое ожидание и дисперсию определителя

,

элементы которого  — независимые случайные величины с и

Решение. Вычислим математическое ожидание

Для нахождения дисперсии докажем, что если ξ и η — независимые случайные величины, то

Действительно,

Следовательно,

Замечание. Для определителя n-го порядка ;

Пример 8.17. Автоматический светофор работает в двух режимах: 1 мин. горит зеленый свет и 0,5 мин — красный и т.д. Водитель подъезжает к перекрестку в случайный момент времени. 1. Найти вероятность того, что он проедет перекресток без остановки. 2. Составить закон распределения и вычислить числовые характеристики времени ожидания у перекрестка.

Решение. 1. Момент проезда автомобиля t через перекресток распределен равномерно в интервале, равном периоду смены цветов светофора. Этот период равен 1 + 0,5 = 1,5 мин. Для того чтобы машина проехала через перекресток не останавливаясь, достаточно того, чтобы момент проезда пришелся на интервал времени . Тогда

.

2. Время ожидания является смешанной случайной величиной: с вероятностью она равна нулю, а с вероятностью принимает с равномерной плотностью вероятностей любые значения между 0 и 0,5 мин; тогда график функции распределения случайной величины имеет вид, изображенный на рис. 8.12:

Рис. 8.12

То есть при ; при ; при .

Среднее время ожидания у перекрестка

мин.

Дисперсия времени ожидания

мин²;

мин.