10. Распределение функции одного и двух случайных аргументов Функция одного случайного аргумента

Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называется функцией случайного аргумента Х и записывается .

Если Х — дискретная случайная величина и функция монотонна, то различным значениям Х соответствуют различные значения Y, причем вероятности соответствующих значений Х и Y одинаковы:

и .

Если же немотонная функция, то различным значениям Х могут соответствовать одинаковые значения Y. В этом случае для отыскания вероятностей возможных значений Y следует сложить вероятности тех возможных значений Х, при которых Y принимает одинаковые значения.

Пример 10.1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Х	2	3	5	7
Р	0,3	0,2	0,1	0,4

Найти закон распределения случайной величины Y, равной 2Х.

Решение. Находим возможные значения Y:

; ; ; .

Так как функция монотонна, то вероятности , т.е.

; ;

; .

Запишем искомый закон распределения Y

Y	4	6	10	14
Р	0,3	0,2	0,1	0,4

Пример 10.2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Х	–3	–2	–1	0	1	2
Р	0,1	0,2	0,2	0,1	0,3	0,1

Найти закон распределения случайной величины .

Решение. Находим возможные значения случайной величины :

; ; ; ; ; . Значения и встречаются только по одному разу, а значения совпадают, поэтому вероятность того, что , будет равна сумме вероятностей 0,2 + 0,1 = 0,3. Аналогично, , поэтому .

Напишем искомый закон распределения Y, расположив значения Y в порядке возрастания

Y	0	1	4	9
Р	0,1	0,5	0,3	0,1

Если Х — непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения , и если  — дифференцируемая строго монотонная функция, обратная функция которой , то плотность распределения случайной величины Y находят из равенства

.

Если функция в интервале возможных значений Х не монотонна, то следует разбить этот интервал на такие интервалы, в которых функция монотонна, и найти плотности распределения для каждого интервала монотонности, а затем представить в виде суммы

.

Пример 10.3. Задана плотность распределения случайной величины Х, возможные значения которой заключены в интервале . Найти плотность распределения случайной величины .

Решение. Так как функция дифференцируемая и строго возрастает, то применима формула , где  — функция, обратная функции .

Находим : . Тогда , . Искомая плотность распределения . Так как х изменяется в интервале и у = 3х, то .

Ответ: , .

Пример 10.4. Случайная величина Х распределена по закону Коши

.

Найти плотность распределения случайной величины .

Решение. Функция монотонно возрастающая при всех . Находим обратную функцию : . Тогда

, , .

Следовательно,

Ответ: .

Пример 10.5. Задана плотность нормально распределенной случайной величины Х. Найти плотность распределения случайной величины .

Решение. Так как в интервале функция не монотонна, то разобъем этот интервал на интервалы и , в которых она монотонна. В интервале обратная функция , в интервале , , , .

Искомую плотность распределения находим из равенства

,

.

Так как , причем , то . Таким образом, в интервале искомая плотность распределения , вне этого интервала .

Ответ: при , при .