Задачи для самостоятельного решения

8.54. Определить закон распределения случайной величины Х, если ее плотность распределения вероятностей задана функцией

.

Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения случайной величины Х.

Ответ: .

8.55. Независимые случайные величины Х и Y распределены нормально, причем , , , . Найти плотность распределения вероятностей и функцию распределения их суммы.

Ответ: ; .

8.56. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с , . Найти: а) ; б) .

Ответ: а) 0,1359; б) 0,6827.

8.57. Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 540 г. Известно, что 5 % коробок имеет массу, меньшую 500 г. Каков процент коробок, масса которых: а) менее 470 г; б) от 500 до 550 г; в) более 550 г; г) отличается от средней не более, чем на 30 г (по абсолютной величине)?

Ответ: а) б)

в) г)

8.58. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 25. Вероятность попадания Х в интервал равна 0,09. Чему равна вероятность попадания Х в интервал: а) ; б) при ?

Ответ: а) б) .

8.59. Вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с параметрами а = 375 г; г. Найти вероятность того, что вес одной рыбы будет: а) от 300 до 425 г; б) не более 450 г; в) больше 300 г.

Ответ: а) 0,9759; б) 0,9987; в) 0,9987.

8.60. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с а = 0, . Что больше

или ?

Ответ:

8.61. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических погрешностей. Случайные погрешности взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратичным отклонением г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с погрешностью, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.

Ответ:

8.62. Случайная величина Х — ошибки измерений — распределена нормально. Найти вероятность того, что Х примет значение между – и (предполагается, что систематические погрешности отсутствуют).

Ответ:

8.63. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически, их средняя масса равна 1,06 кг. Найти стандартное отклонение, если 5 % коробок имеют массу меньше 1 кг. Предполагается, что масса коробок распределена по нормальному закону.

Ответ: .

8.64. Бомбардировщик, пролетевший вдоль моста, длина которого 30 м и ширина 8 м, сбросил бомбы. Случайные величины Х и (расстояния от вертикальной и горизонтальной осей симметрии моста до места падения бомбы) независимы и распределены нормально со средними квадратическими отклонениями, соответственно равными 6 и 4 м, и математическими ожиданиями, равными нулю. Найти: а) вероятность попадания в мост одной бомбы; б) вероятность разрушения моста, если сброшены две бомбы, причем известно, что для разрушения моста достаточно одного попадания.

Ответ: а) б)

8.65. На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туш — случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения с математическим ожиданием кг и средним квадратическим отклонением кг. Определите вероятность того, что вес случайно отобранной туши: а) окажется больше 1250 кг; б) окажется меньше 850 кг; в) будет находиться между 800 и 1300 кг; г) отклонится от математического ожидания меньше, чем на 50 кг.

Ответ: а) 0,02275; б) 0,25143; в) 0,83144; г) 0,2586.

8.66. При условии задачи 8.65 с вероятностью 0,899 определите границы, в которых будет находиться вес случайно отобранной туши.

Ответ: 704; 1196.

8.67. Процент протеина в пакете с сухим кормом для собак — нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 11,2 % и средним квадратическим отклонением 0,6 %. Производителям корма необходимо, чтобы в 99 % продаваемого корма доля протеина составляла не менее %, но не более %. Найдите и .

Ответ: .

8.68. Вес товаров, помещаемых в контейнер определенного размера, — нормально распределенная случайная величина. Известно, что 65 % контейнеров имеют чистый вес больше чем 4,9 т и 25 % — имеют вес меньше 4,2 т. Найдите ожидаемый средний вес и среднее квадратическое отклонение чистого веса контейнера.

Ответ: а = 5,8293; .

8.69. В магазине 10 000 книг. Вероятность продажи каждой из них в течение дня равна 0,8. Какое максимальное число книг будет продано в течение дня с вероятностью 0,999, если предположить, что число проданных книг есть случайная величина, распределенная по нормальному закону.

Ответ: 8124.

8.70. Отклонение стрелки компаса из-за влияния магнитного поля в определенной области Заполярья есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с а = 0 и . Чему равна вероятность того, что абсолютная величина отклонения в определенный момент времени будет больше, чем 2,4?

Ответ: 0,0164.

8.71. Для случайной величины Х, распределенной по нормальному закону с а = 32 и найдите два значения х₁ и х₂, симметричные относительно а с

Ответ: ; .

8.72. Еженедельный выпуск продукции на заводе распределен приблизительно по нормальному закону со средним значением а = 134786 единиц продукции в неделю и ед. Найти вероятность того, что еженедельный выпуск продукции: а) превысит 150000 единиц; б) окажется ниже 100000 единиц в данную неделю; в) предположим, что возникли трудовые споры и недельный выпуск продукции стал ниже 80000 единиц. Менеджеры обвиняют профсоюзы в беспрецендентном падении выпуска продукции, а профсоюзы утверждают, что выпуск продукции находится в пределах принятого уровня . Доверяете ли Вы профсоюзам?

Ответ: а) 0,121; б) 0,00368; в) нет.

8.73. Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением и неизвестным математическим ожиданием а. В 90 % случаев число ежемесячных заказов превышает 12439. Найти среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.

Ответ: а = 13158,6.

8.74. Автомат изготавливает подшипники, которые считаются годными, если отклонение Х от проектного размера по модулю не превышает 0,77 мм. Каково наиболее вероятное число годных подшипников из 100, если случайная величина Х распределена нормально с параметром мм?

Ответ: .

8.75. Линия связи обслуживает 1000 абонентов. Каждый абонент разговаривает в среднем 6 минут в час. Сколько каналов должна иметь линия связи, чтобы с практической достоверностью можно было утверждать, что не произойдет ни одной потери вызова?

Ответ: 130 каналов.