Числовые характеристики случайной величины Математическое ожидание м(х) дискретной случайной величины

Пусть случайная величина Х может принимать только значения , вероятности которых соответственно равны . Тогда математическое ожидание М(Х) случайной величины Х определяется равенством

.

Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому значений случайной величины: .

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой посто­янной

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания

.

3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий

.

4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

.

5. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю

Дисперсия случайной величины

Только математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину.

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания:

.

Дисперсия — это мера рассеяния случайной величины около ее математического ожидания.

Если Х — дискретная случайная величина, то дисперсию вычисляют по следующим формулам:

,

где а = М(Х);

.

Свойства дисперсии случайной величины

1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат

.

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин

.

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий

.

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии

.

Среднее квадратическое отклонение характеризует степень отклонения случайной величины от ее математического ожидания и имеет размерность значений случайной величины.

Рассмотрим некоторые распределения дискретной случайной величины.

Биномиальный закон распределения

Если вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна р, то число появлений события А — дискретная случайная величина Х, принимающая значения 0, 1, 2, …, с вероятностями (формула Бернулли), где , , .

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону, вычисляется по формулам:

,

.