Задачи для самостоятельного решения

8.1. Дана функция

Показать, что данная функция является функцией распределения некоторой случайной величины Х. Найти вероятность того, что эта случайная величина принимает значения из интервала .

Ответ: .

8.2. Дана функция

Является ли она функцией распределения некоторой случайной величины?

Ответ: нет.

8.3. Является ли функцией распределения некоторой случайной величины функция

?

Ответ: нет.

8.4. Является ли функцией распределения некоторой случайной величины каждая из следующих функций:

а)

б)

Ответ: а) да; б) нет.

8.5. Дана функция распределения случайной величины Х:

Найти плотность вероятности, а также вероятности .

Ответ:

.

8.6. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале , задана функцией распределения . Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал . Построить график функции F(х).

Ответ: .

8.7. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале , задана функцией распределения . Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значения: а) меньше 4; б) меньше 6; в) не меньше 3; г) не меньше 6.

Ответ: .

8.8. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале , задана квадратичной функцией , имеющей максимум при х = 4. Найти параметры а, b, с и вычислить вероятность попадания случайной величины Х в интервал .

Ответ: .

8.9. Функция распределения случайной величины Х имеет вид

Определить постоянные а и b. Найти плотность вероятности случайной величины Х и построить ее график.

Ответ:

8.10. Плотность распределения вероятностей случайной величины Х определяется функцией

.

Найти значение коэффициента а. Найти функцию распределения F(х) величины Х.

Ответ: .

8.11. Функция р(х) задана в виде

Найти значение постоянной а, при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины Х; функцию распределения F(х); вычислить вероятность того, что случайная величина Х примет значение на отрезке .

Ответ: .

8.12. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти функцию распределения F(х).

Ответ:

8.13. Плотность распределения непрерывной случайной величины Х в интервале равна ; вне этого интервала р(х) = 0. Найти вероятность того, что в трех независимых испытаниях Х примет два раза значение, заключенное в интервале .

Ответ: .

8.14. Функция распределения случайной величины Х имеет вид Определить постоянные а, b и найти плотность распределения вероятностей р(х).

Ответ:

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством

где р(х) — плотность распределения случайной величины Х. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно. В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу , то

Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох определяется равенством

если интеграл сходится, или равносильным равенством

В частности, если все возможные значения Х принадлежат интервалу , то

или

Все свойства математического ожидания и дисперсии для дискретных случайных величин справедливы и для непрерывных величин.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется равенством

.

Модой непрерывной случайной величины Х называется ее наиболее вероятное значение (для которого плотность вероятности р(х) достигает максимума).

Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, для которого

.

Вертикальная прямая , проходящая через точку с абсциссой, равной , геометрически делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части (рис. 8.7).

Рис. 8.7

Очевидно, что .

Начальный теоретический момент порядка k непрерывной случайной величины Х определяется равенством

.

Центральный теоретический момент порядка k непрерывной случайной величины Х определяется равенством

.

Если все возможные значения Х принадлежат интервалу , то

, .

Очевидно, что ; ; ; ; . Центральные моменты выражаются через начальные моменты по формулам:

,

,

.

Математическое ожидание М(Х), или первый начальный момент, характеризует среднее значение распределения случайной величины Х; второй центральный момент, или дисперсия , — степень рассеяния распределения Х относительно М(Х).

Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии распределения.

Величина называется коэффициентом асимметрии случайной величины.

А = 0, если распределение симметрично относительно математического ожидания.

Четвертый центральный момент характеризует крутость распределения.

Эксцессом случайной величины называется число

.

Кривые более островершинные, чем кривая для нормального распределения, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные — отрицательным эксцессом.

Пример 8.7. Дана функция

При каком значении параметра с эта функция является плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины Х? Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Решение. Для того чтобы р(х) была плотностью вероятности некоторой случайной величины Х, она должна быть неотрицательна, т.е. , откуда и она должна удовлетворять свойству 4 плотности вероятности.

Следовательно,

откуда

.

Найдем интеграл , применив метод интегрирования по частям

Таким образом,

и плотность распределения имеет вид

Следовательно,

Дисперсия

Вначале найдем

Теперь

П ример 8.8. Случайная величина Х распределена по «закону прямоугольного треугольника» в интервале (рис. 8.8).

Рис. 8.8

1. Написать выражение плотности распределения.

2. Найти функцию распределения F(х).

3. Найти вероятность попадания случайной величины Х на участок от до а.

4. Найти характеристики величины Х: М(Х), D(Х), , .

Решение. Так как площадь прямоугольного треугольника есть площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, то она равна единице: и, следовательно, . Уравнение прямой АВ в отрезках имеет вид , откуда , то есть функция плотности распределения имеет вид

Найдем функцию распределения F(х):

если , то

если , то

если , то

Таким образом,

Вероятность попадания случайной величины Х на участок от до а определяется по формуле

.

Найдем математическое ожидание:

Следовательно,

,

.

Так как , а , ,

,

то .

Пример 8.9. По данным задачи 8.5 найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х), моду М₀(Х) и медиану М_е(Х).

Решение. Так как

то .

Дисперсия

Вначале найдем

.

Следовательно,

График плотности вероятности р(х) имеет вид (рис. 8.9)

Рис. 8.9

Плотность вероятности р(х) максимальна при х = 2, это означает, что М₀(Х) = 2.

Из условия найдем медиану М_е(Х): ; откуда

Пример 8.10. Дана функция

Найти коэффициент асимметрии и эксцесс случайной величины Х.

Решение. Плотность распределения случайной величины Х равна

Так как асимметрия , эксцесс , то найдем начальные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков:

Тогда

Так как то Следовательно,

Пример 8.11. Плотность случайной величины Х задана следующим образом:

Найти моду, медиану и математическое ожидание Х.

Решение. Найдем математическое ожидание Х:

.

Так как плотность распределения достигает максимума при х = 1, то М₀(Х) =1. Медиану М_е(Х) найдем из условия . Для этого вначале найдем функцию распределения :

если , то

если , то

если , то

Таким образом,

Уравнение равносильно уравнению , откуда .

Пример 8.12. Случайная величина Х задана плотностью распределения

Найти математическое ожидание функции (не находя предварительно плотности распределения ).

Решение. Воспользовавшись формулой для вычисления математического ожидания функции от случайного аргумента Х

где а и b — концы интервала, в котором заключены возможные значения Х, получим

Пример 8.13. Случайная величина Х задана плотностью распределения

Найти моду, математическое ожидание и медиану величины Х.

Решение. Так как , то отсюда видно, что при х = 4 плотность распределения достигает максимума и, следовательно, М₀(Х) = 4 (можно было найти максимум методами дифференциального исчисления).

Кривая распределения симметрична относительно прямой х = 4, поэтому М(Х) = М_е(Х) = 4.