Функция двух случайных аргументов

Если каждой паре возможных случайных величин Х и соответствует одно возможное значение случайной величины то называют функцией двух случайных аргументов Х и и пишут

.

Если Х и дискретные независимые случайные величины, то для нахождения распределения функции , надо найти все возможные значе­ния  , для чего достаточно для каждого возможного значения Х, равного , и каждого возможного значения равного , вычислить значение равное . Вероятности найденных возможных значений равны произведениям вероятностей и .

Пример 10.6. Дискретные независимые случайные величины Х и заданы распределениями:

Х	–2	–1	3	4
Р	0,3	0,1	0,5	0,1

Y	1	2	3
Р	0,4	0,1	0,5

Найти распределения случайных величин: а) б) в)  г)

Решение. Для того чтобы составить указанные распределения величины надо найти все возможные значения и их вероятности. Все вычисления поместим в таблицу

Х					2
–2	1	–1	–5	–2	–2	0,3 · 0,4 = 0,12
–2	2	0	–6	–4	–8	0,3 · 0,1 = 0,03
–2	3	1	–7	–6	–18	0,3 · 0,5 = 0,15
–1	1	0	–3	–1	–1	0,1 · 0,4 = 0,04
–1	2	1	–4	–2	–4	0,1 · 0,1 = 0,01
–1	3	2	–5	–3	–9	0,1 · 0,5 = 0,05
3	1	4	5	3	3	0,5 · 0,4 = 0,20
3	2	5	4	6	12	0,5 · 0,1 = 0,05
3	3	6	3	9	27	0,5 · 0,5 = 0,25
4	1	5	7	4	4	0,1 · 0,4 = 0,04
4	2	6	6	8	16	0,1 · 0,1 = 0,01
4	3	7	5	12	36	0,1 · 0,5 = 0,05
						1,00

Объединив одинаковые значения и расположив их в порядке возрастания, получим следующие распределения:

а)

	–1	0	1	2	4	5	6	7
	0,12	0,07	0,16	0,05	0,20	0,09	0,26	0,05

б)

	–7	–6	–5	–4	–3	3	4	5	6	7
	0,15	0,03	0,17	0,01	0,04	0,25	0,05	0,25	0,01	0,04

в)

	–6	–4	–3	–2	–1	3	4	6	8	9	12
	0,15	0,03	0,05	0,13	0,04	0,20	0,04	0,05	0,01	0,25	0,05

г)

	–18	–9	–8	–4	–2	–1	3	4	12	16	27	36
	0,15	0,05	0,03	0,01	0,12	0,04	0,2	0,04	0,05	0,01	0,25	0,05

Если Х и непрерывные независимые случайные величины, то плотность распределения суммы (при условии, что плотность распределения хотя бы одного из аргументов задана в интервале одной формулой) может быть найдена по формуле

либо по равносильной формуле

где и  — плотности распределения аргументов.

Если возможные значения аргументов неотрицательны, то плотность распределения величины находят по формуле

либо по равносильной формуле

В том случае, когда обе плотности и заданы на конечных интервалах, для отыскания плотности величины целесообразно сначала найти функцию распределения , а затем продифференцировать ее по

.

Если Х и  — независимые случайные величины, заданные соответству­ющими плотностями распределения и , то вероятность попадания случайной точки в область равна двойному интегралу по этой области от произведения плотностей распределения

Пример 10.7. Независимые нормально распределенные случайные величины Х и заданы плотностями распределений , . Найти композицию этих законов, т.е. плотность распределения случайной величины

Решение. Используем формулу Тогда

Ответ: .

Пример 10.8. Заданы плотности распределения независимых равномерно распределенных случайных величин Х и в интервале (0; 2), вне этого интервала , в интервале (0; 3), вне этого интервала . Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Построить график распределения .

Р ешение. По условию, возможные значения Х определяются неравенством ,  — неравенством . Отсюда следует, что возможные случайные точки расположены в прямоугольнике ОАВС (рис. 10.1).

Рис. 10.1

Неравенству удовлетворяют те точки плоскости которые лежат ниже прямой если же брать только возможные значения х и у, то неравенство выполняется только для точек, лежащих в прямоугольнике ОАВС ниже прямой С другой стороны, так как величины Х и независимы, то

где  — величина той части площади прямоугольника ОАВС, которая лежит ниже прямой Величина этой площади зависит от значения

Если то т.е.

Если , то

Если , то

.

Если , то

Если , то

Итак, искомая функция распределения имеет вид

Найдем плотность распределения

Построим график этой функции (рис. 10.2)

Рис. 10.2